1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Множество М метрического пространства Р называется компактным на Р (или в Р), если из всякой его 219 последовательности !Ц с: М можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу ) из Р. Как известно из курса математического анализа, необходимым и достаточным условием компактности множества М и-мерного евклидова пространства Я" является его 'ограниченность. О и р е д е л е н и е 4. Если из всякой последовательности Щ с: М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к элементу 7' ~ М, то множество М называется компактным в себе (или компактом).
Для того чтобы компактное в метрическом пространстве Р множество М было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым в Р. О п р е д е л е н и е 5. Числовая функция (т. е. функция, значениями которой являются числа), определенная на элементах множества М, называется функционалом, а множество М вЂ” областью его определения. О п р е д е л е н и е 6. Последовательность !1„) элементов метрического пространства Р называется фундаментальной, если для любого з > 0 найдется такое натуральное число )Ч (з), что для любых п, т ~ М(з) рв Ц„, 7„) а з.
О п р е д е л е н и е 7. Метрическое пространство Р называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу из Р. Так, все приведенные в примерах 1) — 6) пространства являются полными. О п р е д е л е н и е 8. Пространство Р называется линейным, если длЯ любых его двУх элементов ~, и гз опРеделеи тРетий элемент 7, + 7„принадлежащий Р, который называется -их суммой, и для любого 7 Е Р и произвольного числа р определен элемент р)' ~ Р, который называется произведением элемента на число р, причем операции сложения и умножения на число обладают свойствами: 1) для любых Г» !з Е Р Г, + 1з = !з + )', (коммутативность сложения); 2) для любых ~» ~з ~з ЕР ~з+ (~з+ (з) = Ж+ Й) + (з (ассоциативность сложения); 3) существует элемент 0 Е Р (нуль пространства Р) такой, что для любого 1 Е Р ~+ О = 7; 4) для любого ) Е Р существует элемент — Г такой, что Г+ +( — !)=О; 5) для любых чисел а, р и произвольного ~ЕР сз (р!) = (ар) Г (ассоциативность умножения на число); 6) для любого ! ~ Р 1 Г = (; 7) для любых чисел а, р и произвольного ~~Р (сз + р) Г = а) + р! (дистрибутивность); 8) для любого числа р и произвольных !» ГзЕР Р Й + ~з) = Р(з + 1)з (дистрибутивность).
О п р е д е л е н и е 9. Линейное пространство Р называется гильбертовым, если, во-первых, на нем задана вещественная 220 числовая функция (/т, 1,), определенная для каждой пары элементов 1„1, из Р, называемая скалярным произведением, удовлетворяющая условиям: а) для любых 1„1,Е Р (1,, 1,) = (1„1»); б) для любых 1„1м 1зиз Р(1»+ 1«, 1») = (1»~ 1») + (1« 1»)' в) для любых 1„1,Е Р и произвольного вещественного числа р (31„1») = р (1„1,) (однородность); г) для всякого 1ЕР (1, 1) ~ О, причем (1, 1) = 0 только для/=0; и, во-вторых, оно такое, что если в Р ввести метрику по формуле р '(1ь 1а) — 'г (1» — 1м1» — 1»)~ то пространство Р с такой метрикой будет полным. Так, все пространства, приведенные в примерах 1) — 4) и 6), являются гильбертовыми. й 3.
Понятие корректно поставленных н некорректно поставленных задач 2. П р и м е р 1. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода с ядром К (х, з): ь ) К(х, з)/(з)г(з=и(х), е(х(В, а (2) где /(з) — ископав функция нз пространства г, и (х) — заданная функция из пространства У. Вудем полагать, что ядро К (х, з) по переменной х является 221 1. Будем рассматривать задачу нахождения решения уравнения А1 = и, в котором оператор А и правая часть и известны. Различают корректно поставленные и некорректно поставленные задачи. Впервые эти понятия ввел в рассмотрение Как Адамар. Задача определения 1 (решения) из множества Р по «исходным данным» и из множества (/, 1 = /т (и), называется корректно поставленной на множествах (Р, (/), являющихся метрическими пространствами с расстояниями рв (1„1,) и ри (ит, и,), где 1„ 1, Е Р, и„и, Е (/, если удовлетворяются требования: 1) для всякого элемента и Е (/ существует решение 1 из Р; 2) решение определяется однозначно; 3) решение должно непрерывно зависеть от входных данных, т.
