1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Это вытекает из того, что функция з — 1п з ограничена в любой ограниченной области .0ш Р. Далее, 1пз=1п Ь! +»р, !<р! < я при зыР, так что !1пз! '=о(Ь!) при з- », з<юР. Следовательно, з(Л)-Л при Л- + и з(Л) Л(1+ ь(Л)), где ~(Л) ~. О при Л -+с . 1. Покажем, что при Л>Л») О и при большом Л, уравнение (15) имеет в области .Р единственный корень з(Л), причем з(Л) Л+ 0(1п Л), Л - + (16) 24» Ч72 ГЛ. ЧП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Полагая в уравнении (15) г Х(1+ Ц, получаем уравнение 1п Л 1п Н + ~) (17) Л Л Воспользуемся теоремой Руше (т 30). Запишем уравнение (17) в видо ~ — (е+61п(1+~))= О, (18) где е = 1п Л/Л, 6 = 1/Х вЂ” малые параметры, причем 6 = о(е) (Х- + ).
Рассмотрим круг К,: ~~! ~2е. Так как е- 0 при Х- +, то существует Л, ~0 такое, что круг К. содержится в круге К: К~ (1/2 при Х ~ХМ Функция 1п(1+ь) регулярна и ограничена в круге К, т. е. Пп(1+ ~) ~ ~ М, и это же неравенство верно для круга К, при Х~ Л,. На границе ~~) = 2а круга К. имеем ) -е — 6 1п (1+ ь) ) < е + ЛХ6, и так как 6 о(а) при Л вЂ” +», то ) — е — 6 1п(1+ ~)! (2е )Ц! при Х ~ Х„если Х, велико.
По теореме Руше число корней урав- нения (18), лежащих в круге К„ равно числу корней уравнения 4 = О. Следовательно, при Х ~ Л, уравнение (18) имеет в круге К. единственный корень Ц,(Л); при этом )ьо(Л)! ( 2!е1, т. в. Ц,(Л)= 0((1пЛ)/Х) (Х- + ). Тем самым формула (16) до- казана. 2.
Уточним формулу (16). Для этого применим метод итера- ций, т. в. подставим полученную оценку ~=0((1пХ)/Л) в пра- вую часть уравнения (17). Тогда получим, что — + — 1п(1+ 0~ — )) = — + 0~ —,), так как 1п(1+ ~) = 0(~) (~ — 0). Следовательно, г(Х) = Х+ 1НХ+0 ~ — ), Л-+. + оо, / 1п Л 1 и мы получили более точную асимптотнческую формулу для г(Х), чем формула (16). Снова подставляя в правую часть урав- нения (17) уточненную формулу для ь, получим еще более точ- ную асимптотнческую формулу для г(Л), и т. д.
3. Нетрудно проверить, что асимптотические формулы (16) справедливы прн Х ш Я, )Л) —, где Я вЂ” сектор вида )агйЛ) ( ~ я — а (0( а ( я). В этих формулах 1п Х вЂ” регулярная в секторе Я ветвь логарифма, положительная при действительных Л)1. П Пример 10. Рассмотрим уравнение в' ° аг, а т' О. з м, пРОстейшие Асимптотические Оценки зте Покажем, что это уравнение имеет бесконечно много корней, и вычислим их асимптотику. Уравнение (19) в любой ограниченной области комплексной плоскости может иметь только конечное число корней, так как е* — ах — целая функция. Далее, функция )е'~ экспоненциально растет вдоль любого луча агйх = а, лежащего в правой полу- плоскости, и экспоненциально убывает вдоль любого луча аги х а, лежащего в левой полуплоскости, а функция ~ах! растет линейно вдоль любого луча. Отсюда следует, что корни уравнения (19) концентрируются возле мнимой оси, т. е. все корни, за исключением конечного числа, лежат в секторе, содержащем мнимую ось.
