1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Векторное поле называется гармоническим в области Р, если оно соленоидально и потенциально в атой области, т. е. дтА О, го«А=О (21) всюду в Р. Гармоническое векторное поле обладает и функцией тока и потенциалом. Из (Г7), (20) следует, что зти функции связаны соотношениями да д» да дв (22) дх ду ' ду дх' которые есть не что иное, как условия Коши — Римана для функции /(г)= и(х, у)+(и(х, у). (23) Таким образом, справедлива 3 Зз. ВЕКТОРНЫВ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ 333 Т е о р е м а 1. Функция тока и потенциал гармонического еекторноео поля яеляются сопряженными гармоническими функция,ии. Функция Дг) называется комплексным потенциалом векторного поля А, В области Р эта функция аналитична; если область Р односвяэпа, то комплексный потенциал есть регулярная в Р функция.
С помощью комплексного потенциала выражаются все характеристики поля. Прежде всего имеем ди,ди дс . дс А = — + ~ — = — — ~ — = ~' (г). (24) дг ду дд дг В частности, отсюда следует, что производная комплексного по. тенциала, т. е. функция )'(г) — однозначна, а потому регулярна в области Р. Так как ~'(г)с)г (А„— гА„)(с)х+Ыу), то формулы (5), (10) можно ззписать в виде Ф = 1ш) ~'(г)аг, Г= Йе) ~'(г)с)г. (25) 7 Объединяя эти формулы, получаем Г+ ~Х = ~ у'(г)с(г.
(26) т Приведем простейшие примеры гармонических векторных полей. Пример 1. Постоянное векторное поле. Такое поле задается одним комплексным числом А = А. +И„, где А, А„ — действительные постоянные. Комплексный потенциал равен Дг)= Аз+с, где с — постоянная. Линии тока — прямые с направляющим вектором А, эквипотенциальные линии — прямые ортогональные к линиям тока. Поток через любую замкнутую кривую и циркуляция вдоль любой замкнутой кривой равны нулю. Д П р и м е р 2. Пусть комплексный потенциал — квадратичная функция ) (г) = г', тогда и(х, у) = х' — у', с(х, у) = ху.
Следовательно, линии тока — гиперболы ху =сопз1, эквипотенциальные кривые — гиперболы х' — у' сопзз (рис. 151) . Точка г = 0— критическая точка векторного поля. Действительно, из (24) следует, что критическими точками гармонического векторного поля являются те и только те точки, в которых )'(г) О. (27) В данном примере точка г = 0 — это ливия тока. Среди линий тока имеются четыре луча: ху = О, г Ф О, и два соседних луча образуют прямой угол в точке г - О. Среди эквипотенциальных кривых также имеются четыре луча: х' — у' О, г Ф О. ( ) 23е Гл. чь конФОРмныв отоВРАжвния 355 Замечание 3.
Произвольное гладкое векторное поле может быть крайне сложно устроено вблизи критической точки. Если же поле гармоническое, то его локальная структура вблизи критической точки довольно проста. Пусть г, — критическая точка векторного поля с потенциалом ~(з), тогда /'(г,)=О, ..., /'" "(и,) О, /оо(г,)чьО при некотором п~2. Тогда с помощью замены переменной х .у(ь), и,=у(О), где у(ь) — регулярная и однолистная в точке )1!П ! ~~~~1 1~ ~~! Рис. 151 Рис. 152 ь = О функция, комплексный потенциал приводится к виду 1(у(ь))=Дг,)+ ь' (28) вблизи точки Ь = О ($ 32, следствие 2). Поэтому вблизи критической точки линии тока и эквипотенциальные линии устроены так же, как и у поля с комплекснгим потенциалом вида (28), Среди линий тока, входящих в точку Ь = О имеется 2п лучеи; угол в этой точке между двумя соседними лучами равен пlп. Пример 3.
Источники и стоки. Пусть комплексный потенциал ~(г) = — „1пи, где ДчьΠ— действительная постоянная, 0 Тогда и(х, у) = — 1п~и~, и(х, у) = — агяг 0 0 и линия тока — лучи агяз совз$, эквипотенциальные линии— окружности ~г~ сопзФ (рис. 152). Это поле гармонично при зтьО. Пусть т — простая замкнутая кривая, содержащая внутри себя начало координат я ориентированная против часовой стрелки. Так как )'(з) Д/(2пз), то из (26) находим Ж= ч, Г О.
Поатому точка и=О называется источником интенсивности ч, если ч ) О, и стоком интенсивности 1ф, если ~) ~ О. Д е 99, ВектОРные поля НА плоскости Пример 4. Вихрь. Пусть комплексный потенциал 1(г) г = —. 1п г где Г, чь Π— действительное число. Тогда 9 2л9 г, и(х, у) = — "агапэ, о(х, у) = — — „1п(г~ Ге 0 ЕГО 1(г) = 1пг, где ф Г, — действительные постоянные.
Если ( — такая же кривая, как и в примере 4, то для потока и циркуляции получаем значения /т'=(), Г Г9 Линии тока и эквипотенциальные линии — логарифмические спирали, которые закручиваются в начало координат. П Пример 6. Диполь.
В этом случае комплексный потенциал 1(г) = —, где л9 Ф О вЂ” действительная постоянная. Ли2ЯФ ' нии тока и эквипотенциалъные линии — окружности, проходящие через начало координат (рис. 154). Величина л9 называется моментом диполя, действительная ось Ох — его осью. ) ) Диполь может быть получен сложением источника и стока (рис. 155) одинаковой мощности, расположенных в точках г =~5 при предельном переходе й- О, (/-, Ч ° 2Ь- т.
