1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. 1(з,) =О, ~'(з,) т'О. Рассмотрим уравнение 1(з) е, где е — малое комплексное число. При малых !е! уравнение (1) имеет корень г(е), близкий к точке з,; вычислим асимптотику з(е) при е- О. Эта аадача решается с помощью теоремы об обратной функции (з 13). В силу этой теоремы в малой окрестности точки е 0 существует функция з(е), обратная к функции ~(з) (т. е. ~(з(е))=е при малых )е!). Функция г(е) регулярна в точке е = 0 и разлагается в ряд Тейлора х(е) = зз + ~ с,е', сходящийся в круге !е! <р при достаточно малом р>О. Коэффициенты ряда (2) вычисляются по формуле Бурмана — Лагранжа ($31).
В частности, с, 1l~'(з,). Из разложения (2) вытекают асимптотические формулы з(е)=з + Х сьев+0(ел+'), е-~.О. (3) м=т 9 ы. пгостнишин Асимптотичеоких оцвнки звт В частности, при )г'=1 получаем х(з) х,+0(е), при )г'=2 получаем г (з) = г, + , з + 0 (зг). Ц (4) Замечание 1.
Если нас интересуют только первые несколько членов разложения (2), то можно вычислять их методом неопределенных коэффициентов. Именно, запишем х(з) в виде ряда (2) и подставим в уравнение (1). Функция ~(г) разлагается при малых !г — г,~ в ряд Тейлора 1(г) = ~ а„(г — хс), и«г и уравнение (1) принимает вид !' ОО 1« ~~ аэ ~ ~~ сэзэ) — е = О. «.=-! й ! Разлагая левую часть этого равенства по степеням з и приравнивая нулю коэффициенты при степенях е, получаем рекуррентную систему уравнений, из которой можно последовательно найти с„с!, ...
Пример 2. Рассмотрим уравнение (1), где функция ~(г) регулярна и имеет нуль порядка и > 2 в точке г,, т. е. 1(г,) = 1'(г,) = ... = 1"-!(г,) = О, )!"' (г,) чь О. Из второй теоремы об обратной функции ($ 32) вытекает, что при-малых е чь 0 уравнение (1) имеет ровно и различных решений г,(е), г,(з), ..., х„,(е) (которые являются элементами некоторой и-значной аналитической функции). В данном примере удобнее не использовать теорему об обратной функции, а непосредственно преобразовать уравнение (1) к такому, для которого выполнены условия примера 1. Будем считать, что з изменяется не в полной окрестности точки е = О, а в некотором секторе Я с вершиной в точке з — О.
Пусть, для определенности, о — сектор: !е1 = О, !агд з1 < я — 6 (О < 6 < л). По условию в окрестности точки г, имеем ~(г) = (г — г,) "д(г), (5) где функция д(г) регулярна и отлична от нуля в точке х,. Уравнение !с = е (э ~0) имеет ровно и различных решений !с! = е'"!!!'" ~/е, 0 1 ~~ и — 1, (6) и где !Гз — фиксированное значение корпя. Пусть е!нЯ; симва и/ и лому е обозначим регулярную ветвь корня такую, что у' е«0 при е «О. Функция у д (г) в малой окрестности У точки г, распадается и на и регулярных ветвей. Символом г д(г) обозначим одну из Вее ГЛ.
ТП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКНЕ МЕТОДЫ них; чтобы выделить ветвь, достаточно задать значение корня 1/б(зе). Так как 7(з) = ((з — з,)1/а(з)), то в силУ (6) УРавнение (1) распадается в У на и независимых уравнений: (з — зе) ~/ е(з) = етп®" у'е, О ()~ ~~ и — 1.
(7) Если 7(з) — левая часть формулы (7), то ~'(гс) = ~/у(з0)чьО, и для каждого иэ уравнений (7) условия примера 1 выполнены. Следовательно, при малых е ы Б уравнение (1) имеет ровно и решений ОО з (е) =ге+ ~ сь(етп1п" Р' е), 0<~14 и — 1. (8) ь-т Ряды (8) сходятся при малых е. Напомним, что в правой части символом у' е обозначена регулярная в секторе 8 ветвь корня, положительная при е) О. Коэффициенты с, можно вычислять по формуле Буриана — Лагранжа ($31).
В частности (4 32), ~~ Г п~ $ 1 ('о) Пример 3. Рассмотрим уравнение 3 — 3 =е (9) и вычислим асимптотику его корней при е - О. При е =0 уравнение (9) имеет простой корень з,= 1 и двукратный корень з~ О. При малых е уравнение (9) имеет иорень з,(е)- з, 1 (е - 0) и два корня зь1(е) - з1 ° 0 (е - 0). Вычислим асимптотику корня з,(е). Положим з = 1 + ь, тогда Ь + 2ь' + ь' е.
Иэ примера 1 следует, что ь = ~ ОАЕ", ь-1 так что (с,е+ сзез+ ...) + 2(с'",ее+ ...) + 0(еэ) — е = О. Приравнивая нулю коэффициенты при е, е*, получаем с — 1 = О, с, + 2ст з= О, откуда з,(е) 1+е — 2е'+0(е'), е- О. Вычислим асимптотику корней з,,(е). Пусть е>0, для простоты, и пусть Уе~ О. Уравнение (9) в окрестности точки в= 0 распадается на два: зЛ: з = 17е, зЛ: з — Фе, $ гь пРОстейшие Асимптотические Оценки 369 где У1 — г!.