Приведем строгое доказательство этого утверждения. 1. В области Вез~О, )х) >1/)а) уравнение (19) не имеет корней, так как )е*) ( 1, )ах! > 1. 2. Пусть Я. — сектор ~аглх~ < л/2 — е. Покажем, что при любом фиксированном ею(0, к/2) в секторе Я, уравнение (19) может иметь только конечное число корней. При х ю Я, имеем в =ге", где ~<р)» (х — з,так что !е*~ = е'"*'> е'"''. Так как (ах) )а1г о(е""'') (г- +а ), то )е*) > !ах! (х~аЯ„)х!>В), при больших В и уравнение (19) не имеет корней в области х ю Ю„ ~х! > В. Следовательно, в секторе Я, уравнение (19) может иметь только конечное число корней.
3. рассмотрим сектор я.: — — з (агйх ( †, . Если уравнение (19) имеет бесконечно много корней в секторе Я„ то эти корни стремятся к бесконечности с ростом номера. Пусть хю Б. — корень уравнения (19); тогда существует целое число и такое, что э=2я1п+1п а+1пх. (20) Здесь 1па — фиксированное значение логарифма, а 1пх — регулярная в полуплоскости Воз > 0 ветвь логарифма, принимающая действительные значения на полуоси (О, ). Таким образом, мы получили уравнение, исследованное в примере 9; здесь Х = 2я1п+1п а. При вычислении асимптотики корней можно ограничиться формальными выкладками, поскольку их обоснование содержится в примере 9.
Полагая х= 2я1п+ ~, получаем " ь= 1п (2Ыпа) + 1п (1 + —.) . так что ь 1п(2я(па) (п ). Тогда 1п(1+ —,) О( —.) = О( — ), х„=2я(я+ 1пя+1п(2я1а) + О ( — ), и-ь-+ оо. (21) 374 ГЛ. Чп. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИЫПТОТИЧЕСКНЕ МЕТОДЫ Если х ш Я„!г! ) Л и Х велико, то !з)пх! ~ )г! и в атой области уравнение (22) не имеет корней. Следовательно, в секторе 8, уравнение (22) имеет не более конечного числа корней.
То же самое верно для сектора — я+ з < агй г < — з, так как функция /(г) — зш г — г нечетна. Корни уравнения (22) «ходят» четверками: г„г„— г„— х„ так как функция /(х) нечетна и /(й)=/(г) (если х — действительное число, то /(х) также действительное число). Поэтому достаточно исследовать асимптотическое поведение корней в секторе 8;. 0 < ац г < э.
Здесь е > 0 — фиксированное число, которое можно выбрать сколь угодно малым. 3~равнение (22) запишем в виде е'* — е ™ 2йь Разрешая зто уравнение относительно е'*, получаем е'* = 1(г+ ух' — 1). (23) Функция Уг' — 1 распадается в секторе Б, на две регулярные ветви /,(г), / = 1, 2, причем /,(г)= — /,(х). Пусть /~(х) — ветвь, положительная при действительных г=х) 1; тогда /,(х)-х, /,(г) — х при хш Я,.
Следовательно, г+ /,(г) 2г, г+ /,(х) 1/(2х) при г-, г ш 8, (пример 11 5 24). Так как 1шг) 0 при г ш Я„то )е'*!» 1 в этом секторе. Поэтому уравнение (23) пРи г ш Я„)х! > 1/2 имеет вид ее 1(х+/г(г)). Логарифмируя это соотношение, получаем г = 2ян+ — — 11пл(г). 2 (24) Здесь я(г)=г+/,(г), я~1 — целое число; символом )пл(г) Подставляя г = г„из (21) в уравнение (20), можно уточнить зту асимптотическую формулу. В формуле (21) имеем )п л ) О, Ве )п(2я1п) ) О.
Аналогичная серия корней уравнения (19) лежит в секторе — — (атнг( — — + з. 2 2 П р и м е р 11. Вычислим асимптотику корней уравнения з1п х х. (22) Функция )зшх! растет экспоненциально вдоль любого луча с началом в точке х О, за исключением полуосей действительной оси. Поэтому корни уравнения (22) могут концентрироваться только вблизи действительной оси.
