1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Рассмотрим два варианта. а,оьО. Будем считать, что ао= 1, а, =О; к этому виду уравнение (1) легко приводится с помощью линейной замены переменной. Пусть уравнение ь'+ ЬД+ с,=О (5) имеет два различных корня ~о ~„ тогда о'(~> р — 1 о — ( +— оФ 1 — 1, (ь, — е) ~, + (., — ь,) + ~, — ~, (ь,— е)4,+(с,— ь,)+~,— ~, (6) Интегрируя уравнение (6), находим о(1)=А(1 — ь,)' '(1 — ь,)' ', так что ю (г) =А ~ (ь — ь1)" 1(ь — ь )о ~е('с(ь. с (7) Здесь А — произвольная постоянная, и должно выполняться условие (ь — ~~) (ь ьо)~е !с =О. (8) а, =1 и Ь,ФО. Тогда 2.
а, = О. Будем считать, что — = Аь+ о о(ь) Р + 4+,(ь,' со Ьс„с о о+ ьо ьо ь о о о ьо' о о =ь' ( о тогда функция ю(з) будет решением уравнения (1). Уравнение (4) — линейное однородное уравнение первого порядка, и оно легко интегрируется. Имеем из (4) о 'о + (Ь1 — со ) Ь + (с — Ь ) о(~) ао1'+ б+ с, з 46. метод кОнтУРнОГО интеГРиРОВАния лАплАсА 427 1Аз +Вз / е Интегрируя, получаем и(ь) =се' (ь+ ьз ), так что 1Аз +Вз+зз з)= ((ее ) ' ее. ь / с з Если же ае = Ье = О, а, = 1, то аналогично находим, что где с — произвольная постоянная. Чтобы полностью решить уравнение (1), необходимо указать выбор контура С. Два линейно независимых решения уравнения (1) строятся с помощью выбора двух разных контуров С. Предварительно мы рассмотрим одно из простейших уравнений вида (1).
2. Уравнение Эйри. Так называется уравнение и~е — зиз = О. (11) зз-з~/з Его решение, в силу (1О), имеет вид ш(г)=)е~* з дь, еслиобращается в нуль внеинтегральная подстановка Ре-,'/з ~ (12) Пусть 1,, 1, — лучи агяь = О, агя ь = ~2я/3. Рассмотрим контуры С,=(з — 1 „Сз=1е 1О С,=(,— Це, Любой иа них удовлетворяет условию (12), и мы получаем три решения уравнения (11): зз и;(з) = ) е згеЬ, / = 1, 2, 3. (13) Эти решения, конечно, не являются линейно независимыми; из построения контуров С; следует, что из,(з)+ юз(х)+ вз(з)= О. (14) Очевидно, что в качестве С необходимо взять незамкнутый контур интегрирования, так как в противном случае и (з)= — О. Далее, контур С должен быть бесконечным, иначе подстановка (12) не будет равна нулю при всех з.
Исследуем поведение функции з/ е ь 'при ь- . Эта функция стремится к нулю вдоль любого луча с началом в точке ь = О, лежащего в одном из секторов Ое: ~ агй~! (я/6, Я,: я/2(агй~(5я/6, Я,: — 5я/6 ( агя ~ ( — я/2. 4ЕЕ гл.
Т11. элементАРные Асимптотические методы Любые же два из этих решений, как будет показано ниже, линейно независимы. Наибольший интерес для многих приложений представляет решение эз,(г). Преобразуем его к стандартному виду. С помощью леммы Жордана можно показать, что контур С, можно при 11ез ) О продеформнровать в мнимую ось, так что зз 1(и+я~и)3 (15) Решение пзз(з) отличается от функции Эйри Аз(з) Я 41) лишь постоянным множителем. Решения пзз з(з) можно выразить через кзз(з).
Так как контуры С, (С.) получаются из контура С, поворотом на угол -2л/3(+2я/3) и так как (ьеи"з")' = ьз, то ) — и ззззз (и ззвзз) ( ) — езс lз (еззоз 3. Уравнение (1) в случае а, Ф О. Рассмотрим уравнение зкз" + (Ьзз+ дз) из'+(сои+ сз) из = О. (16) Пусть корни ьз, ьз уравнения (5) различны, тогда интеграл (7) есть решение уравнения (16), если выполнено условие (8). Выберем контур С так, чтобы это условие выполнялось. Точки ь„ ~з являются точкамн ветвления подынтегральной функции, если р, д — нецелые. Фиксируем точку ~„отлич- Т ную от точек ~о ~„и совершим следующие обходы: 1) вокруг ~, в положительном направлении; 2) вокруг ~, в положительном направлении; 3) вокруг ~, в отрицательном направлении; 4) вокруг ьз в отрицательном направлении.
