1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(2л 2) со+ с Имеем из (25) у,„= — +' 'у „,, откуда находим о ( — 1)" [(2л — 2) с„+ с ) ((2л — 4) со + с,) ... с (2ла -)- а ) (2 1л — 1) а -1- а )... (Еа + а ) Преобразуем знаменатель этой дроби. Имеем (2иа + а )... (2ао + а ) = Г а+1+ — ' = 2"а," п+ —,' ... 1+,— ' = 2"а," г (~ ~. " ) Аналогично преобразуется числитель, н мы получаем ~-с"г(.+ * ) г(~+ ") . с( ~.~Ь,')г(Х) (26) Эта формула получена в предположении, что а,т-О, с, ФО и а, с что —, — + 1 не являются целыми отрицательными числами. Еао 2со Положив у,-О, у,~О, получим последовательность, в которой отличны от нуля только члены с нечетными номерами, и для 11 них можно получить формулу, аналогичную (26). Если (у„'1— последовательность (26), где у, 1, у, = О, а (ул) — последовательность, у которой у, = О, у, = 1, то всякое решение урав- где А„, В„, ф— заданные числа.
Числа у„у, считаются заданными, так что из рекуррентных соотношеяий (23) можно последовательно найти уо, у„... Задача, которую мы рассматриваем, состоит в отыскании явной формулы для общего члена у„последовательности. Такие формулы известны, если А„, В„, ф— постоянные, т.
е. не зависят от номера п (18). Оказывается, что явные формулы, хотя и не столь простые, можно получить и в том случае, когда коэффициенты уравнения (23) линейные, т. е. для уравнений вида (а,(п+2)+а)у„+о+(д,(и+1)+Ь]у„+,+(с,п+с )у =О. (24) 434 Гл. Т11. элементАРные Асио1птотическне методы ~, (сои+ с,) у„г" = согш'(г) + с,ш(г), о=о ~о ~.", [Ьо (и + 1) + Ь,) уо.ыг" = Ьош' (г) + Ьог 1 (ш (г) — уо), ~~Р ~(ао (и + 2) + ао) У„оого о=о = аог — 1(ш'(г) — у,) + а,г-'(ш(г) — уо — у,г), то для ш (г) получаем обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка г(с г'+ Ьг+ а,) и '+(с г*+ Ь,г+ а)ш= =Яг) и(а,+Ь,г)уо+(а,+а,)гу,.
(30) Пусть г„г, — корни уравнения сего + Ьог + ао = О. (31) Будем предполагать, что эти корни различны и отличны от нуля, тогда ео +Ьо +е о(ео +Ьо+е) .=1 — — ". (32) о р — 1 Однородное уравнение (30) (при у,=О, у, 0) имеет решение ш (г) =г' (1 — —,) (1 — — ) (33) и потому всякое решение уравнения (30) имеет вид е ш(г) =си1о(г) + ) — ' Ю. о( ) /(О -о «) 1 (е,о' + Ь,о + е,) ео Здесь с — постоянная, которую необходимо выбирать так, чтобы функция ш(г) была регулярна в точке г = 0 в соответствии с (28). Ветви функций (1 — г/г,)" ', (1 — г/г,)' ' выбираем так„ чтобы при г = 0 они были равны единице. Ограничимся случаем, когда отношение а,/а, — действительное число, и пусть а/ао > О, (35) так что г ( 1.
Положим г, = 0 в (34) и заметим, что = о 'у(о), 1е (1)1(со +Ь 1+а ) Выведем дифференциальное уравнение для производящей функции. Умножнм и-е уравнение (24) на г и просуммируем. Так как Глава У1П ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Одним из важных приложений теории функций комплексного переменного является метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений, основанный на интегральном преобразовании Лапласа (операционный метод) .
Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного ее изображение — функцию комплексного переменного. При этом операции над изображениями оказываются значительно более простыми, чем операции яад исходными функциями (оригиналамп). Так, например, линейное обыкновеяное дифференциальное уравнение для оригинала заменяется алгебраическим уравнением для его иаображеиия. Решив полученное для изображения уравнение, восстанавливают по изображению его оригинал, который и является искомым решением заданного дифференциального уравнения. $47.