Докажем это. Пусть Я,— сектор е < агя г < я — з, где 0 < е < я, з фиксировано. Положим г = ге"; тогда е <1р < я — е при хшЯ.. Имеем 1 . 1 1 — ! хи;н ! ) (гтвмх „;гв!ае) х ы. пвостеишие Асимптотнческие Оценки З75 обозначена регулярная в секторе 8, ветвь логарифма, принимающая действительные значения при действительных х. Напомним, что корни уравнения (24) стремятся к бесконечности; следовательно, х„- 2лл при л- .
Далее, при х~я Я„х- й(х) = —,' +О( — ',), 1пя(х) = — 1п(2х)+1п(1+ О( — )) = — 1п(2х) + О( — )„ и уравнение (24) принимает вид х = 2лп + — + 1 1п (2х) + 0 ( — ) л (1 1 2 3 '(здесь х=х„). Отсюда, как и в примере 9,находим аснмптотнку корней х„= 2ли+ (1п(4ли) + —, + 0 ( — "), л-+ + оо. (25) Остальные три серии корней имеют вид (х„), ( — х„), ( — х„). () 2. Простейшие оценки интегралов.
Рассмотрим интеграл вида х г (х) = ) 7®А. (26) а Нас интересует асимптотическое поведение интеграла г" (х) при х- + . Если интеграл ) 1(т)М сходится, то очевидно, что а Р (х) = ) 1 (() й + о (1), х -~ + оо. а В этом случае естественно исследовать при х- + > поведение интеграла 0(х) г'(+ ) — Р(х), т. е. функции 0(х) = ~ 7'(т) ЫГ. (27) х При довольно широких условиях асимптотические оценки кожно интегрировать, т. е. если 1(1)-а(2) 1- + ° (28) то (29) Приведем соответствующие достаточные условия.
зте ГЛ, УП. ЗЛВМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Теорема 1. Пусть уьункции ~((), у(ь) непрерывны при ь ~ а, удункция у(ь) строго положительна при больших 1 и ) у(ь)аь=+ оо. а (30) Тогда иг соотношения (28) вытекает соотношение (29). Доказательство. По правилу Лопиталя имеем ~ 1 (ь) йь 1(ьп а ° ь (х) = Пьа — = 1. х-~+ р х +аь Е() ) е(ь) вь а Применимость правила Лопиталя следует из условия (30). Точно так же доказывается Следствие 1. Пусть условия теорезьы 1 выполнены и у(1) = о(у(г) ), 1 — +-. Тогда ) ь х л = ° Ц ( ь х а), а ь,а Следствие 2. Пусть условия теоремы 1 выполнены и $(1) 0(у(г)), (ь~ Ь Р- а).
Тогда ) нг а = о () ь х а), а 'ьа ) ~(ь) сй (С) у(й)ььь=СН(х). Далее, при х~Ь имеем ьь х~ ~х(х~-/() ~-))ьща/кг, ьсвхь Д о к а з а т е л ъ с т в о. По условию существует постоянная С ) 0 такая, что ))(т) ) ~ сд(1), Следовательно, при х > Ь э оь ПРОстейшие лсимптотические Оценки 379 оценки 1()- () )~() и-) ()А х х С' СО их = и*о ) ю сс = ( ( м сс), СО С' С С ~=О<СХО )СС>ОС=О()С[С~ОС).
х х Действительно, иэ сходимости интеграла от функции л(~) по полуоси о> а в этих случаях вытекает сходкмость интеграла от функции ~(о) по этой полуоси. После этого, как и в теореме 1, остается воспользоваться правилом Лопиталя. ) ) Пример 17. Пусть а) 1, С ч" Π— постоянные, функция ~(х) непрерывна прн х > а. Тогда прн х — +О справедливы асимптотические оценки ОС у (х) - Сх =о. ~ / (~) со х ~(х) = о(х — ")=о ) У(У) оИ = о(х' — "), х ~ (х) = 0(х-") =о. ~ ~ (о) ооо = О (х' — ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
