1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 55
Текст из файла (страница 55)
137). В силу следствия 2 функция =сьев ассам/ л сс=д 'сЬ/л асссс) Рлс. 136 ь = СЬ ( — агсЬ з) конформно отображает область 1), на область 1 а С,— плоскость ь с разрезом по лучу ( —, — 1] (рис. 136). Функция ш = 1' — Ь вЂ” 1 отооражает область С, на полуплоскость 1ш 1с ) 0 (рис. 136). Таким образом, функция 1с . = 1)~2СЬ~ — агс)1 г) конформно отображает область Р, на полу плоскость 1ш и) 0 (рис. 136).
П С=:в ( — а.сва) (л) ~л с сам Рис. 137 Замечание. Теорема 1 и следствие 2 легко переносятся на случай, когда у и у' — дуги окружностей (в частности, интервалы прямых). Для етого нужно дробно-линейным отображением перевести у и (' в интервалы действительной оси и затем воспользоваться свойством сохранения симметрии при дробно-ли нейном отобрансении. Подробнее см. (10). гл, чь конФОРмные отовгажения Пример 8. Пусть Р— плоскость х с разрезами по отрезкам (О, емпи"), й= О, 1, ..., п — 1 (рис.
138). Найдем конформное отображение области Р на внешность единичного круга. Рассмотрим угол Ро. О < агд х < 2я/и (рис. 139). Найдем конформное отображение ш — /,(х) угла Р, на сектор С,: О< <агйш<2п/и, !ш! >1 (рис. 139), удовлетворяющее условиям /,(1) 1, /,( )=, Д.(е*"и") е' "".
(8) Выполняя последовательно отображения х"'*, т) ь + У~* — 1, ш й"' (примеры 9, 19а $35), получаем, что отображение ш-/,(х)' (х"~а+Ух" — 1)*' является искомым (рис. 139). Здесь У,(х)— регулярная ветвь функции (х"1а+ У~" — 1)мп в области Р„удовлетворяющая условиям (8). Прн этом отображении луч у,: (1, + ) переходит в луч у,г (1, +оо), а лучу,: (еапмп, +ооеаппп)— в луч у,: (еа"и" + со еапауп) Рас.
188 Покажем, что существует аналитическое продолжение г (х) функции /а(х) в область Р и функция ш Г(х) конформно отображает область Р на область ~ш! ) 1 (рис. 138). Рассмотрим соседний с Р, угол Р,: 2п/и < агй х < 4п/и и сектор С,: 2я/и<агйш<4я/и, ! ш! > 1. Точки угла Р, получаются иэ точек угла Р, умножением на е'"""; аналогично связаны точки секторов С„С,. Следовательно, функция / (х) еапип/ (е-апип ) х ан Р конформио отображает Р, на С,. При этом /а(х) Д,(х)', хан уа, т.
е. функция /а (х) является аналитическим продолжением функции /а(х) иэ области Р, в область Р, череэ уа. Аналогично, если Ра — угол 2йлlи<агйх <2(/1+1)я/п, С,— сектор 2/ап/и<агйш<2(/1+1)п/и, !ш!)1, то функция ш ° /а(х) еаапи%(е """"х), х ю Р„конформно отображает Р„на 321 3 зг. принцип симмвтрни С» (й= 2, 3, ..., и). При этом 1»(г)и— и (»,(г), г»и "(„где (» — луч (е»»"и', +со е»»"и") . Очевидно, угол Р„совпадает с углом Р, и ( (г) = е»»оо"1 (е-»"'о"г) = (»(г) г ы Ро. Следовательно, функция в=у(г)=1»(г), гыР»О у», Й= 0,1,...
..., и — 1, регулярна в области Р и конформно отображает Рис. 139 Рис. 140 область Р ка область 1в! > 1. Таким образом, функция в =(г" + у~" — 1)»~о копформно отображает область Р на область 1в~ ) 1. Д Пример 9. Пусть Р— полуплоскость 1н»г)0 с разрезами по отрезкам 11оя, ля+ 1а1, й= О, ~1, ~2, ..., 0<а<+ (рис. 140). Найдем конформное отображение области Р на полуплоскость 1ш в ) О. Рассмотрим полуполосу Р,: — я < Ве г < О, 1ш г ) 0 (рис. 141). Найдем конформное отображение в=1»(г) области Р„на полуполосу 6». — я < Ке в < О, 1га в > 0 (рис.
141), удовлетворяющее условиям А(йл)=0, Д( — ~+Ъ)= — я, Д( )= (9) Выполняя последовательно отображения ь созг, Ч=~~сЬа, в =агссозц 21 ю. в сидоров и др. гч. чь конФОРмные ОТОВРАлкення згг (пример 25, 3 35), получаем искомое отображение ссз г и = 1 (г) = агссоз —. сЛ и' соя 3 Здесь 1л(г) — регулярная ветвь функции агссоз — в области СЛа Р„удовлетворяющая условиям (9). При этом отображении луч Рис. 141 тл' .((а, 1а+1 ) переходит в луч у,: (О, 0 + 1со), а луч у,. '( — я+ Ф + 1а, — я + 1ос) — в луч у,: ( — я, — я + (сс).
