1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Функцию х,(1) можно представить в виде свертки .. (1) =- ~ ПВ) з (1 — Б) дБ, (4) о где з($) — решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям з(0)-з'(0)=...=з'"-"(0)=0, з'"-"(0)=$. (5) Из формулы (4) и условий (5) следует, что хе~~~(В) =~~(К)х~1(Ю вЂ” ~)д$+~(1)з" (О), й= (,2, ...,и. (6) 0 Так как изображение функции з(1) есть функция У(р)= $/А(р), регулярная в бесконечности, и Я( )=О, то з(1) — целая функция экспоненциального типа ($48, теорема 3) н в силу (4) и (6) функции х,(1), х,(1)...х, (1) — оригиналы. Следовательно, (ю х(1), х'(1), ..., х'"'(1) — оригиналы.
Функцию з(1) часто нааывают функцией единичного точечного источника для уравнения Ьз = О, а функцию е (1) =6(1)з(1) — Яундаментальным решением оператора Ь, т. е. решением уравнения Бе = 6(1), где 6 (1) — 6-функцвя Дирака. Замечание, Если начальные условия (2) задаются не при Г О, а при 1=1„то заменой т 1 — 1, задача (т) — (2) приводится к решению уравнения Ьу(т)- 1(т+ 10)' с начальными условиями при т = О. Пример $. Решим аадачу Коши для уравнения х" (1) — Зх'(1)+2х(1)-Ое ' с начальными условиями х(0) 2, х'(0)=0. Пусть х(1) Х(р), тогда х'(1):л рХ(р) — х(0) = рХ(р) — 2, х'(1) ..
рзХ(р) — рх(0) — х'(0) = рзХ(р) — 2р. Ь 40. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНых УРАВНЕНИЙ 489 Переходя к изобрая4ениям в уравнении, получаем р'Х(р) — 2р — 3(рХ(р) — 2) + 2Х(р) = —, Х(р) = —," Р+ 1' ра — 1' откуда х (1) = 2 сй 1. Д Пример 2. Найдем решение уравнения х"'(1)+ '(1)=соз1 при начальных условиях х(0) О, х'(О)= — 2, ха(0)=0.
Пусть х(1) ° Х(р), тогда х'(1), рХ(р), х" (1) дар'Х(р)+ 2р. Переходя к изображениям в уравнении, получаем(р'+ р)Х Х Х(р) + 2р =, откуда Х (р) = — — а--. Следовательно, р 1+ 2р 1+ ' (1+ )' 6 48, пример 4) Х 1 р 1 з 2 (р*+1) 2 р'+1 1 з х(1) = — — Ьсоз1 — — е1ВЬ. Д 2 2 П р и и е р 3. Решим уравнение х'"(1)+ 2х" (1)+ х(1) = еш при нулевых начальных условиях.
Если х(1): Х(р), то (ра + 2р'+ 1) Х(р) =— р' + 1' откуда Х(р) = ..., Поэтому (9 48, пример 5) 1 (ра+ 1)' х(1) = — з1в1 — — 1соз1 — — 14ейп1. Д з . з 8 8 8 Аналогично применяется операционный метод к решению си- стем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пример 4.
Решим задачу Коши для системы уравнений х" (1)+а у(1)= О, у" (1)+ Ь х(1)= О, где а) О, Ь) 0 — постоянные, с начальными условиями х(0)= = у (0) = О, х'(0) = у'(0) = 1. Пусть х(1) -Х(р), у(1), У(р), тогда р'Х(р) — 1+ а4У(р) = О, р'У(р)-1+ Ь'Х(р) = О, Решая зту систему, находим р — а Ь вЂ” а. 1 Ь+а 1 х(р)=...= —, + — —, р — аЬ 2Ь р — аЬ 2Ь р +аЬ' р — а а — Ь 1 а+Ь г (р) = 4 а а = а + з ра аааа 2а ра аЬ 2Ь рз + дЬ гл. чссь опзглцссоннов исчислвниз следовательно, Х(Ь) = — з)с(УаЬЬ)+ ' зсв()ГаЫ), у(2) = — зсс()с' аЫ) + =зсп('у~аЬо) Д 2а ')с аЬ 2а )ссоо 2.
Интеграшные уравнения Вольтерра. Рассмотрим линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром К, за- висящим от разности аргументов, т. е. уравнение вида с Ч (ь) = У (ь) + ) К (ь — Б) р (з) 4Б, (7) о где К(Ь), )(~) — заданные функции, ср(Ь) — искомая. Пусть ср(г) =.'Ф(р), с(с)~Г(р), К(М) —.-' С(р). Переходя в урав- нении (7) к изображениям и используя изображение свертки, получаем Ф(р) = Р(р)+ С(р)Р(р), откуда Ф (р) = , Оригинал для Ф(р) есть искомое решение уравнения (7). Пр имер 5. Решим интегральное уравнение сз(Ь) = зспг+ ~(с — $)'с~($) сои.
