1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Здесь з фиксировано, 0( с «л. Имеет место более точное асимптотическое разложение для логарифма гамма-функции [22[ 1п Г (г) ~г — — ~ 1п г — г + — 1п (2л) + 11 2/ 2 у ( — 1)и еВ„ 2п (2п — Ц ее" г~ Ве~ где „— числа Бернулли (т 12, пример 4). Для остаточного члена в формуле (30) доказана следующая оценка: )0(1/х) ) «(1/12х. [) Прим е р 5. Вычислим асимптотику суммы п г" (п) = ~ С„"й(и — в о=о 2~ ю. В. сваооов в ло. Пример 4. Рассмотрим гамма-функцию Эйлера Г(х+ 1) = ~ 1 е — 'ей. о Докажем формулу Стирлинга Г(х+ 1) = хее " г'2лх (1+ О( — (), х — и + сю.
(30) Этот интеграл не явлнется интегралом вида (1); приведем его к такому виду. Подынтегральная функция $"е-' достигает наибольшего значения ка полуоси 1) 0 в точке ео(х) х, которая уходит на бесконечность при х- + . Остановим зту точку„ сделав замену переменной 1 = хе . Тогда Г(х) +е 1 епве оЩ о Последний интеграл имеет вид (1): Х=х, В = 1пе — 1, /(1)- =1. Точкой максимума является 1,=1 и Я(1,)= — 1, 8и (1,) — 1.
Чтобы применить теорему 2, разобьем область интегрирования на три части: (О, 1/2), (1/2, 3/2), (3/2, ° ). Интегралы по первому и третьему интервалам зкспоненциально малы по сравнению с е —" = е" (") в силу леммы 1. Асимптотика интеграла по отрезку [1/2, 342) вычисляется по формуле (22), и мы получаем формулу (30). Из (30) вытекает асимптотическая формула Стирлинга для факториала: 402 ГЛ. УГГ.
ЗЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ при и- . Преобразуем зту сумму в интеграл. Используя тож- юа дество й!и — ь — ь = ~е ""хьйх, получаем о Р (и) = — и ~ е (1 + х)" йх, о $44. Метод стационарной фазы 1. Постановка задачи. Рассмотрим интеграл вида ь е" (Л) =- ~ ~(х) е ох.
а Здесь 1=[а, Ь) — конечный отрезок, функция 5(х) принимает только действительные значения и Л вЂ” большой положительный параметр. Интегралы вида (1) называются интегралами Фурье, а функция Я(х) называется фазой нли Яазооой функцией. Нас интересует асимптотическое поведение г" (Л) при Л- +». Тривиальные варианты )(х) = 0 или Я(х) = сопз$ не рассматриваются. Частным случаем интегралов Фурье является преобразование Фурье ь Г(Л) = ~ 1(х)е ох. а (2) Пусть функция 1(х) непрерывна при а<х~о, тогда е"(Л) — 0 при Л вЂ” + .
Действительно, при больших Л функция Ке()(х)е'~) сильно осцнллнрует, и две соседние полуволны имеют примерно одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку площади. Поэтому сумма текил площадей мала, в силу чего мал и весь интеграл ь ~ Ке(~(х) е'" ) лх. а Наиболее общий результат об асимптотическом поведении интегралов вида (2) составляет следующее утверждение: откуда Ь'(и) = — п~ е"зинах, где Я(х)= — х+1п(1+х).
Функция о Я(х) на полуоси х) 0 достигает максимума только в точке х = О, причем Я(0) = О, Юа (0) = — 1. Применяя следствие из теоремы 2, получаем Р(п)аа Уапц(1+0(1!Уп)), и- ' . () 9 44. МЕТОД СТАЦ))ОИАРНОЯ ФАЗЫ Лемма Римана — Ле бега (13). Пусть интеграл ь ) (1(х)(дх сходится. Тогда а ь ) ) (х)е дх — »-О, Х вЂ” »-+ оь. ь В лемме Римана — Лебега ничего не говорится о скорости стремления интеграла т'()») к нулю.
