1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ив (8) следует, что при отображении функцией Жуковского образом окружности (9) является эллипс и = —.'(р+ — /сох ф, Р = — ~р — — / з1пф, О(~ф~(2я, (10) 1/ 1~ 1/ 1~ с полуосями ар — — — ~р+ — ~, бэ = — ~р — — ~ и с фокусами в точках ю= ~1 (так как арз — ор' 1), Исключая из уравнений (10) параметр ф, при р~1 уравнение этого эллипса можно записать в каноническом виде (11) а~~ Ь~~ Отметим, что при замене р на 1/р (рчь1) эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную.
На рис. 95 показаны окружности !х! = р, р ) 1, ориентированные по часовой стрелке, и их образы — эллипсы (И); из (10) видно, что эти эллипсы ориентированы также по часовой стрелке. На рис. 96 показаны окружности !Ы р при 0(р~1 и их образы — эллипсы (И); при этом ориентация меняется на противоположную: окружность Ь~ =р, ориентированная против часовой стрелки, переходит в эллипс (И), ориентированный по часовой стрелке. При р=1 эллипс (10) вырождается в отрезок (-1, 1), проходимый дважды, т. е. окружность Ь! =1 переходит в отрезок (-1, 1), проходимый дважды (рис. 95, 96).
Рассмотрим луч х=ге', 0(г<+ (12)' (а — фиксировано). При отображении функцией Жуковского образом этого луча (см. (8)) является кривая 1/ 11 1/ 1~. и= —, ~г+ -~сова, и= — ~г — — /з1па, 0(г~+ оо. (13) г( 2~ г/ Исключая из уравнений (13) параметр г, прн аФкя/2 (Й— целое), получаем з г (14) сов а Ма'а Кривая (14) — гипербола с фокусами в точках в= ~1 и с асимптотами и ~и 19 а. Если 0(а<я/2, то кривая (13) является правой ветвью гиперболы (14), т.
е. луч (12) при 0 ~ а с я/2 переходит в пра- % 35. ОтОБРАжения элементАРными Функциями 297 вую ветвь гиперболы (14) (ориентация показана па рис. 97). При замене в 13 а на я — я получается левая ветвь той же гиперболы (14), поэтому луч (12) при и/2 =я~я переходит в левую ветвь гиперболы (14) (рис. 97). Отметим также, что Рис.
95 Рис. 96 при замене в (13) а на -и получается та же ветвь гиперболы (14), но ее ориентация меняется на противоположную. Рассмотрим лучи (12) при сс йп/2 (/г — целое). Иа (13) следует, что луч агяз я/2 переходит в мнимую ось Кею О (рис. 97). Луч агяз Зл/2 также переходит в мнимую ось Кеш=О. При а=О кривая (13) вырождается в луч (1, +со), проходимый дважды (сложенный вдвое) (рис.
97), т. е. луч агяг=О переходит в луч [1, + ), проходимый дважды: луч (1, + ) переходит в луч (1, +о ) и полуинтервал (О, 1)— гл. чг. конФогмные отовгьження в луч [1, + ) (рис. 97). Аналогично, луч агях я переходит в луч ( —, — 1), проходимый дважды (рис. 97). 1/ 1~ Таким образом, функция Жуковского и = — 1г+ —,1 кереводит окружности 1х! р в зллицсы '(11)', а лучи агл х = =а — в ветви гипербол (14); фокусы всех эллипсов (11) и гипербол (14) расположены в точках и = ~1; любой зллнпс (11) пересекается с любой гиперболой (14) под прямым углом.
П р и м е р 15. Пусть Р— внешность единичного круга (рис. 95). Найдем образ области Р прн отображении функцией Жуковокого, однолистной в этой области (прнмер 14а). Ц Способ 1. Образами окружностей !х! р, р)1 являются эллипсы (11), которые заполняют всю плоскость и с разрезом по отрезку [-1, 1]. Следовательно, функция Жуковского конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [ — 1, 1) (рнс. 95). Способ 2. Луч х ге', 1 <гс+сю (15) переходит в кривую и = — (г+ — ~соха, и= — ~г — -(ыпа, 1сг(+ оо, (16) которая является частью (половиной) ветви гиперболы (13). При изменении а от 0 до 2я кривые (16) заполняют всю плоскость и с разрезом по отрезку [ — 1, 1[ (рис.
95). Следовательно, функция Жуковского конформно отображает внешность единичного крута на внешность отрезка [ — 1, 1[ (рис. 95). 9 35. ОтОБРАжения злементАРными Функциями 399 Отметим, что при атом отображении окружность !г! =1, ориентированная по часовой стрелке (граница области Р), переходит в разрез по отрезку ! — 1, 1); подробнее: полуокружность !г! =1, 1шг~ 0 переходит в верхний берег разреза, а полуокружность !г! 1, 1шг(0 в нижний берег разреза (рис. 98). а' -1 д' 1 Рес.
98 Образно говоря, окру5кность !г! 1 «сжимается» в разрез по отрезку ! — 1, 1) с сохранением ориентации. Д Пример 18. Как и в примере 15, получаем, что функция 91 Жуковского и = — ~г+ — ) конформно отображает единичный круг !г! <1 на внешность отрезка (-1, 1) (рис. 96). Это утверждение вытекает также из примера 15 и замечания 2. Отметим, что при этом отображении окружность !г! 1, ориентированная против часовой стрелки (граница круга !г! (1), Ог Рис, 99 переходит в разрез по отрезку ! — 1, 1), ориентированный по часовой стрелке. Подробнее: полуокружность !г! = 1, 1ш г > 0 переходит в нижний берег разреза, а полуокружность !г! 1, 1ш г < 0 — в верхний берег разреза (рис.
