1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Прн этом в качестве приближенной суммы ряда брались частные суммы ряда с не слишком большим числом членов. Это была интуитивная регуляризация, регуляризация по здравому смыслу. Аналогично, т. е. с регуляризацией по здравому смыслу, ре. шались и некоторые другие неустойчивые задачи, Описанный выше метод регуляризации, основанный на использовании понятия ре. гуляризирующего оператора, можно рассматривать как фор. мализацию и обоснование давно используемой регулярнзации по здравому смыслу и распространение такого подхода к построению приближенных решений на широкий класс задач. й Б. Вариационный принцип отбора возможных решений *) П Будем предполагать, что уравнение А) = иг с непрерывным оператором А имеет единственное решение 1г и вместо иг нам дан элемент иа. Пусть известно, что уклонение правой части иа от иг не превосходит 6, т.
е. рег (иа, иг) < 6. Тогда приближенные РешениЯ естественно искать в классе е2а элементов У" Е Р, сопоставимых по точности с «исходными данными», т, е, таких, что ры (А), иа) ( 6. Класс с2а есть множество возможных решений. Однако нельзя брать в качестве приближенного решения уравне- ') Ом. Тихонов А, Н., А р с е н и о В, Я, г'!сходы рея!ения нскорренгных задан, 2-е над. — М.! Наука, 1979, 226 ння (3) с приближенной правой частью и = иь произвольный эле- мент (ь из Оь, так как такое «приближенное решение» не будет, вообще говоря, устойчивым относительно малых изменений пра.
вой части. Множество Яь — слишком широкое. Необходим п р и н. ц и п о т б о р а возможных решений, обеспечивающий получе- ние в качестве приближенного решения такого элемента (или элементов) из Яь, который был бы устойчивым к малым изменениям правой части. В качестве такого принципа можно брать описыва- емый ниже вариационный принцип. Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов И [г1, входящих в постановку задачи. Неотрицательный функционал И [г), определенный на всюду плотном в Р подмножестве Р, множества Р, называется стаби- лизирующим фунниионалом, если: а) элемент [г прннадлежитьего области.
определения; б) для всякого числа с[ ) О множество Рьг элементов Г на Р,, для которых И [г) ( д, компактно на Р,. 2. Упомянутый выше отбор возможных решений можно осуще- ствлять в помощью стабилизирующих функционалов, и реализу- ется он следующим образом. Пусть И [)) — стабилизирующий функционал, ие имеющий локальных минимумов, определенный на подмножестве Р, мно- жества Р (Р, может совпадать с Р е)).Будем рассматривать только такие элементы множества О„на которых определен функционал И [г1, т. е.
будем рассматривать лишь элементы г множества Рьь = Р, П Оь. Среди элементов этого множества найдем такой (такне) элемент гь, который минимизирует функционал И [г1, Задача нахождения такого элемента сводится к задаче на условный минимум функционала И [р) на множество Р, при ус. ловки, что для искомого элемента выполняется равенство ри (Аг, иь) ° б. Она решается методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е.
сводится к нахождению элемента р, из Р„мини мизирующего функционал Мм[/, иь) ри(А(, иь)+ь«ИЩ, а параметр а определяетсн по невязке рд (Арм, иь) из условия ри (41м иь) б как функция б, т. е. а а (6). Предположим, что такой элемент существует для любых 6 > О и и, ~ У; тогда элемент (ь можно рассматривать как результат применения к пра- вой части и = иь уравнения (3) некоторого оператора 1с, завися- щего от параметра 6, т. е. рь = )с (им се (6)). (4) Его можно брать в качестве приближенного решения уравнения А[ =- и,, так как прп этих условиях справедлива Т е о р е м а.
Оператор )«(и, а (6)) является регуляризирую- щим оператором для уравнения Ар = и. *) Напрнмер, в конечномерном случае. Мы не будем приводить доказательства этого утверждения. Таким образом, в качестве приближенного решения задачи (3) берется решение другой задачи (задачи на минимум функционала М"), «близкой» в некотором смысле к исходной (поскольку число а мало). Следует отметить, что, в то время как решение исходной задачи (3) не обладает свойством устойчивости, решение задачи минимизации функционала М" (1", и»1 обладает устойчивостью к малым изменениям «исходных данных», если параметр а брать согласованным с уровнем погрешности «исходных данных», т.
е. с 6. Существуют и другие способы построения регуляризованных решений уравнений А) =- и е). 3. Применим этот метод к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Пусть А есть интегральный оператор с ядром К (О в), Тогда уравнение (3) имеет вид 1 К(Ь в)7(в) »Ь = и(1), с г ~г(. (6) а ь В качестве»а (71 возьмем функционал вида ьз (7" 1 =-= ~ (д, (в) ( — ) + !д~з аз а + дь (в) 1») гЬ, где д, (в) и уь (в) — заданные неотрицательные функ. ции, д, (в) - О, де (в) = О "е). В этом случае условие равенства нулю первой вариации функционала М" (и, )1 имеет вид ь ~ ( — а( — „, ~у (в)+~ — уа(в))(в)~-(.
