1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 56
Текст из файла (страница 56)
143). Повторяя аналогичные рассуждения, найдем аиалптяческое яродолжевие функции !»г(г) через интервал 1, з полуплоскость 1ш г < 0 и т. д. Все зги продолжения определяют функцию г(г), аналитическую зо всей расширенной комплексной плоскости с зыколотыын точкаыи а» (й 1, 2, ..., в). 2, Докажем, что функция Р" (г)/Р' (г) однозначна н регулярна во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыыи точкаыи а» (» Воспользуемся теыи же обозначениями, что и выше. Покажем, что (г) =е»1(г)+В», 1шг(0, Ф» = (2) где 3» — действительное число. В самом деле, в силу принципа слммет. рив точки ю = Дг) и ю» = ! (г) (1шг(0) симметричны относительно й Зт, ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ вЂ” ШВАРЦА — зе» прямой )ы Линейное отображение ь = (ю — А„) е, где и» = агй (Аз»1 — Аз), переводит прямую 1» в действительную ось 1шь 0 и точки, симметричные относительно прямой 1ы — в точки, симметричные относительно прямой 1ш ь 0 (3 36).
Следовательно, (и» вЂ” А») е — ш» [(ю — А») е»), откуда вытекает соотношение (2). (з) 7г ф Рис. 143 Аналогично доказывается формула у»1 (з) = е з(» (з) -(- В, 1ш з ) О. зд) е— (3) 13»1 Из формул (2) и (3) получаем 7»)(з) =-е»11(з)+»Р1шз)0. Точно так же для любого алемента 7(з), 1шз ) О, функции г"'(з) находим 1(з) = е'з!(з) + В, 1ш з ) О, откуда Г (з)Г' (з) = )' (з)д' (з).
Аналогично, для любого элемента гге (з), 1шз О, функция )г (з) получаем(7*)"д(е)' = (1~~)"/(1»)'. Таким образом, функция у (з) г" (з)Дз' (з) однозначна. Докажем, что функция д(з) регулярна во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками аь (» = 1, 2, ..., и). Действительно, в нолуплоскости 1шз ) 0 функция / (з) регулярна и 1' (з) ч»0, так как отображение и ((з), 1шз ) О, ковформво. Поетому функция з (з) 1" (з)д' (г) регулярна в полуплоскости 1ш з ) О.
Аналогично доказывается, что функция у (з) регулярна в нолуплоскости 1ш з (О. Далее, в силу принципа симметрии функция 1(з) регулярна и одволиства в каждой точке действительной оси 1шз = О, за исключением точек а» (» = 1, 2, ..., в). Поэтому 1' (з) ч»0 при 1шз = О, з ч» со, с~аз (» = 1, 2, ..., и), и в окрестности точки з = ос функция 1(з) разлагается в ряд с з 1[з)=с + — + —.+..., (з!)В, где с, чьО. следовательно, функция 1" (з)л' (з), а потому и функция я (з) = )г" (з)Дг' (з) регулярна во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками а» (» = 1, 2, ..., в) и в окрестности ГЛ.
У1. КОНФОРМНЫН ОТОБРАЖЕНИЯ точки х = со разлагается в ряд ь, р(ф з зз = — — +=.+..., 3. Докажем, что в окрестности точки ад функция Г (з) имеет вид 1(з) = Ад +(з — а,) д д, (з), (4) где функция Ьд (г) регулярна н точке ад и Ьд (ад) чь О. Рассмотрим полукруг А: ] з — ад ] ( е, 1тз ) О, где е ) О достаточно мало (рис. 144). Функции ш ((з) конформно отображает полукруг ш=.Р'(з) а,, а.
-а у а„.г Рис. 144 )Г на область Ь, где Ь вЂ” часть мкогоугольянка П, лежащая в окрестности точки Ам Функция Ь=(ш — Ад) конформно отображает область Ь на об- 11ад ласта С, где б — часть полуллоскостщ лежащая в окрестности точки ь = О. следовательно, функция ь = уд (з) = (((з) Ад] кон- 1/ад формно отображает полукруг К на область С так, что Лд ]ад) = О, и образом интервала у: (ад — е, ад+с) является интервал т, содержащий точку ь= О (рнс.
144). В силу принципа симметрии фушщия зд(з) регуллрна н точке з ад и Гд(ад)чьй, т. е. Ед (з) = (з — ад) зд(з), зде функция рд (з) регулярна в точке з ад н лд (ад) чьО. Из равенства [1(з) — Ад] "=(з — ад)зд(з) вытекает формула (4). 4. Докажем, что функция 1" (г)Ц'(з) имеет вид уа (з) " ад — 1 (5) Д-1 г" (з) ид — 1 $» (з) Из формулы (4) получаем —,= + —, где функции у' ( ) — ф (з) ' з фд(з) = адЬЬ (з) +(з — ад) Ьд (з) регулярна в точке з = а, и фд (ад) = аздд(ад) = О.