Действительно, П 02Ь1 (+Ь) — 1 (~ — Ъ) мл1аг л92я 2Ь 2к /)3 2аг' и линии тока — окружности (г! =Сопе1, эьвипотенциальные линии — лучи агяг сопз$ (рис. 153). Если ( — замкнутая кривая, обходящая точку г ° О в положительном направлении, то ) 1' (г) ог = 7 / — Г„и поэтому )9'= О, Г = Г,. Точ- / ка г=О называется вихрем интен- ,1/,- сивности Г,. П вЂ” — †/~~ С помощью супе рпозиции гармонических полей, рассмотренных выше, можно получить ряд новых примеров гармонических по- ! лей. Пример 5.
Вихреисточ- Рвс. 153 ник (вихресток). Суперпозиция источника (стока) и вихря имеет комплексный потенциал, равный ГЛ. ЧЬ КОНФОРМНЬГЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 358 Пример 7. Мул ьтиполь. Пусть комплексный потенциал имеет полюс в точке г = 0: 1(г)=Сг-", н> 2, где СФО— комплексная постоянная. Тогда говорят, что в точке г =0 рас- 1 Рис. 155 Рис. 154 положен мультилоль; он также может быть получен сложением близких к началу координат источников (стоков) и вихрей, при подходящем предельном переходе. () е 40.
Некоторые физические задачи теории поля 1. Обтекание тел. Рассмотрим установившееся плоское течение идеальной несжимаемой жидкости [10). Тогда поле скоростей У = О, + 1аи как известно из гиДРомеханики, Явлаетсл гаРмоническим и характеризуется комплексным потенциалом 7'(г)= = и(х, у)+ ш(х, у), так что У = ~' (г). (1) Пусть на плоскости задана односвязпая ограниченная область Ю с гладкой границей Я н пусть Ю вЂ” внешность Я, которая заполнена жидкостью. Пусть тело движется с постоянной скоростью — У или, что то же, на тело набегает постоянный поток со скоростью У, а само тело покоится. Тогда комплексный потенциал потока — регулярная в П функция, причем 1'(сс) = У .
Разложим ее в ряд Лорана в окрестности точки г = с: 1' (г) = У, + ='+ =' + ... (2) Из (26) т 39 находим 2п(с ~ Г+1)У, где Г и )У вЂ” циркуляция и поток поля вдоль любой простой замкнутой кривой, охватывающей тело П. В области Р по условию, нет источников, так Х ХХ. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 3$9 что У = О, н нз (2) получаем г с ? (г) = ?т г + с + —. ?и г —: + хнх х (3) в окрестности точки г = . Скорость хт н значение циркуляции Г должны быть заданы — зто и есть граничное условие на бесконечности для комплексного потенциала ?(г). Граничное условие на поверхности Ю тела таково: скорость потока должна быть направлена по касательной к Я в любой точке контура.
Следовательно, граница Я вЂ” одна из линий тока, так что на Я выполняется краевое условие о(л, у))х соней (4) Функция и =(Ь(г-')) ' конформно отображает область ?? на некоторую область Р, как суперпозиция однолистных функций. Прн малых )г) имеем их г/(Ь,+Ьг+...), так что ш(0)=0, Итак, требуется найти функцию ?(г), которая регулярна в области Е>, имеет разложение (3) в окрестности точки г= где ?х, à — заданные комплексная и действительная постоянные, и удовлетворяет краевому условию (4) на контуре 8. Теорема 1.
Решение задачи обтекания единственно. Доказательство, Пусть имеются два комплексные потенциала ?, (г), ?х (г) — решения задачи обтекания тела. Тогда их разность ?(г) ?,(г)- ?х(г) регулярна и ограничена в области ??. Функция о(г)=?ш ?(г) гармонична и ограничена в области ?х, принимает постоянные значения на Я, и по теореме единственности решения задачи Днрихле о(г) сопзк Следовательно, ?(г)=сепг?, потенциалы ?,(г), ?,(г) отличаются на постоянную, и потому поля скоростей совпадают.
Обтекание тела называется бесциркуляционным, если Г О и циркуляцнонным, если Г чь О. Т е о р е и а 2. ??отенциал и = ? (г) бесциркуляционного обтекания тела конформно отображает область Э на внешность отрезка, параллельного действительной оси. Доказательство, Без ограничения общности можно считать, что о~х О. Покажем, что существует функция хо=б(г), которая конформно отображает область Ю на внешность отрезка действительной оси и имеет разложение б(г) = У г + д, + ...
в окрестности точки г=«. Тогда д(г) удовлетворяет краевому условию (4) и потому является потенциалом; но теореме 1, ?(г) = д(г)+ совах. Пусть функция ш=Ь(г) кокформно отображает область ?? на внешность отрезка [О, 1). Тогда она имеет простой полюс в точке г = и в ее окрестности разлагается в ряд Ь()=Ь,г+Ь + — '+ ... Гл. Ть ИОНФОРмньге ОтОБРАжения р = А — — и', Р г где А — постоянная, и = ~ У), Р' — вектор скорости потока. От- сюда находим Р = — — ) изог. Р'(' з 2,) 8 В точках Я скорость направлена по касательной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