в ь + ) К(в, у) )(у)г(у — В (в))о(в) сЬ+аи,(в) 7'(в) р(в) 1.' О. (6) Я Здесь о (в) — произвольная вариация функции 7 (в) такая, что 1(в) и 1 (в) + и (в) принадлежат классу допустимых функций К(в, у) =-)'К(1, в) К(1, у)с(1, В(в) = ) К(8, в)и(8)й. (7) Условие (6) выполняется, если ь — ф~у,(в)+~ -у.ж~+ ~ К(., И(у) у=В() (6) а д, (в) 7' (в) о (в) = О. !' *) См.
Тихонов А. Н., А р с е н и н В, Я. Методы решении некорректных задач, 2-е изд. — Мл Йаука, 1979. "') В вычислительной практике обычно полагают ог (з) = 1 н оь (з) ы 1 или дь(з) и О, 230 Так, если нам известны значения искомого решения 1 (з) уравнения (6) на одном или обоих концах отрезка (а, Ь), то допустимыми функциями прн нахождении минимума функционала М' [и, 1) можно брать лишь функции 1 (з), имеющие обобщенную производную, интегрируемую вместе с ее квадратом, и принимающие заданные значения на этих концах. В этом случае функции о (з) обращаются в нуль на этих концах и условие (9) выполняется. В описанном случае задача нахождения регуляризованного решения ) (з) сводится, таким образом, к нахождению решения интегро-дифференциального уравнения (8), удовлетворяющего условиям 1 (и) = („((Ь) = (10) где 1, и 1, — известные числа.
Если значения искомого решения 1 (з) на концах з = а и з = = Ь неизвестны, то условию (9) можно удовлетворить, полагая 1' (а) = 1' (Ь) =- О. (1 1) В этом случае в качестве регуляризованного решения уравнения (5) надо брать решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям (11). Возможны, очевидно, и другие краевые условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (5), например условия вида 1 (а) =-1,, 1" (Ь) =- 0 (12) или Г (а) =- О, 1 (Ь) = (,.
(13) 3 а м е ч а н и е. Искомое решение уравнения (5) может не удовлетворять условиям (11), которым мы подчиняем решение уравнения (8). Надо иметь в виду, что мы строим приближенное решение уравнения (5). Если производная искомого решения уравнения (5) нам известна, например, при з = — а и равна д, то, полагая в уравнении (5) 1' (з) =- Г(з) + д з, получим уравнение такого же вида (но с другой правой частью) для функции 1(з). Искомое решение ) (з) будет удовлетворять условию )" (а) = О.
Задача (8), (10) или (8), (!1) решается численно на ЭВМ. При этом уравнение (8) заменяется его конечноразностной аппроксимацией на заданной сетке. Если брать равномерную сетку с шагом й, то уравнение (8) заменяешься системой конечноразностных уравнений вида (Чьь-Ь-т+ Ч~ ь+Ьн (Чьь ( Чьи ~) 1ь — и Чи ь(ь) Р -(- Й~~Км ( =В~ 1=1 2,, л (14) ~=-о Здесь Чья = А (зь), Чо,ь = Чо (зь) Вь = В (ах), з~ = А й, з, = а, з„= Ь, Км„— коэффициенты квадратурной формулы, по которой интеграл в уравнении (8) заменяется интегральной суммой. Если искомое решение уравнения (8) должно удовлетворять краевым условиям (10), то полагаем в системе (14) 1, = — 1, и 1„= 1,.
231 Если же искомое решение подчинено условиям (! !), то в системе (14) число л должно принимать значения Л:== О, 1, 2, ..., п. ПРи этом полагаем )', = )о и 7"„„= 7"„. Мы описали сведение уравнения (8) к системе линейных алгебраических уравнений при нахождении решения на равномерной сетке с шагом Ь. Эту систему можно решать, например, методом квадратного корня или методом Воеводина *). 9 6. 0 численном моделировании и прогнозировании физических экспериментов !. Большое число физических экспериментов ставится с целью изучения количественных характеристик изучаемых объектов (явлений). Но в экспериментах обычно регистрируются не интересующие нас количественные характеристики ! изучаемого объекта, а некоторые их проявления А)" == и.
Оператор А определяется природой изучаемого объекта и экспериментальной установкой. По результатам эксперимента и надо получить суждения о характеристиках !. Для этого необходима математическая обработка результатов эксперимента. Высокий уровень автоматизации экспериментов и способов регистрации их результатов и позволяет получать за короткое время большой объем информации. Обработку ее за разумные времена можно производить лишь с помощью ЭВМ.
Системы автоматизированной математической обработки должны составлять неотъемлемую часть эксперимента. Эксперимент и Система автоматизированной обработки его результатов должны быть звеньями одной задачи. 2. Можно выделить 3 этапа обработки *е). Первый этап — Первичная обработка. К ней относят нормировку результатов измерений, привязку к некоторой системе координат, статистическую обработку, фильтрацию и т. п.
В результате первичной обработки получают выходные данные эксперимента. Второй этап — Анализ установки. На этом этапе определяется оператор А (илп его прнблиисение). Третий этап — Интерпретация результатов эксперимента, На этом этапе определяются количественные характеристики ) изучаемого явления путем решения уравнения Аг == и. (15) Эту задачу мы будем называть также математической частью задачи интерпретации результатов наблюдений. ')См. Тихонов Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