Тогда получим ьз замкнутый контур С (рис. 165). После первого обхода исходное значение функции (з.— ~,)' '(~ — ~,)з-' в точке ь, умножится на е'"з", после второго — на е"", после третьего — на е '"", после четвертого — на 2 е-'"", так что эта функция однозначна на контуре С.
Напомним, что одно из решений уравне- ния (16) регулярно в точке з = О (т 27), р ТЗЕ его мы и постРоили. ВтоРое линейно незаРис. висимое решение придется строить с помощью другого выбора контура С. Проведем разрезы („з, вдоль лучей, идущих иа точек ~о ~з налево параллельно вещественной оси (рис. 166). Пусть для простоты 1ш ~зчь 1ш1„, Выберем в качестве С„С, контуры, которые обходят разрезы в положительном направлении (рнс.
166). По теореме о монодромии в плос- я оо. метод контугезого ннткггиРОВАния лгплхсл 429 кости с разрезами 1о Ц функция (ь — ь,)" '(ь — ь«)' ' распадается на регулнрные ветви; фиксируем одну из этих ветвей. Положим мй (г) ! (ь ь1)~-~ (~ ь )с ~с~*~(~ у 1 2 (17) с; (18) и (х) е".«л оз1пна ~~', Ь„.с — ". «=о Коэффициенты а„, Ь„ имеют вид а„= 21( — 1)" Г(в+ Р)(~, — Ьо)о " ' Ч Ь„=21( — 1)" Г(в+д)Кг — ~,)" " ' ~ '„',' (19) Выбор ветвей следующий: !агй(~, — ь,) ! ( л в первой из формул (19) и ! агд(~« — ь,) ! ( я во второй.
Покажем, что при Ве г ~ 0 эти интегралы сходятся, и условие (8) выполняетсн. На контуре С, имеем ь = ~, — 1, 0(1( так что !ес«!=)ес" ~е "н", и потому !е'*! экспоненциально убы- вает прн 1 — + . Функция !(Ь вЂ” Ь,)' '(Ь вЂ” Ь«)о '! может при 2 — + расти лишь степенным образом, откуда следует сходнмость интеграла 4 для ю, (г) при Ве г ) О. Нетрудно показать, что этот интеграл сходится равномерно в любой полуплоскости вида Ке г ) а > О. Следовательно (2 16, следствие 1), функция в,(г) (и соответственно ио«(г) ) регулярна в полуРвс. 466 плоскости Вег ) О. В $27 показано, что всякое решение уравнения (16) есть аналитическая функция в комплексной плоскости г с выколоты- ми точками ~о ~«.
Мы же доказали аналитичность функций нос«(г) только в правой полуплоскостн. Поворачиван контур ин- тегрирования С, так же, как и в 2 16 (теорема 6), можно пока- зать, что решение в,(г) (ю,(г)) можно аналитически продол- жить на плоскость с разрезом по лучу, вершина которого нахо- дится в точке ~,(ь«) и который проходит через точку ь«(~,). 4. Асимптотика решений. Ограничимся случаем, когда пока- затели р, д — действительные и нецелые. Ветви функций (ь— — ~,)« ', (~ — ~,)о ' выберем так, чтобы они были положительны при ь — ь1 ~0, ь — ь,) О, т.
е. на продолжениях разрезов. По- кажем, что прн действительных х — + справедливы асимпто- тические разложения Ю и: (х) зс«а-из(пир ~~э„а«х 430 ГЛ. УП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Для вычисления асимптотики решений воспольауемся лем- мой Ватсона (5 43). Рассмотрим решение оо,(х). Сделаем в ин- теграле (17) замену переменной Ь вЂ” ~, =1, тогда ш (,) 1оо ~ ..(Р— о(1 ) о о )о-о,м,)1 (о о) Контур интегрирования обходит разрез ( —, 0) в положитель- ном направлении. Пусть р ) О, тогда контур интегрирования можно продеформировать в контур, идущий по берегам разреза. В силу выбора ветви имеем (о ' = е'"'о ")1)' ' на верхнем и (о ' = е '"'" ")Ио ' иа нижнем берегах разреза.
