1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(4)), так что У = ~ (з) = Ре, где <р = агй Ыз. Следовательно, 9р Р= — 2 ~У'(з))зе ~~(з г 1(~ ('))з')з 8 8 так как е "Юг=И. Для вектора Р, сопряженного вектору подь- емной силы, получаем Р = — ~ (~' (з))з Оз. 8 (5) й(0) = й,. По теореме Римана (2 33) для любого действительного а существует функция Ь„(з), которая конформно отобра- Ф жает Ю на Юо такая, что агяй (0)=и. Положим а=агя У и аатем )у„| ' «(г) =,,; это н есть искомая функция. ~ь„'(о)! А„(г-') ' Очевидно, что функция ю= у(з) и+2и, которая конформно отображает область В на внешность отрезка, параллельного оси и, удовлетворяет условиям (3) (при Г =О) и (4), и потому является комплексным потенциалом некоторого потока.
Поэтому решение задачи о бесциркуляционном обтекании тела сводится к отысканию функции, конформно отображающей В на внешность отрезка вида и, ( и ( иь а = э,. 2. Формулы Чаплыгина н Жуковского. Пусть в воздухе, плотность которого равна р, движется крыло самолета с постоянной дозвуковой скоростью — Ъ' или, что то же, на покоящееся крыло набегает поток со скоростью г . Представим крыло в виде бесконечного цилиндра с образующими, ортогояальнымн к вектору скорости, тогда получим плоскую задачу теории поля. Вычислим полную силу, действующую па контур 8 сечения крыла — подъемную силу. Пусть р(г) — давление воздуха в точке г.
На контуре 8 давление направлено внутрь по нормали, и потому на элемент Иг контура Я действует сила ~рИз. Полная сила, действующая на контур Я, равна Р =- ~~р сЬ. В установив- 8 шемся безвихревом потоке жидкости справедлива формула Вер- нулли З 40. НекОтОРые Физические 3АдАчи теОРии пОля зе1 Это и есть классическая формула, полученная С.
А. Чаплыгиным. Из этой формулы и из разложения (2) потенциала в окрестности точки г = ° находим по теореме о вычетах ргл „ Р = 2лд — — = 4рГУ 2 я4 Следовательно, Р = — грГУ„. (6) Это знаменитая теорема Н. К. Жуковского: подъемная сила равна по величине произведению плотности, скорости потока на бесконечности и циркуляции; направление ее повернуто на прямой угол относительно У, навстречу циркуляции. 3. Обтекание кругового цилиндра. Рассмотрим вначале бесциркуляционный поток, обтекающий окружность !г! =Л.
Потенциал такого потока конформно отображает внешность круга на внешность отрезка действительной оси. Ввиду симметрии задачи можно считать, что поток набегает в направлении оси х, т. е. У вЂ” действительное число. Искомое отображение дается функцией Жуковского 4о=а~ — + — ), где а — действительная постоянная. Из условия 1'(оо) = У на- й У ходим 4о = У г + —. Для произвольного потока (величина г У Лг У комплексна) аналогично получаем и = У г + †. Заметим, что этот поток — сумма однородного потока У г и потока диполя У Лг/г, расположенного в точке г = О. Г Так как Ке1пг сопзс при Ь! =В, то поток — „, 1пг также обтекает окружность, и решение задачи имеет вид Уса 4Т Г 1(г) = У г+ — + — 1пг. (7) Найдем критические точки потока, в которых ~'(г) О, т.
е. скорость потока равна нулю. Из уравнения У гг + — „г — У„Л' = О (8) находим Ф 44Г гкг= = 2У ГЛ. УЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЗВ2 При ! Г ! (4я ~ Ъ' ! В подкоренное выражение положительно, так что Ь,д) =В и обе критичесние точки лежат на окружности. В дальнейшем будем для простоты считать, что величина У действительна. Тогда из (9) имеем Г 4яу я' г,л — — В(~з1всс ~ созсс), и критические точки таковы: г, = Ве", г, = Ве"-'. Если Г О, то го~=~В, с ростом циркуляции эти точки сближаются и при критическом значении Г = 4яК В совпадают.
Граница круга состоит из линий тока (см. (4)). Поэтому линия тока, приходящая в точку г„разветвляется на две — на Ряс. 156 и локальная структура линии тока такая же, как и для потен- циала -й- /'(г,) (г — г1)з ($39). Ортогональность этих линий еле дует из примера 2, $39. верхнюю и нижнюю дуги окружности (рис. 156,а). Точка г, называется точкой разветвления. Во второй критической точке г, линии тока (дуги окружности) снова сходятся; эта точка называется точкой схода. Заметим, что линия тока, входящая в точку г„и линия тока, выходящая из точни г„ортогональны к окружности.
Действительно, в точке г, имеем 1 1а некотоРые Физические 3АдАчи теоРии поля 333 При критическом значении Г = ~Г, имеем гсг — — 1В, ~ (1В) = О, ~' (1В) А' О и потому угол между двумя соседними линиями тока, входя1цими в точку г 1В, равен ЛIЗ Я 39). Линии тока изображены на рис. 156, б. Если ~ Г! > Гм то подкоренное выражение в (9) отрицательно и А 1 1Г ~ $ Г 16 з В ) В Из (8) следует, что Ь,г,~ =В', так что одна критическая точка лежит внутри, а вторая — вне окружности Ь~ В. В этом случае появляются замкнутые линии тока (рис. 156, в). Циркуляцию Г можно выразить через координаты точки схода: Г = 4яи В зш а.