Дело в том, что зта скорость суп(ествеяпо зависит от дифференциальных свойств функции )'(х) и может быть сколь угодно медленной. Асимптотические разложения для интегралов Фурье удается получить только для достаточно гладких функций )(х), Я(х). Мы ограничимся случаем, когда обе эти функции бесконечно диффереицпруемы ка отрезке Х. Теорема 1.
Пусть функции )(х), Я(х) бесконечно дифференцируемы и Я'(х)ФО при х~Г. Тогда для интеграла (1) при Х вЂ” + справедливо асимптотическое разложение Р(Х) —, е)ьвыз .)'„Ь (й) — — е)ьз( ) ~' а (й) . (3) =ь з=ь Это разложение можно дифференцировать по Х любое чисео раз. Главный член асимптотики имеет вид Р()„) т( ) епз(ь) (') еож ) .( (,) (й — г) (4) 4)„Я' (Ь) )ЛЬ" (а) Коэффициента) а„, Ь„вычисляются по формулач а„= ( — 1) М" (,(' ) ~, Ь„= ( — 1)" Мв( „( ) ) ~, (5) 1 о М вЂ”вЂ” Я' (х) вз ' Заметим, что формулы для коэффициентов а„совпадают с формулами для коэффициентов с„из (9) з 43. Доказательство теоремы 1.
Проинтегрируем (1) по част)пг так же, как и в доказательстве теоремы 1 З 43: ь г' (й) — ) 44 (е)) $(з)) е)хз(х) (- Р (»„) 1 ) г(х) 1 . 1(х) )Ь 1 4)», Ь (х) )Х Я (х) а 4)» а ь р (),) = ~еьхв(з) ' ( 1(х) )),(х а В силу леммы Римана — Лебега имеем Р»(Х)=о(1) (Х- + ), и формула (4) доказана, по с остаточным членом в виде о(1й).
26* 404 гл. чп. элкмкнтьэныв Асимптотичзскив мвтоды Интеграл Г,(Л) имеет в точности тот же вид, что и Г(Л); снова интегрируя по частям, получаем Р (Л) ' гь Ю~, Р,(Л), )ь <Ло (з) а <Л Здесь 1,(х)= — ()(х)/Я'(х)), а Г, получается из Е, заменой 1 на 7,. Так как г'«(Л)=о(1) (Л- + ) в силу леммы Римана— Лебега, то Р,(Л)=0(Л '), и формула (4) доказана полностью. Кроме того, мы доказали, что Р(Л) (~Ь + < ) е<лз<ю (а + —,' )е™<")~ + — г' (Л), = <Л(6 ° Л) (, О <Л,) ) (;Л)з 3 где коэффициенты аь Ь; имеют вид (5). Продолжая интегрирование по частям, получаем разложение (3).
Так как интеграл Г(Л) сходится при любых комплексных Л, то Г(Л) — целая функция Л (3 16, теорема 1). Возможность почленного дифференцирования ряда (3) вытекает из теоремы5з 42. Из доказательства теоремы 1 вытекает С л е д с т в и е 1. Пусть функции 1(х) и Я(х) непрерывно диффвренцируез<ы й и й+ 1 раз, й ~ 1, соответственно на отрезке (а, Ь). Тозда ь — 1 ь — < р(Л) = — еез<м ~~ Ь„.(<Л) "— —.еоз<ю )'„а„(ьй) "+ <Л ~Л «=О ь=з +о(Л ) (Л + ). (6) 7'езда при т — +«« «я с,„= ~ е' "/(х) дх = о(т-"). о (8) Действительно, так как е" ' = 1 при т целом, и выполнено условие (7), то в формуле (6) сокращаются зсе слагаемые, кроме остаточного члена.
С помощью интегрирования по частям можно вычислить асимптотику и некоторых других классов интегралов от быстро осциллирующих функций. Частным случаем этого следствия является асимптоткческая оценка для коэффициентов Фурье, известная из курса математического анализа. Следствие 2. Пуать функция 7'(х) й раз непрерывно дифференцируез<а на отрезке (О, 2я) и (<е (О) — ~<в (2я) О ~ у ~ й (7) з 44. метОд стАционАРнои ФАзы 405 х х Оценим последний интеграл; имеем Итак, мы получили, что при х — + Ф(х) = — — ',.