Покажем, что существует аналитическое продочжение г" (г) функции 1л(г) в область Р и функция ло=Р(г) конформяо отображает область Р на полуплоскость 1ш ю ) О. Рассмотрим соседнюю с .Р, полуполосу Р;. О ( Ке г ( я, 1шг~0. Точки области Р, получаются нэ точек области .Р, прибавлением я; аналогично связаны точки областей Со Рл Следовательно, функция ю=),(г) Д(г — я)+ я, г ш Р, конформно отображает Р, на Со При этом 1,(г)= — 1,(г) на луче т„т. е. функция 1,(г) является аналитическим продолжением функции 1,(г) из области Р, в область Р, через те Аналогично, если Р,— полуполоса (й — 1)я(Кег(йя, 1ш г ~ О, Сл — полуполоса (й — 1) я ( Ке и ( йя, 1ш и > О, то функция ю = 1л(г) = ~,(г — йя)+ йн, г <я Р, конформно отображает Рл на Сл, й О, ~1, ~2, ... При этом 1л(г) — Ь,,(г) на луче 1„,: ((й — 1)я+ 1а, (й — 1)я+(сс).
Следовательно, функция ял = Р(г) = ~л(г) г ля Рл О тл, й = О, Ы, ~2, ", регулярна в области Р и конформно отображает область Р нз область 1ш г - 0 (рис. 140). 'Хаким образом, функция » ЗЬ ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ вЂ” ШВАРЦА З2З ссз» и = агссоэ — конформно отобра?кает область Й на верхнюю с!? а полуплоскость 1ш и? > О.
П Пример 10. Пусть функция и =/(з) конформно отображает кольцо к: р< !з! <В на кольцо к'. р' < !?Р! <В'. Докажем, что эти кольца подобны, т. е. р/р' В/В'. Доказательство. Возможны дза случая: 1) окружность !г! = р переходит в окружность !и?! = р', 2) окружность !з! = р переходит в окружность !и?! =В'. Рассмотрим первый случай. По принципу симметрии существует аналитическое продолжение Г,(з) функции /(з) в кольцо К,: р, < !з! <В, где р, =р'/В.
Функция ю =Г,(з) конформно отображает кольцо К, на кольцо К,: р, <! л?!<В', где Р?=(р )~/В так, что окружность !з! =р, переходит в окружность ! ю! = р,. Аналогично, существует аналитическое продолжениеГ»(з) функции Г,(з) (и /(з)) в кольцо К,: т, < !з! <В, где г, р/В' и т. д. Таким образом, получаем аналитическое продолжение Г(з) функции у(з) в кольцо 0< !з! <В, причем 11шГ(з) =О. » Тогда точка з =0 является устранимой особой точкой функции Г(з) ($18), т.
е. функция и? = Г(з) конформно отображает круг !з! < В на круг (и! <В', причем Г(0)= О. Следовательно, Г (з) — дробно-линейная функция и Г( ) = ( $34), т. е. /(з) = Аз, откуда р/р' = В/В'. Д $37. Интеграл Кристоффеля — Шварца В этом параграфе рассматривается конформное отображение и? =1(з) верхней полуплоскости 1ш з > 0 на многоугольник П, заданный в плоскости и. При этом используются следующие в=.г?г? 1п?з»ьг а? аг а а„г?» Рис. 342 обозначения (рис, 142): А„— последовательные вершины многоугольника П, /» = 1, 2, ..., н; я໠— угол многоугольника П в 21» 324 Гл.
уг. НонФОРмвыв отоБРлженпя вершине Аы ~~' и» = я — 2; ໠— прообраз вершины А„при ото»=» браженпи иг )(г), т. е. 1(а») =А». 1. Теорема Кристоффеля †Швар. Теорема $. Пусть функция пг=)(г) конформно отображает полуплоскость 1гп г ) О на ограниченный многоугольник Ц, О<се»<2, а»Ф (й $, 2, ..., и). Тогда имеет место формула Кристоффеля — Шварца г !(г) = с) (Ь вЂ” а,)"' '(4 — а,)"' '... (4 — а„)" гай+ с„(1) го где с, с, — постоянные и интеграл берется по кривой, лежащей в полуплоскости 1ш з ) О. До кааательство. По теореме Римана (1 33) существует функция ю = 1(г), которая конформно отображает полуплоскость 1шз ) 0 на ограниченный многоугольник П так, что а»~ сг (» 1, 2, ..., в).
Научим свойстза втой функции. 1. Пусть Р (г) — аналитическая функция с исходным элементом ! (г), 1шг ) О. Покажем, по функция р (г) является аналитической во всей расширенной комплеконои плоскости с выколотыми точками а» (» = =1,2, ..., л). Воспользуемся принципом симметрии ($36). Функция ю г' (г) переводит интервал уы (а», а»»~) в интервал Г»'. (Аы А»ы) (а~г-~ аь А»+~ Ая один на ивтервалоз т», » =1, 2, ..., и, содержит внутри себя течку г = гю).
В силу принципа симметрии существует аналитическое продолжение ! (г) функции 1(г) через интервал т» з полуплоскость 1ш г ( О. Функция ю = 1» (г) конформво отображает полуплоскость 1ш г ( 0 ыа мвоюугольвик П», симметричный с мвоюугольвнком П отвосптельяо прямой 1ы проходящей через интервал Г» (ркс. 143). При атом отображении образом интервала уг является интервал Г., сямггетричный с игпервалом Гг относительно прямой 1г (рис. 143). Далее, в силу принципа симметрии существует аналитическое продолжение уы(г) функцииу (г) через интервал т1 в полуплоскость !ш г ) О. Функция ю = У»1 (г) конформно отображает полуплоскость 1ш г ) 0 на ыногоугольвнк Пы, симметричный с многоугольников г)* относительно 1» (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
