1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Нетрудно показать, что Ф (Л) =-. ~ е 1с?с 1т С=с при любом с. Конечно, кроме прямых 1шС = с существуют и другие контуры т, эквивалентные действительной оси; например, в качестве 1 можно взять любую простую бесконечную кривую, которая имеет своими асимптотами лучи агд?=сс, )и)( —, и и ага( — с) =(1, ((?!( —,, Однако перевальный контур содержится среди прямых, параллельных действительной ося. Заменим контур интегрирования в интеграле Ф(Л) прямой 1ш С = 1ш С„проходящей череа точку перевала С, = е"'""" "', На этой прямой лежит еще одна точка перевала, а именно, с= 3 оо.
мктод пкгквАлА 421 = — р,, Покажем, что пгахВеЮ(г) на прямой В 1гпг=1пгро достигается только в точках перевала г„-го. Имеем о = с+ и)о, Ч, = 1по оо на прямой 1, так что Ве(Ы) = — Чо = сопз1. Точки экстремума функции Ве(($+ гч,)' 1 определяются иэ уравнения 0 = д ВЕ (К + ГЧО)'"1 = 2и ВЕ Я+ 1ЧО)зо ', следовательно, й+1ч )'" '-ру (27) е точке экстремума, где у — действительное число, Пусть у > О; тогда й+ 1Ч =у'Д'" "еео еоо ='" ))'г. и точка — $+1Ч, лежит на прямой 1. Точно так же как и вьппе, доказывается, что гпахВеЯ(г) достигается также в точке — г,. 1и1 Итак, мы установили, что гпахВеЯ(о) достигается только гмо в точках перевала г„— г,. Как и в примере 1, нетрудно показать, что асимптотика Ф(Х) равна сумме вкладов от этих точек перевала, несмотря на то, что контур интегркровакия бесконечен.
Имеем из (25), (26) Б(о ) = 1(1 — — еаоо 2в ) Я (Ро) = — 1(2п — 1)е ооо 8 ( ~о) = 8 (оо)э я( — г) = 8(р), 2 (2п — $)' (28) Интеграл Ф (Х) асимптотически равен сумме выражений вида (7); остается найти ветви корня 7 — 1/Я" (г) в зтнх формулах. Отсюда находим, что в точках экстремума ое +, О~ ооо зга е, оо оо — Ве($+ оЧ,)о" = — Ве ' е"'оо~ = (огп гро)оо (мп ео) " так как е М '~~о = й Поскольку ~ро =- ', то Кои — 1)о (я)2) + 2)ок игах(з)п ~р ) '"+' достигается при Й = О. Этому значению й з о отвечает точка акстремума с + оЧо = —.
е о = о . чо ор о)п(р ' о о Если у(0, то этот случай сводится к случаю у > О, так как (-с+'ч)* '= — гу. 422 ГЛ. ЧН. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ При малых И вЂ” ~,~ имеем Б (~) — Ю (то) — 1 У'(Ю,) (1 — ~,)о, так что уравнение линии наибыстрейшего спуска о„которая проходит через точку ге имеет вид 1= Со+ Ро '+ '-1(Р )(Р '())* оро = ~ + что следует из (28). Следовательно, в формуле (7) должно быть 1/' 1 1 оз, в" (") ! ув" "(1.)! так что вклаД от точки оо в интегРал Ф(Л) Равен 1 И,) =.' (") 3/ '" .1" (1+ О(7,-')1 Аналогичные рассулсдения можно провести для точки перевала — Г„но проще воспользоваться тем обстоятельством, что функция Г(х) принимает действительные значения при действитель- НЫХ Х. В СаМОМ ДЕЛЕ, фУНКЦНЯ Е-""Ъи>В1ПОХ вЂ” НЕЧЕтНаЯ, И ИН- теграл от нее, взятый по действительной оси, равен нулю.
Следовательно, си г (х) = ~ е ""йои1совгхооо при действительных х. Главный член асимптотики имеет внд Ф(),) У(го)+ о'( — оо)1 И таК КаК ЗНаЧЕНИЯ Ф(А) ДЕйСтВИтЕЛЬНЫ, тО У( — го)-х'(~о). СЛЕ- довательно, вклад от точки перевала — 1, в асимптотику интеграла Ф (А) равен у(-с.)-УА)((+0(Х- И. Окончательно получаем, что при х - + р(х) .4в — ахоидо 11х — (и — 1Л(ои — П сов(Ьхоидои — 1) и и— 'ро 1 — -г т~ О (х — оидои — О)1 (29) Здесь А = 2 р' —, а = ~$ — — ) в1в ор„Ь = ~1 — — ) сов ор„ / зя / ( 1) 2и — С ~ Зи) о' ~ 2и/ 2 (2и — 1)' Таким образом, интеграл (21) экспоненцнально убывает при х-и ~а и имеет бесконечно много действительных нулей. Д о 45.
мктод пкгеВАЛА 423 6. Метод перевала и метод стационарной фазы. В 3 44 рассматривались интегралы вида г (Л) = ~ ((х) егх "~Ох а по конечному отрезку [а, Ь[, на котором функция о'(х) принимает только действительные значения. Был вычислен главный член асимптотики в случае, когда фаза Я(х) имеет единственную стационарную точку х„а ( х, < Ь и Я" (х,) Ф О. Пусть, кроме того, функции )(х), Я(х) являются значениями функций )(з), Я(з), которые регулярны в окрестности отрезка [а, Ь). Тогда можно показать, что справедливо асимптотическое разложение Р(Л) еоьеЮ ~ Ь„(оЛ) " ~ — егьеои о=-о Ф ~ а„(ьй) " + о=-о 1 Хс„Л" ', Л-+ .