+ О® Оба слагаемые в правой части этого равенства имеют одинако- вый порядок, следовательно, Ф (х) = О~ — ), х -е. + оо, !1~ Чтобы получить более точную оценку, проинтегрируем по ча- стям е4це раз: еп Цг 1 Д(е44 ) еех 1. 1 ем Д1 3 1 ~ з .е 1 3 3 ~ — 4 .3 2с,3 21хз ря,1 Модуль последнего интеграла не превосходит величины )1 4Ю=О(х з), Следовательно, Ф(х)=- ~ +О~ з) х '+ оо Продолжая интегрирование по частям, можно получить асимптотическое разложение (при х- + ) для интеграла Ф(х). Первые два члена разложения имеют вид Ф(.)=е-*~ —,'.
+ — ',)+ОЯ. Ц 2. Вклад от невырожденной стационарной точки. В условии теоремы 1 содержится одно важное ограничение: Я'(х)чь 0 при хыУ, т. е. функция Я(х) (фаза) не имеет стационарных точек на отрезке. Если имеются стационарные точки фазы, то асимптотика интеграла Р(Л) имеет иной характер, чем в теореме 1. 00 Пример 1.
Рассмотрим интеграл Ф(х) = ~ем Ю и вычислим его аспмптотнку прн х- + . Проинтегрируем по частям: ЮО Ф (х) = ) — 44 (е" ) = — —. + — ) е" —. ( 1 4р еех 1 ( 4з хз 3ЗМ " Зх1 11 3 зз х х 406 ГЛ. ТН. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТНЧЕСКНЕ МЕТОДЫ Фаза Я(х)=х' имеет стационарную точку х=О. Вблизи этой точки (на интервале порядка 1/'оЛ) функция созЛх' не осциллирует, а сумма площадей остальных волн косинуса имеет порядок 0(Л '), т. е. существенно меньше. Поэтому интеграл Р(Л) будет иметь порядок 1/1Л. Облечен эти эвристические сообраокения в строгую форму.
Л е мм а 1. Пусть функи,ия /(х) бесконечно дифференуируема на отрезке (О, а) и а ть О. Тогда при Л вЂ” +аа а Ф(Л) ~ /(х) еи!о)ахаоо(х, 1 ~/ 2п екз/о)о(а)/(О) ( 0( 1 1 2 )и!Л ~ Л /' о (9) 6(а) = зина. Доказательство. Пусть со>0 и /(х)=1. Делая замену переменной 1соЛх = 1, получаем а ат аь е1нюала г(х =-. = еи 1' Ж = Первый из интегралов, стоящих в квадратных скобках, есть интеграл Френеля и равен — е1а1о у 2я(2 29). Оставшийся интеграл 2 есть 0(1/Ю) при Л - + в силу примера 1, так что а ен1г1а"а о(х = — ~' — 'еено + О( — ~, Л-о.
+ оо. 1 . ° /2з 2 т иЛ \Л! о Пусть со(0; тогда а а Еоа" С(Х = ~ Ео~ О(Х, о о (10) (11) где р = -а)0. Следовательно, формула (10) при а(0 оста- ется в силе, если заменить а на — а = !и! и е"н на е "". Представим функцию /(х) в виде 1(х) =/(О)+ (/(х) — /(0)) = /(О)+ ху(х), где д(х) =- — бесконечно дпфференцируемая при 0 ( 1Ф вЂ” 1(о) ~ х ~ и функция. Тогда Еи Ф(Л) = — У(0) 1/ <Л е + 0(Л ) + Ф,(Л), а 1 Ф, (Л) = ~ е' хд(х) Их. о а 44. метОд стационАРнои ФАзы 407 Оцевти последний интеграл. Имеем — д (а) епм)"ы д (О) ] е):~)'з)багз у' (х) с(х в (а(Л в Подставляя эту оценку в (11), получаем (9). 3 а и е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