Если же агб Р'„= 6, то Г 4яо ВЗ1п(а — 6). (10) 4. Обтекание эллипса и пластины. Пусть Я вЂ” эллипс 3 3 —, + —, = 1 (О < Ь( а), аз Ь' Его фокусы расположены в точках ~с, где с УЬ' — а'. Решение задачи об обтекании эллипса сводится к задаче об обтекании круга. Функция, обратная к функции Жуковского и1(г) г+ + 1г* — с*, конформно отображает внешность эллипса на внешность круга )г! ) В (3 35, и. 7). Регулярная в плоскости с разрезом [ — с, с1 ветвь корня выбирается так, что 1'г* — с')О при действительных гы(с, + ). Радиус окружности В и полуоси 11 11 эллипса связаны соотношениями ($35, и. 6) о = 3 ~В+ — ~~ 1 ~ Ь = — ~ — — ~, откуда находим В = с+ Ь. В силу формулы (7); имеем Множитель 1/2 появляется по той причине, что Угс~ г (г- ) и потому и'( )-2.
Избавляясь от иррациональности ГЛ. ЧЬ КОНФОРМНЫЗ ОТОБРАЖЕНИЯ в знаменателе, окончательно получаем 2(З)= 2 $ Оо(~+ 2 3 — С)+ 2 2 Усс(З вЂ” С 2 — С)+ с + —. 1п (з + Уз' — с2). (11) При а=с, Ь=О зллипс вырождается в отрезок 1 ( — с, с) и из (11) находим комплексный потенциал обтекания пластины длины 2с с(з) (тг + )с ) з+ (тг 1г ) ~~'22 с2+ 1п (з 1 )/'з2 с2) Полагая т = и + 2Р, где и, с действительны, находим /(з) =и з — 2Р 'т~з2 — с'+ — „1п(з+ 'т'г' — с').
(12) Вычислим скорость потока. Имеем из (12) 2пс 2+ Г У = ~' (з) = и + 2л2 у 22 — 22 (13) и при произвольном значении циркуляции Г скорость потока обращается в бесконечность на концах пластины, т. е. в угловых точках границы тела. Здесь мы впервые столкнулись со случаем негладкой границы обтекаемого тела. Для таких тел при постановке задачи об обтекании требуются дополнительные физические предположения. Такое условие было найдено С. А. Чаплыгиным. Пусть обтекаемое тело имеет острие А. Тогда скорость потока должна быть ограничена р острой кромки про4иля.
Другая формулировка условия Чаплыгина такова: острая точка прор2икя является точкой схода. Если профиль имеет только одну острую кромку, то условие Чаплыгина однозначно определяет циркуляцию. Поскольку пластина имеет два острия з ~с, то условию Чаплыгина можно удовлетворить только на одном из них; пусть ето условие выполняется при з с. Из условия Чаплыгина и из (13) находим единственное возможное значение циркуляции Гс — -2яси, (14) а для распределения скоростей получаем из (13) )г= и — 2Р 2+С (15) На острие з* -с скорость потока обращается в бесконечность. 5. Обтекание профилей Жуковского.
Пусть т — дуга окружности, которая проходит через точки з ~а, а середина дуги г еа нккотогыв еизичзскив алдлчи твогии поля Зеа есть точка г 1й, и 7' — окружность с центром в точке ш ° ~й, проходящая через точки ш =*а (рис. 127). В $ 35 (иример 40) показано, что функция ш г+Уг' — а' конформно отображает внешность дуги 7 на внешность окружности 7'.
Заметим, что касательная к дуге 7 в точке г=-а образует с действительной осью угол а= 2 агстй(й/а), а в точке г а — угол () = (я — ес)/2. Р ПУсть Уе — окРУжность с центРом в точке ше — — 1й — де-~", которая лежит внутри окружностти ит' и касается с ней в точке ш= — а; ее радиус равен Ле — — Уа'+й1+А Функция ш(г) кон- Ф формно отображает на внешность Уе внешность 7, (рис. 127), которая по виду напоминает профиль самолета и называется кро1билем Жуковского. Решим задачу обтекания профиля Жуковского, сведя ее к задаче обтекания круга.
Функция ш = 2 (г+ 'г' г' — ае — ше) 1 (16) конформно отображает внешность дуги 7е на внешность круга (г! ) В„, и из (7) находим комплексный потенциал ~(г) = — ~У„ш+ — ~ + —,1пш, где ш ш(г) дается формулой (16). Циркуляцию Г определим из условия Чаплыгина: острая точка профиля должна быть точкой схода. Образ точки г — а имеет вид В,е '"", А, ) 0 (рис. 127),и из (10) находим значение циркуляции Г = — 2яи ( 'г' а'+ й'+ И) з1п(8+ — ) ° По теореме Жуковского подъемная сила крыла равна ~~ 1-2 р~(ЪР~-Я+с~.ь(е~-")~.
Глава УП ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 5 41. Простейшие асимптотические оценки В этом параграфе рассматриваются простейшие методы асимптотическнх оценок, корней трансцендентных уравнений, интегралов и рядов. Асимптотнческнми оценками называются соотношения вида ~(х) = 0(я(х) ), ~(х) = о(д(х) ), 1(х) - д(х) при х- а. Символы О, о, - были определены в т 4. Асимптотика корней уравнений. Начнем с простейших примеров. Пример 1. Пусть функция 1(г) регулярна и имеет простой нуль в точке г, еь, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