о Переходя в уравнении к изображениям, получаем Ф(р) = —, + —,Ф(р), р+с Р откуда (р' — С)( *+1) 2 Ь'+1 р' — )о ср (с) = — — (з(а Ь + з)с Ь). Д 1 Рассмотрим линейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с ядром К, зависящим только от разности аргументов, т. е. уравнение вида ) К(Ь вЂ” ь) р(ь) "ь= ПЬ) о (8) где ( — заданная, ср — искомая функция. Пусть р (с) -' р' (р), К(с) ез С (р), ср (Ь) 5 Ф (р).
Тогда из уравнения (8) получаем Ф(р) = —. Оригинал для Ф(р) есть искомое решение уравр (р) = с (р)' пения (8). 461 $49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пример 6. Решим интегральное уравнение ~ е' ~~р ($) д$ = 1. ди 2ди 2 2 — =а— д22 д22 (9) при нулевых краевых условиях и]„=, = и]„=~ = О (10) и заданных начальных условиях ди! и]2= = и,», — ~ =-,( ). ],=, (11) Будем предполагать, что функции и,(х), и,(х) являются достаточно гладкими и удовлетворяют дополнительным условиям в концах отрезка (О; 1], обеспечивающим существование достаточно гладкого решения задачи (9) — (11). Пусть 0'(р, х) — изображение функции и(х, Ф).
Тогда, считая р параметром, получаем ди иди Ю ди 2 7 2 2 дх ди дж 2 В силу правила дифференцирования оригинала и условий (11) находим д и — р(Р (х, р) — ри, (х) — и, (х). Переходя в уравнении (9) к изображениям, получаем ~21, а — 2 — р~г' + рие(х) + и,(х) = О, (12' а из условий (10) имеем И„'=, = ЕР]„=, = О. (13) Переходя к изображениям, получаем — Ф(р) = — „откуда Ф(р)= 1 1 1 (г (8) 1 1' Г1 Р р 3.
Уравнения с частными производными. Рассмотрим задачу о колебаниях струны 0<х(1 с закрепленными концами, предполагая, что начальные скорости точек струны и начальное отклонение струны заданы. Эта задача [2] ставится так: найти решение уравнения гл. ~ш опкглционнок исчислкник Решая задачу (12) — (13), находим изображение У(х, р), а затем его оригинал и(х, 1). Пример 7. Решим задачу (9) — (11) при а = 1, 1= 1, и,(х)=в1пях, и,(х)=0.
В етом случае уравнение (12) примет вид д'6 — — рЧТ = — пв1пях. Нх~ Решая зто уравнение при условиях И Л =, О, получаем У(х, р) = х '.„откуда и(х, г) = совягв1пля. Ц р'+ я" Пример 8. Решим уравнение ди ди — — — 0<в<1, 1>0 д1 дх Х ди ~ при нулевых начальных условиях и(~=в — — — ~ =0 и следую- д~Ио щих граничных условиях: ди~ и) а=О, — ! =в1паг. дх ~х Пусть и(х, 1) -. Г(х,р), тогда —, р —,. Переходя к изобрад и хдГГ жениям в уравнении и учитывая начальные условия, получаем — = рЧ7, откуда находим общее решение У (х,р) = С сЬ рх+ + С,вйрх. Так как в1паГ; а~(рз + а'), то из граничных условий имеем НЦ м П), =О, Следовательно, вх!пхр р (р'+ еР) св р Функция У(х, р) имеет полюсы в точках ~не, Ы(в„где гех = -~ — ) — й ~я й=1, 2, ...
В силу второй теоремы разложения и(х,г) = гев С(р)+ гев б(р)+ ~ ~ гев 6(р)+ гев С(р)1, г=1и я — 1и А 11г=рх Р=-Рд где рв= ~ам 6(р)=У(х, р)е". 9 49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙИЬГХ УРАВНЕНИЙ Будем предполагать, что !а!та ах (й= 1, 2, ...), тогда все полюсы функции 6(р) являются простыми, причем (вере яш хр) г ея1пвхе ее Реп Р / 1„(ре 1 ве)' 2в соя в еиая гея С (р) = , = ( — 1) веряя1пхр ) а 11ВЕ Я1ПВ1,Х вЂ” (я+ ) 11р,) Я вЂ” ) 1„ Учитывая, что гея 6(р) + гея С(р) = 2 Ве гея 17(р) = Я'пах" Р=еи яи асеев аяша хяшв Е гея 0(р)+ гея б(р) = 2Ве гея Се(р) = 2( — 1)а Р Ра Ра Р=ра ва(аа в ) окончательно получаем и(х,г)= +2а х ( — 1) я1П 01Х я!Пве яйя а я1П с11,Х яеп с11. е а сея в а-1 ва(ва в ) при условиях и1,=,=0, п!„,=~(1).