е. для всякого е ) 0 можно указать такое 6 (е), что если ри (и„из) ( 6 и 1, = )т' (иг), 1, = /т' (из), то рн (1„1«) < е. Свойство 3) называют также свойством устойчивости задачи. Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными. Ниже приводятся примеры некорректно поставленных задач, представляющих как основной математический аппарат, так и приложения, позволяющие судить о широте этого класса задач и о его прикладном значении. непрерывной функцией с непрерывной частной производной дК/дх.
Оператор ь К (х, з) 1' (з) дз для краткости обозначим через Аг. а Решение 1' (з) будем искать в классе непрерывных на отрезке (и, Ь) функций. Уклонение правой части будем оценивать в квадратической метрике, т. е. по формуле (' и ) 1]г ри (иг, и«) = ~ (иг (х) — и«(х))«дх с (метрика В»), а уклонение решения г'(з) — в равномерной метрике, т. е. по формуле Рг ((1 (») — гпах ( )г (з) — )г (з) ) » и [а,Ь] (метрика С). Пусть для некоторой правой части и = и, (х) функция )1 (з) является решением уравнения (2). Если вместо фуннции и, (х) нам известно лишь некоторое ее приближение, мало отличающееся (в метрике Ез) от иг (х), то речь может идти лишь о нахождении приближенного к 11 (з) решения уравнения (2).
При этом правая часть и (х) может не обладать достаточной гладкостью. Она может быть получена в эксперименте, например, с помощью самописца и иметь угловые точки. При такой правой части уравнение (2) не имеет решения, так нак ядро К (х, з) является гладкой функцией. Следовательно, в качестве приближенного к 11 (з) решения уравнения (2) нельзя брать точное решение уравнения (2) с приближенно известной правой частью и (х) ~ иг (х). В этих условиях не выполняется требование 1) корректности задачи. Возникает принципиальный вопрос; что надо понимать под приближенным решением уравнения (2) с приближенно известной правой частьюс Кроме того, задача (2) не обладает свойством устойчивости, т.
е. не выполняется требование 3) корректности задачи. В самом деле, функция [з (з) = [1 (з) + В з|п лз является решением уран. пения (2) с правой частью Ь и,(х) =иг(х)+В ~К(х, з)щппз да. а Пусть л — натуральное число. Очевидно, каково бы ни было число В ) О, при достаточно больших и уклонение (л ~ ь )2 ) 1!2 р,(и„и,) = В ~ ) К(х,з) з|ппз с[э Нх с а можно сделать сколь угодно малым в силу стремления к нулю коэффициентов Фурье (функции К (х, з)) с ростом их номера и, в то время как для соответствующих решений )1 (з) и 1» (з) Ра()м (з) = шах В(з|п из( =- В.
» Е [а,ь] Следовательно, задача (2) является некорректно поставленной. К таким уравнениям приводятся многие задачи физики и техники, например задачи спектроскопии (определение распределения плотности энергии излучения по спектру по результатам измерения экспериментального спектра), обратные за. дачи астрономии и другие. Таким образом, надо не только дать ответ на вопрос, что понимать под приближенным «решением» уравнения (2), но и указать такой алгоритм его построения, который обладает свойством устойчивости к малым изменениям «исходных данных» и (х). Рассмотренная на этом примере ситуация является типичной для некорректно поставленных задач. 222 П р и м е р 2. Задача численного дифференцирования функции и (1), нзве сгной приближенно.