Основные свойства преобразования Лапласа 1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Пусть функция ДГ) действительного переменного определена на полуоси 1 ~ О. Ее преобразованием Лапласа называется функция комплексного переменного Ю г' (р) =- ~ е ~ 1 (Г) г(Г. (1) Будем рассматривать комплекснозначные функции 1(г), заданные па всей действительной оси 1 и удовлетворяющие условиям: 1. На любом конечном интервале оси 1 функция 1(г) непрерывна кроме, быть моясет, конечного числа точек разрыва первого рода.
2. ~ (1) = О при 1 < О. 3. Существуют такие постоянные С и сз, что для всех г > 0 выполняется неравенство )1(1)! <Се '. (2) а ы. ОснОВные сВОистВА пРеОБРА30ВАниЯ лАплАсА 437 Функцию 7(г), удовлетворяющую условиям 1 — 3, будем называть оригиналом, а ее преобразование Лапласа, т. е. функцию Р(р) — изображением функции 7(г). Связь между изображением и соответствующим оригиналом будем обозначать так: 7'(г) . Р(р) нли Р(р) -. 7 (Г). Отметим, что, как праввчо, для функций, с помощью которых описываются фиаическне процессы, условия 1 — 3 выполняются. П р и м е р 1.
Рассмотрим функцию Хевисайда ~О, Р-О, 0(к) (1, »О. Функция Р(р) ) е р'аг определена в области Вер) О и Р(р)= = — е Р~)Р ~е —— 1~Р. Следовательно, 0(г),= -'. Д (3) Заметим, что если для функции 4(г), удовлетворяющей условиям 1 и 3, не выполняется условие 2, то для функции (Я(ю), г) О, Сходится в области Вер) Веа и Р(р) = —. Следовательно, 1 Р А Покажем, что преобразование Лапласа есть регулярная в некоторой полуплоскости фунгщия, если Дг) — оригинал.
В $16 условие 2 выполняется, в, следовательно, зта функция является оригиналом. Например, функции 0(г)г, 0(г)е', 0(г)созе — оригиналы. Условимся в дальнейшем опускать множитель 6(г) в ааписи функций, считая эти функции равными нулю при г =О. Например, вместо 0(г), 0(г)г', 0(г)е1пг будем писать соответственно 1, г-, з1в г. Тогда формула (3) примет вид 1 Р—. (4) р' П р и и е р 2.
Найдем изображение функции еи, где 7. — комплексная постоянная, Интеграл -<р — АВ ) о ГЛ. УП1. ОПЕРАЦИОННОЕ ПСЧНСЛЕНИЕ 11ш Р(р) = О. но р +Оэ (6) Действительно, если а, — показатель роста функции /(1) н (а +е)1 з = Вор, то //(1)!(с>е ', где с>)О, е)О и ОΠ— (а +в)' откуда следует соотношение (6). 2. Свойства преобрааования Лапласа. 1. Линейность.
Если /(1) р(р), у(1)-.'О(р), то для любых комплексных Х и 11 А/(1)+ иу(1) .)1р(р)+ р~(р). Это свойство следует иа определения преобразования Лапласа и линейности интеграла. П р и м е р 3. Найдем иаображения тригонометрических и гиперболических функций аш е>1, соа о>1, ЕЬ е>1, СЬ е>1. Из равенства о>о> — о 1м1 з)п о>1 = .
и формулы (5) следует, что 1/ 1 1 1 1о а>п о>1 21 ), р — >о> р+ >о>/ р +о> так что а>п о>1" з з ' Р'+ы' ,1 1+ о->а> Из равенства соа ь>1= л получаем сове>1 ° р р" + о> (8) было доказано (теорема 3), что если функция /(1) непрерывна на полуоси 1> О и удовлетворяет условию (2), то функция р(р) = ) е р/(1)ас регулярна в полуплоскости Вер) сс. Это о утверждение остается в силе и в случае, когда функция /(1) имеет конечное число точек разрыва первого рода.
Назовем точную нижнюю грань тех аначеяий а, при которых для функции /(1) выполняется условие (2), покагателем роста функции /(1). Тогда справедлива следующая Т е о р е и а. Для всякого оригинала /(1) его изображение Р(р) является регу ярной функцией в полуплоскости Ве р. а,„ где со — показатель роста функции /(1). Следствие. Если /(1) — оригинал, то 5 гь ОснОВные сВОистВА пРеОБРА30ВАния лАплАсА я9 Аналогично, используя формулы ЗЬЗ77= — (е"' — е™) и СЬе77 = = — (е"'+ е "'), находим Ье77, „ЬС77,, П Р вЂ” Е7 р — и 2. П о д о б и е.