Следовательно, ол,(х) = 2(з1пяре~о"1(х), 7(~) = ) 1Р ~ (~ — ~ — 1)~ ~~ "" Ж. о Асимптотнка интеграла 1(х) при х- + вычисляется с помощью леммы Ватсона (зДесь а= 1, Р =Р, 7"(1) =(~,— Ьо — 1)о '), и мы получаем (18), (19). Пусть р С О. Проинтегрируем по частям йо (х) е о" = — оР(1) о)(Р = — (вд'(1) <(1, РЛ Р (о+) (о+) р(1)=(1+ Ь, — Ьо)' 'с"'.
Если р ) — 1, то аснмптотику полученного интеграла можно вычислить тем же методом, что и при р ) О. Если же р ) — ло, где ло) 1 целое, то проинтегрируем по частям еще (ш — 1) раз, тогда получим интеграл Р (Р+ 1) ... (Рас М вЂ” 1),) и (х) = е'о ( — 1) , (Р" ' ( 1(1) Ю, (от) асимптотика которого вычисляется тем же способом, что и при р)0.
Остается показать, что формулы (18), (19) сохраняются и при р (О. Пусть р ) 0; тогда также можно проинтегрировать по частям ло раз. Для полученного интеграла справедливо асимптотическое разложение (18), так как он совпадает с исходным, а асимптотическое разложение единственно.
Следовательно, при р ( О формулы (18), (19) сохраняются. Асимптотика решения в,(х) вычисляется точно так же. Замечание 1. Формулы (18), (19) справедливы не только при х- +, но и при )з) —, Вез)0, равномерно по агйг в любом секторе вида !агйз)(я/2 — е, е >О. Это следует из леммы Ватсона. 3 а м е ч а н и е 2. Асимптотические разложения (18) можно дифференцировать почленно любое число раз. З 66, метОД кОнтУРнОГО интеГРиРовАННЯ лаплАсА 434 В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя аз иг" + 6иг' + (з' — и') иг = О.
(20) Сделаем подстановку (21) 6Е=З И / п — 1/2'г Х ~~Р~ ~ ) Г(п+ /6+ 1/2)(1/26)А, А-О згг . зггг иг (з) — е "е з о (1+его™) 2 )< 3 . — -пг+— з г/з )го х Т ( )гога;. Уг~( — ',). з-о ' Эти асимптотические разложения пригодны при ~6~в !агах) ( я/2 — з (е ~ 0). Метод контурного интегрирования Лапласа позволяет решить обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с линейными коэффициентами любого порядка. Решение уравнения о ~ (а„з + аз,) игг" "'(з) = О ищется в виде (2), и для неизвестной функции и(ь) получается линейное однородное уравнение первого порядка, которое легко интегрируется. 5, Разностные уравнения с линейными коэффициентами.
Рассмотрим однородное разностное уравнение второго порядка А„у„„о+В„у„~,+С,у„-О, п=О, 1, 2, ... (23) тогда для функции и(з) получим уравнение вида (1) зи" +(2п+ 1) и'+ гп = О. В ЭТОМ СЛуЧаЕ Ьг, з = ~6, р = Г/ П+ 1/2, И МЫ ПОЛуЧаЕМ дза ЛИ- нейно независимых решения уравнения Бесселя игз (з) = — з" ~ (Ьз + 1)" '/'ех'61~, с, игз (г) с з ~ (Ьз + 1) е бгЬ. с, Контуры С„С, имеют вид, изображенный на рис.
166, где Асимптотические формулы (18), (19) принимают вид а! гг —- и,(з) — е"е '( '/'(1+ езггы) 2 Х 1/ 432 гл. ч1ь злементАРные Аснмптотнческие метОды Здесь а„Ьь с,— комплексные постоянные и (а„а,)ль(0, 0). Простейший пример уравнения вида (24) — двучлеяное урав- нение [ао(и+ 2)+ а,) у„+, + (с,и+ с,) у„О. (25) Положим у, О, у,чьО, тогда все члены последовательности (у„) с нечетными номерами обратятся в нуль у, +, О,т =О, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