следовательно, функция я(з) г""(з)/г'(з), рамзан ("(г)Ц'(з) в окрестности точки ад (свойство 2), имеет полюс первого порядка в точке аь и гее д(з) = ад — 1.Отсюда и из свойства 2 вытекает, з ад что функция уш(з) "ч ад — 1 Н(з) = ° — Х )г' (з),Дз з — ад Д 1 9 37. интеГРАл КРистоФФВЛН вЂ” шВАРцА 327 регулярна во всей расширенной комплексной плоскости и стремится к нулю при з-» оо. Следовательно, по теореме Лнуввлля ($19) 1з (з) жО, откуда при 1ш з ) О вытекает формула (5). 5.
Докажем формулу Кристоффелн — Шварца (1). Интегрируя равенство (5) по кривой, лежащей в полуплоскости 1ш» ) О, с началом в фвксвроваввой точке зз н концом в точке з, получаем 1п 1' (з) =,')', (зз» вЂ” 1) 1п (з — а,) + з, » г откуда 1' (з) = с(з — а ) з (з — а ) ' ... (з — ав) Из последнего равенства ннтегрнрованнем получаем формулу Кристоффеля — Шварца (1). Теорема 1 доказана. 2. Вычисление параметров в интеграле Кристоффеля — Шварца. Формула Кристоффеля — Шварца (1) позволяет находить вид функции ш 1(з), которая конформно отображает полу- плоскость 1ш з ) О па ограниченный многоугольник П. Таким образом, если многоугольник задан, т.
е. заданы его вершины А» и углы ла» (Ь = 1, 2, ..., и), то задача о нахождении функции 1(з) сводится к отысканию точек а„(Ь = 1, 2, ..., и) и констант с, с,. Любые три из точек а, (Ь=1, 2, ..., и) можно задать произвольно (1 33); тогда остальные точки а, и константы с, с, должны определяться однозначно.
Рассмотрим один из способов нахождения атих точек и констант. Формулу (1) запишем в виде з (з) = с) Ь(е)ззе+ сю (6) Аз — Аз = 1 (а ) — 1" (аз) = сазе ) ) Ь (1) ) Ю, а» откуда агл с агя(А, — А,) — 8. Таким образом, формулу (6) где Ь(з) — регулярная ветвь функции (з — а,)"' '(з — а,)аз '... ...(з — а„) " ~ в полуплоскости 1тз)0. Так как различные ветви этой функции отличаются друг от друга постоянным множителем (1 24), то в формуле (6) в зависимости от выбора ветви Ь(з) будет изменяться только константа с (точнее, агяс). Для определенности будем считать, что заданы точки а„а„ а„где а,- а,, и з,=а, (от выбора точки з, зависит константа с,).
Полагая в формуче (6) з = а„получаем с, =1(а,)=А,. Найдем агя с. Заметим, что эгя Ь(х) = О = сопз1 при а, ~ х.- ч. а,. Из (6) имеем ГЛ. РЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ можно записать в виде а 1(з) = Аез" ) й (ь) аь + А„ аг где А > О, сг = агй(А, — А,) — 8. В формуле (7) осталось и — 2 неизвестных параметра: положительное число А и действительные числа а„а„..., а.. Из (7) имеем аз+ г Ад — Аь = Ае'а ) и(1) с)Т. Отсюда, учитывая, что агя й(к) сопзз на интервале (а„, а„+,), получаем аь+ Г ~АА+г — Аз~= 4 ) )Ь(1)|А1, й=1,2, ...,и. (8) Здесь а„+, — — аи А„, — А, и один из интервалов (а„, а„+,), к=1, 2, ..., и, содержит внутри себя точку г = Параметры А, а„а„..., а„можно находить из системы (8).
Из теоремы 1 следует, что эта система имеет единственное решение, Однако в конкретных задачах редко'удается найти решение системы (8). Для простейших многоугольников можно указать другие способы отыскания параметров в формуле Кристоффеля — Шварца (см. ниже примеры 2, 4). 3. Отображение полуплоскости на треугольник и прямоугольник. В теореме 1 рассмотрен случай, когда все точки а„(й = 1, 2, ..., и) — конечные. Из этой теоремы вытекает Следствие 1. Пусть функция и=1(г) конформно отображает иолуплоскость 1тз) О на ограниченный многоугольник П так, что а, Ф ()с = 1, 2, ..., и — 1), а„= .
Тогда имеет места формула х (з) = с ~(~ — а,)"1 ~(~ — а )"г ~... (ь — а„,) " 1 ад~+ си (9) аю Формулу (9) моя'но получить из (1) с помощью дробно-линейного отображения полуплоскости 1шг ) О на полуплоскость 1ш~)О, переводящего точку г а„в точку ь= [191. Отметим, что в интеграле (9) на один множитель меньше, чем в интеграле (1). Поэтому, как правило, удобнее пользоваться формулой (9).
При этом будем считать, что г, = а„тогда с, = А,. Пример 1. Отображение полуплоскостн на тр еу голь ни к. Найдем конформное отображение в = 1(г) а з7. интеГРАл кРистоФФечя — шВАРцА полуплсскости 1шз ) 0 на ограниченный треугольник П с вершинами в точках А„А., А„где Ас О, Ас=1, 1шАс)0 (рис. 145).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