о=1, Первое уравнение имеет внд + + Положим х= ~ с„(~/е)~, тогда А 1 с, )/е+ с,э — — ' э+ 0(ем') = г~е, откуда находим с, = г, с = — 1/2, Следовательно, гг(э) =1~э — — + 0(евм), е + О, хв(е) = — о~е — Е + 0(эв!г), е-о. + О. Эти формулы пригодны при е - О, е ш Я, где Я вЂ” любой сектор с вершиной в точке г=О. Д Пример 4. Рассмотрим уравнение г — зшх=е. При Е=О это уравнение имеет корень г= О кратности 3, так что при малых э это уравнение имеет три корня, лежагцих вблиэи точки г = О.
Вычислим асимптотику этих корней при э — О, е ~ О. Имеем нри малых 1х~ в г г — эгвг = — + 0(г') = е, откуда в силу (8) г.(е) = егип~г1/бэ+ 0(ег~в) Е-~О, /= 0 1 2. Здесь у'е)0 при э)0. Ц Пример 5. Рассмотрим уравнение (1), где функция /(х) регулярна и имеет нуль в точке г = . Тогда уравнение (1) при малых е имеет одно или несколько решений, которые стремятся к бесконечности при е - О. Имеем 00 1(х) =г-" ~ адх — и, ао~О, в о где ряд сходится в области Ь1) В при больших ег и и>1— целое число.
Замена ь = 1/г приводит уравнение (1) к виду ~"а(ь) е, (10) где у(ь) = 2г аД~, й(0)о" О. Тем самым мы пришли к уравнев=о ниям, рассмотренным в примерах 1, 2, П 94 Ю. В. Сидоров и др. 37О гл. у11. елементАРнь|е Асимптотические методы Прим е р 6. Рассмотрим уравнение р() Л, (11) где р(г) — многочлен степени и > 2: р(г)=аз" + аг -'+...+а„, а,чьО. Найдем асимптотику корней этого уравнения при ЛЛ ы Я, где Я вЂ” сектор !агд Л! ~ я — б (О ~ б < я). Положим е 1/Л, ь =1/г; тогда уравнение (11) примет вид ~й ~, + ~,1 + " + ,1, Из примера 2 следует, что уравнение (11) имеет и корней и — Г г;(Л) =е""л"у Л вЂ” „+ Π— „), Л ~, ЛвеЯ. ~я и и Здесь О~/<и — 1, значение у'ае фиксировано и 1/Л вЂ” регулярная ветвь корня, положительная при Л ) О.
П Если /(г) — рациональная функция, то при з — О каждый корень уравнения (1) стремится к одному из корней предельного уравнения /(г)=О. Значительно сложнее ведут себя при е- О корни уравнения (1), если функция /(г) не является рациональной. Пример 7. Уравнение е*=з при в = О не имеет решений. Если же е УАО, то все решения этого уравнения даются формулой г,(з) = 2йя1+ 1п з (1п е — фиксированное значение логарифма), и все корни г,(е) стремятся к бесконечности при з- О. П Рассмотрим теперь примеры другого рода. Пусть функция /(г) — целая или мероморфная и пусть уравнение /(г) О (12) имеет бесконечно много корней г„ г„ ..., г„, ... В силу теоремы единственности в каждой ограниченной области комплексной плоскости уравнение (12) может иметь только конечное число корней, следовательно, г„- при и - .
Рассмотрим задачу об исследовании асимптотического поведения корней уравнения (12) для некоторых элементарных функций /(г). Прим ер 8. Уравнение аДЕ=в (13) имеет бесконечно много действительных корней, что видно нз графиков функций Фях и 1/х, Так как функции тдх, 1/х — нв- е ы. Пгостеишнв Аси»тптотнческин оцвнки вт1 четные, то двйствительвыв корни уравнения (13) симметричны относительно точки х=О. Пусть х„— корень уравнения (13), лежащий в интервале пя-(я/2) ( х ( ия+(я/2). Найдем аснмптотику х„при п - + . Полагая х =пи+у, 1/пя е, получаем для у уравнение (14) При в= О уравнение (14) имеет простой корень у =О; вычислим асимптотику решения у (з) уравнения (14) такого, что у(з)- О при з- О.
Это уравнение имеет вид (1), где функция /(у) регулярна в точке у О и точка у = Π— простой нуль ОО функции /(у). Из примера 1 следует, что у(е) = ~ с»е", причем »=1 с» 1, так что СО ъ х„=пи+ — + ~,— „ („и)» прн больших п. В частности, /1» х„пп+ — + 0( — ~, и-». -~- ою. пп ~пз~ Кроме того, уравнение (14) имеет корни ( — х ), п = 1, 2, ...
П Замечание 2. Можно доказать, что уравнение (13) имеет только действительныв корни. Пример 9. Рассмотрим уравнение з — 1пз Л (15) в области .Р, где Р— плоскость с разрезом по полуоси ( —, О], из которой удален круг Ь! ~ р, р) О. Здесь 1пз — регулярная в области Р ветвь логарифма, принимающая действительные значения при действительных з х ~ О. Вычислим аскмптотнку корней уравнения (15) при Л- + ~. Допустим, что уравнение (15) имеет при всех достаточно больших Л корень з з(Л); тогда з(Л)- при Л- +о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