(15) Пусть ~(~) — оригинал и пусть и(х, 1) —. Г(х, р), Тогда, учитывая ди даи д й' (15), имеем — -. ° рП, — =. —. Переходя в уравнении (14) де дхе дхз к изображениям, получим краевую задачу ~еег Я вЂ” — — Е7 = О, дх аз И*-.=Р(р), 1П(х, р) ~ ~", где Р'(р) —. г'(1). Решая задачу (16) — (17), находим 1Р Искомое решение и(х, д) можно найти по его изображению (17) Рассмотрим применение операциоииого метода для решения уравнения теплопроводности.
Найдем распределение температуры в полубесконечиом стержне 0 <х( °, предполагая, что начальная температура стержня равна нулю, а на его левом конце поддерживается задапный температурный режим. Задача состоит в нахождении ограниченного при х ~ 0 решения п(х, д) уравнения ди иди я — =- а — х)0 1)0 де дхя' ГЛ. ЧП1. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ У(х, р) с помощью формулы обращения. Однако удобнее представить гг'(х, р) в виде , -$Р 5'( р) = рР(р) — е воспользоваться правилом изображения производной и свертки, а также полученной в з 48 формулой — е ' —.. 1 — Ф ( — ~ =- = е ' ог$ = 6 (х, 1). Ь. ~Т~ -р'Я ИМЕЕ11 1 У (р, х); и (х, ~) = ~ ~(т) —,6 (х, 1 — т) г)т, д о г где — 6(х,1 — т) = (д — т)-М'е г" и-">.
Следовательно, д д1 2а )/Л с г „(х 1) — ) е аа 11 — г)г)т х Г 1(т] г 2а (/я (1 — т)г1г о и 50. Колебания струны под действием мгновенных толчков 1, Полубесконечная струна. Малые свободные колебания однородной струны описываются волновым уравнением г (1) В момепт времени Т > О по концу х = 0 струны наносится мгновенный удар, так что выполняется краевое условие и,(Г, 0) = Уб(1 — Т), (3) где 6 есть 6-функция Дирака, Уча 0 — постоянная, Решим смешанную задачу (1) — (3) в области 0 < х < 0<1< .
Перейдем к преобразованию Лапласа Р(р, х) = ) и(1, х) е Р1ггг. а (4) Здесь и(д, х) — отклонение струны от положения равновесия в точке х в момент времени д, а ) 0 — постоянная. Пусть струна полубесконечная (0<х.-' ), ее конец х=О свободен и в начальный момент времени струна покоится, т. е. данные Коши нулевые: игг=г~Ог иггг г= — О. (2) 4зо б бо. колевания стРуны и краевое условие их~с=о (6) Поставим еще краевое условие на бесконечности: Р(р,х)- О, Вер- + (7) ау Рт р Тогда и(р, х) = — — е ' ходим и по формуле обращения на- с-~-асс р о-т— » х1 ау Г и(»,х) = — — —. ) 22и»,) Р с — 1 с где с ~0.
Отсюда получаем (3 48), что и (», х) = — О, » ( Т + —, и (», х) =- — ау, » ~ Т + —, и(», х) = — а»с6~» — Т вЂ” — ), (8) где 6 — функция Хевисайда. Таким образом, по струне после удара побежит плоская волна (прямоугольная ступенька высоты а~И) со скоростью а. Колебания струны при наличии трения описываются урав- нением и„= а'и + иио (0) где а) О, со~ 0 — постоянныо.
Начальные и граничные условия снова возьмем в виде (2), (3) . Для преобразования Лапласа п(р, х) функции и получим уравнение Рв+ ир Рхх в а (ТО) и краевые условия (6), (7). Отсюда находим гоl с — ухр +арх-рт и по формуле обращения получаем сои р«-т~-"- ~/рхоар и(»,х) =-— ау (' е »р. »сс Р Р +иР (1 1) 30 ю. в. Сидоров и ир. Тогда для функции о получим обыкновенное дифференциальное уравнение о,х — Ро Р:= О, 0 < х < оо, (5) а ГЛ.
ЧПГ. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Функция срс+кр имеет две точки ветвления: р=О, р -а. Ее регулярная ветвь в правой полуплоскости Кер>0 выбрана так, что с'рс+срр >0 при действительных р >0 с тем, чтобы функция Р(р,х) удовлетворяла условию (7), При р - показатель зкспоненты в (11) равен р(1 — Т вЂ” — 1 — — "+ о(1). а/ 2а Подынтегральная функция в формуле (11) ие имеет полюсов в правой полуплоскости Вер>0, и по лемме Жордана л(~, х) 0 х при ~ — Т вЂ” — (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