Г!усть Гг (1) есть производная функции и, (1). Функция и, (1) =- и, (1) + В з!и оз1 в метрике С отличзется от иг (1) на величину рс (и, и,) = ) В ) при любых значениях ы. Однако производная Гз (1) = и,' (1) отличается от Гх (1) в метрике С иа величину ) ыВ ), которая может быть пройзвольно большой при достаточно больших значениях оз. Таким образом, эта задача не обладает свойством устойчивости и, следовательно, является некорректно поставленной.
П р и м е р 3. Численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты Оч известны приближенно в метрике 1з. Пусть Гд (1) = ~~ а„сох п1. Если вместо а„ а=о е брать коэффициенты г„= а„+ — для и ) ! и со = аа, получим ряд Гз (1) = с„соз и1. Коэффициенты этих рядов отличаются (в метрике 1з) на велии=о которую выбором числа а можно сделать сколь угодно малой. Вместе с этим Ю %ч 1 разность Гз (1) — Гг (1) = е у — соз и1 может быть сколь угодно большой, а при л и=! 1= 0 последний ряд расходится.
Таким образом, если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда Фурье не является устойчивым. П р и и е р 4. Задача Коши для уравнения Лапласа в двумерном случае (пример Адамара). Она состоит в нахождении решения уравнения Ьи (х, у) = 0 по начальным данным, т. е.
в нахождении решевия, удовлетворяющего условиям и (х, 0)= ф (х), — ~ = р (х), — оо < х < оо, ди ду о=о где ф (х) и ф (х) — заданные функции. ! Если положить ф(х) =фа(х) = — 0 и Ф(х) = Фх(х) = — з!п а (а ) 0), а ! то решением задачи Коши будет функция иг(х, у) = —, з!п ах зй ау. а' Если положить ф(х) = фз(х) = 0 и Ф (х) = Фз (х) = О, то решением такой задачи Коши будет функция из (х, у) = О. Если уклонения начальных данных и решений оценивать в метрике С, то будем иметь рс Ды |з) = знр ) )г (х) — /з (х) ( = О, х Рс ('Ры фа) = зпр ) ~рг (х) — ~рз (х) ) = ! 1а. х Последняя величина прн достаточно больших значениях а может быть сделана сколь угодно малой.
Однако уклонение решений Рс(иг,из) = апр (иг (х У) — ш(ху)) = х: уъО ! ! знр ~ — сйп ах зп ау ~ = — зп ау аа а' х; у)0 для любого фиксированного у > 0 может быть произвольно большим при достаточно больших значениях числа а. Таним образом, эта задача не обладает свойством устойчивости и, следовательно, является ненорректно'поставленной. П р и м е р 5. Задача аналитического продолжения функции, известной иа части области, на всю область. Пусть Р— конечная область, Š— замкнутая подобласть, принадлежащая области Р,. Тогда задача аналитического продолжения функции, заданной на множестве Е, на всю область Р является неустойчивой и потому некорректно поставленной.
В самом деле, пусть га — точка на границе области Р, расстояние которой до Е равно «( > О. Пусть /х(а) — аналитическая в Р функция, ограни. ченная по модулю. Функция /а(г) =/д(г)+ —. где е — заданное поло- 3 — аа жительное число, также аналитична в Р. На множестве Е зги функции отличаются одна от другой на величину е/(а — аа), модуль которой на Е не превосходит ай, т.
е. )/а(г) — /д(а)1«= а/д. Величина ей может быть сделана произвольно малой путем выбора соответствующего значения числа е. Однако в области Р разность функций /,(з) — /х(г) = е/(г — ае) неограничена по модулю. Некорректно поставленной является также задача решения системы линейных алгебраических уравнений в условиях равного нулю определителя системы (а также плохо обусловленных систем) и многие другие. Широким классом некорректно поставленных задач являются обратные задачи математической физики, в которых требуется определить количественные характеристики / изучаемого объекта по результатам измерения их проявлений Л/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