99). Ц Пример 17. Как и в примере 15, получаем, что функция 11 11 Жуковского 5о = — ~г + ц конформно отображает верхнюю Гл. тт, конеогмные отовглжения зао полуплоскость 1шз~ 0 на плоскость и с раэрезами по лучам ( —, Ц и [1, + ) (рис. 97). При этом отображении а) луч (-оо, — Ц переходит в верхний берег раареэа по лучу ( —, — Ц, б) полуннтервал [ — 1, 0) — в нижний берег разреза (-, — Ц, в) иолуинтервал (О, Ц вЂ” в нижний берег раареза [1, + ), о - д -1 Р l Рвс.
$00 г) луч [1, + ) — в верхний берег равреза [1, + ) ''(рис. 100). Д Пример 18. Из примера 17 н аамечания 2 вытекает, что 1/ 1) функция Жуковского ю = — [з + —,~ конформво отображает нижнюю полуплоскость 1шз(0 на плоскость ю с разреаами по лучам ( —, -Ц и [1, +о ). Д На рис. 95-97 жирными линиями отмечены кольцевые секторы на плоскости з и их обрааы на плоскости и при отображении функцией Жуковского. Следующие частные случаи таких отображений часто используются в практике конформных отображений. Рва 101 1/ Пример 19. Функция Жуковского ю -(з+ — ) конформио отображает а) область 1шз)0, )з))1 (рис.
101) ла верхнюю иолунлоскость 1ш ю > 0 (ив рис. 95); б) полукруг Ь! <1, 1шв<0 (рис. 102) на верхнюю полу- плоскость 1шю~О; полукруг Ь!(1, 1шз)0 (рис. 102) на нижнюю полуплоскость 1ш и С 0 (иа рис. 96); з ж. отошлжвния злвмвнт*гными сгнкпиями зи в) область Ь! ) р) 1 (рис. 103) на внешность эллипса (11) ,'(из рис. 95); круг Ь! < р < 1 (рис. 10Э) на внешность зллипса (11) (из рис.
96); ® -1 б 1 ® -1 О 1 о' Рис. 102 г ~,о -БС Рис. 103 г) сектор а<агдз<н — а, где 0 < а<н12 (рис. 104) на внешность гиперболы (14) (из рис. 97); ГЛ. ТЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Бог д) сектор 0 < агя и < и, где 0 < а < я/2, (рис.
105) на внутренность правой ветви гикерболы (14) с раарезом по лучу [1, + о) (из рис. 97); Рис. 104 0 7 Рис. 105 е) сектор 0<агбх<а, Ы >1, где 0<а<к/2, (рис. 106)' э а на область — — —., ) 1, и) О, о) 0 (и = и+ ро) соха а э1в~а (из рис. 97). П 7. Функция го=и+ 'г х' — Г,1 обратная к функции Жуковского. Решая уравнение ш = — ~х+ —,) относительно х, находим и=и~+ Уш' — 1, т. е.
функция и~ х+ Ух* — 1 (17) Ь ЯЬ ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЫП ФУНКЦ1ПП1И мз является обратной к функции Жуковского. Следовательно, отображения функцией (17) являются обратными к отображениям функцией Жуковского. Некоторые свойства функции (17) рассматривались в 3 24. Напомним, что функция (17) является аналитической в плоскости в с выколотыми точками в = ~1, а в плоскости г с разрезом, соединяющим точки з ~1, распадается на две регулярные ветви. с.'г 0 саэа 7 Рвс.
106 О 1 -1 / Ггг Рвс. 107 Пример 20. Пусть 1) — плоскость в с разревом по отреаку [ -1, 1) (рис. 107). В этой области функция в+У~* — 1 распадается на две регулярные ветви, 1',(х) и ~,(х), где 1 ( ) , ~,(с )= 0 ($24). Иа примеров 15, 16 (рис. 98, 99) вытекает, что функция к1=Л(г) конформно отображает область Р на внешность единичного круга, а функция 1Р =1,(т) — на круг 11Р! -1 (рис.
107). Д гл. чт, кОнФОРмные ОтОБРАжения Пример 21. Пусть г) — плоскость г с разрезами по лучам ( —, — 1) и (1, + ) (рис. 108). В етой области функция з+ Ух' — 1 распадается на две регулярные ветви 1,(г), 1,(з), где У,(0)=1, У,(0)=-1 (з 24). Из примеров 17, 18 вытекает, что ® ® рг~ ~о- ' / р г 7 г д гс, (ю', / ри' т Рис.
108 функция ю Д(з) конформно отображает область 1) на верхнюю полунлоскость 1п1 ю)0, а фуккция и = )~(з)- на нижнюю полуплоскость 1ш и ~ 0 (рис, 108) . П Пример 22. В полуплоскости 1шз) 0 функция и+ Уз' — 1 распадается на регулярные ветви Л(з), Л(з), где У1(0) 1. Уь(0) — 1. Отображения зтими функциями показаны на рис. 109 (ср. рис. 101, 102а). Д Рис. 100 8, Тригонометрические и гиперболические функции, Рассмотрим примеры конформных отображений тригонометрическими и гиперболическими функциями.
П р и м е р 23. Покажем, что функция и сп г конформно отображает полуполосу 0(1ш з<л, Коз> 0 на верхнюю полу- плоскость 1ш и~) 0 (рис. 110). ГЛ, 71, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пример 25. Покажем, что функция ю=а(вх конформно отображает полуполосу — л/2 < Ве х < л/2, 1ш х > О на верхнюю полуплоскость 1шю- 0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