(30) о=о + оьз(х,) Здесь коэффициенты а„, Ь„определяются по формуле (5) Я 44. Инымн словами, асимптотика интеграла г'(Л) при Л- + равна сумме вкладов от точки перевала и от концов а, Ь контура интегрирования. Чтобы доказать это, достаточно продеформировать контур интегрирования — отрезок [а, Ь) — в контур т такой, что поахВе оЯ(з)) достигается только в точках а=а, з=Ь и з= = х,. Лсимптотика интеграла по контуру т имеет вид (30) в силу следствия 2 и теорем 1, 2. Ограничимся случаем квадратичной фазы; Я(х)=х', общий случай исследуется аналогично. Имеем Ве(1з')(0 в первом и третьем квадрантах.
Заменим контур интегрирования контуром у, у изображенным иа рис. 163. Тогда Ве(оз')( 0 всюду на у, кроме и концов контура а, д и точки перевала з = 0; этот контур удовлет- Рнс. 163 ворнет условиям следствия 2. Таким образом, метод стационарной фазы является частным случаем метода перевала, если подынтегральная функция регулярна. Замечание 2. Формула (30) справедлива и в том случае, когда функции ~(х), Я(х) бесконечно днфференцируемы на отрезке [а, Ь) (см.
[22)). ЯА ГЛ. ЧП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТНЧЕСКТГЕ МЕТОДЫ Пример 4. Вычислим асимптотику при х- — функции Эйри — Фока (15). Делая замену )'!х! й- г, получаем Р(Х)= ) е ~ Й, А1(х) = ! Р(Х), Ум (31) Рис. 164 ири Кег- —, сш (. Можно показать, что интеграл (31) равен интегралу по контуру (: Р(А) = ~ е ~ Ъ. На контуре т имеем Ке Я(1)(0 всюду, кроме точек перевала 1ь„в которых КеЯ(1)=0. В силу следствия 2 аснмптотика интеграла Р(Х) равна сумме вкладов от точек перевала 1е, з где А !х!'", Я(1) =1~ — — Г). Точки перевала 1С,=~1 функции Я(г) лежат на контуре интегрирования.
Продеформируем контур интегрирования так, чтобы шахКеБ(1) достигался только в точках перевала 8С г. На действительной оси в комплексной плоскости 1 имеем КеЯ(8)=0. Выясним, в каких областях функция КеЯ(г) отрицательна. Полагая Г $+1г!, получаем, что уравнение КеЮ(8)= 0 имеет вид г) (à —.— 1) =О. Поэтому кривая КеЯ(1)=0 ч' 6 состоит из действительной оси (г) = 0) и гиперболы Еи — ~ — 1 = О.
з Зта кривая изображена на рис. 164 (области, в которых Ке Я (1) ( О, заштрихованы) . Заменим контур интегрирования контуром ( (рис. 164). Так как Г- !1! е*'"м на контуре ( при Кег- + а, то КеЯ(1) — — — )1!' и функция !е"""! Экспоненциально убывает при Ке1- +, 1ж (; то же самое верно и $46. метод НОнтуРнОГО интеГРиРОЕАния лАплАсА 422 Имеем Б(ггл) = =à — 1, Я (Ть,) = ~2~, и окончательно получаем 2 А1(х) = — ! х) Н4 ~соз~ — ~ х ~м~ + — 1 + О ( ( х ! ~~~)1, х -+- — оо. () $46. Метод контурного интегрирования Лапласа 1. Контурное преобразование Лапласа.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с линейными коэффициентами (а г+а )ш" +(Ь г+ Ь,)и~'+(се+с )в=О, (1) где аь Ьь с; — постоянные. Будем искать решение этого уравнения в виде ю(г) = ) еъеоф н~, с (2) где с(~) — неизвестная функция, С вЂ” некоторый контур инте- грирования, не зависящий от г. Проведем прежде всего фор- мальные выкладки. Дифференцируя под знаком интеграла, по- лучаем ш'(г) = ) е ЬР(Ь)СЬ, й (г) = ) е Ьзи(Ь) дЬ. с с Интегрируя по частям, получаем гв (г) = ~ и (ь) ые" = и (Я) е" ~ — ~ е~'и' (ь) нь, 'с ~с с где внеинтегральная подстановка берется на концах контура С. Аналогично доказывается, что гв' (г) = ьо(ь) е~* ~с — ~ е~'(ьс (ь))' Нь, гш" (г) = Ььо(Ь) Е ~С вЂ” ~ ЕТ'(~'Р(Ь))' аЬ. с Пусть контур С я функция с Ц) выбраны так, что равна нулю внеинтегральная подстановка: (аД'+ ЬД + с,) о(ь) е'*И = О.
(3) Тогда уравнение (1) примет вид ГеТ*((а,р+ Ьд+ с1)и(~) — ае(РР(1))' Ьо(~с(Р)' сФФ)е~= О. с 426 ГЛ. ЧП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Выберем функцию о(~) так, чтобы она удовлетворяла уравнению т (ась (~) + Ьо~ К) + е, (С)) — (а,Л' + Ь,Л + с,) К) = О, (4) Разложим правую часть этого уравнения на простейшие дроби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