Если / (7) =. Р (р), то для любого а ) 0 7'(а7). -— Р~ — ). Действительно, полагая ае т, получаем О е — — е 7 (а~) е " Иг = а,) 7 (т) е " Н'г = сс Р ~а ) ' е е Дифференцирование оригинала. Если 7'(г)', 7'(Г), ..., /' '(1) — оригиналы и (~) -. Р(р), то Р"'(г) . р"Р(р) — р" 'у(0)— — р"-'( (О) —... — р/'-ю(О) — У'"-н(О), (9) где /~Ю(0) = Вш У~Ю(7), й = О, 1, ..., и — 1. +е В самом деле, интегрируя по частям, получаем О 4 ~ У' (7) е ж йВ = [~ (7) е "'3 ~," + р ~ У (~) е е'сй. е е Если Ве р) а„где а, — показатель роста 7'(~), то подстановка при г = ее дает нуль, и поэтому Г'(г)- рр(р) — Г(0). (Ю) Справедливость формулы (9) при любом и устанавливается с помощью индукции.
Формула (9) упрощается, если 7(0)=7'(0) =... = ~'а-о(0)- =О, В этом случае7" 7(7)-, ° р Р(р) н, в частности, 7'(7)еерР(р), т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение на р его изображения. Это одно иа важнейших свойств преобразования Лапласа, , 4, Дифференцирование изобра7кения. Если Р(р) + ((г), то Ф "> (р) —, ( — 7) "У (г).
(Н) Действительно, так как функция Р(р) регулярна в полуплоскости Ве р > а„где а, — показатель роста функции 7'(Г), то по Гл. т1Ц. ОпеРАционное псчисленпе теореме 2 з 16 ОО О Р' (р) = ~ — (е ~'1Я) г!'1 = ~ е ' ( — !) (()) !(1. Следовательно, Р'(р) —. ( — !) 1(!). Общая формула (11) доказывается по индукции. Прим е р 4. Найдем изображение функций 1", 1-ео', 1" з1п Ы, 1" сов Ы. Из формул (4), (5), (7) и (8) следует, что (12) р" (р-Х) + 2ро! р — И 2 2 ГвглЫ, гс~зЫ~ р +м) (р.
+ 2) Полагая в (12) Х = !го, получаем !с !о! Е) и! (р+ !!о) +! )иь! 2~2О-! откуда находим 1" совЫ-.. и) ( + „+,, (р'+ о')"" !" Е1пы„и! !ж(Р '") ( 2 ) 2)2+! (прн р действительном) . П 5. И н те гриро в а н не оригинала. Если ((!) —.'Р(р), то ~(т) !)т ! —. (1З) о Действительно, если ~(1) — оригинал, то легко проверить, что функция в (!) = ) ! (т) !гт также является оригиналом, причем о в (г) !(1), б(0)=0.
Если д(!) -С(р), то по формуле (10) получаем )(!) = е'(() -. рС(р), т. е. Р(р) = рС(р), откуда следует формула (13). 6. Интегрирование изображения. Если ~(Г)-. ьо Р(р) н если У(!)/1 — оригинал, то ОΠ— Р(ь) !(;. ! (!) (' (14р $ О7. ОСПОВНЫЕ СВОИСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 441 В самом деле, пусть 1(1)П. Ф(р). Дифференцируя функцию Ф(р), регулярную в полуплоскости Не р ) сс, получаем О Ф' (р) = — ) е Р 1(1) ~й = — р(р), о ОтКуда Ф (р) — Ф (оо) = ~ Р (Ь) о7Ь, (15) где путь интегрирования (р, ) лежите полуплоскости Нар) сс.
Так как Ф( )=- О в силу (6), то из (15) следует формула (14). Пример 5. Найдем изображение интегрального синуса с 11= ) ' — '",' )и о Используя формулы (7) и (14), получаем в!в1 Г о'с я — — = — — агс1я р =- агсстй р, 1 ' .)1+17 р откуда в силу (13) находим агссгя Р з11 —.' Р 7. Запаздывание оригинала. Если ~(1) ° г"'(р) г(г)= О при 1 "с т, где 7 ~ О, то У(1 — т) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
