1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 53
Текст из файла (страница 53)
112)'. Рис. 112 Л'1 В самом деле, так как а(вх = сох(х — ц, то выполняя сна чала отображение ь = г — — (сдвиг)', а затем отображение и = соз ь (рис. 111) получаем отображение рис. 112. 1 ) Пример 26. Покажем, что функция ю 1лх конформно отображает полосу — л/4( Кех(л/4 на единичный круг ! ю! <1 О и =1сг г=агсгд ш. г/Й=О Рис. 113 '(рис, 113)'.
Отметим, что это отображение удовлетворяет условиям ю (0) = О, агя ю/(0) = О. Действительно, так как с1ив 1 ел — в ™ ей~в 1 сссв 1 ев*+в-О ° вал+1' то отображение ю 1ях можно рассматривать как суперпозицию $35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЬЕЧИ ФРНКЦИЯМИ 3О7 трех отображений: 1 = 21г, Ч = г, кр = ( — 1) —. г .ч — 1 в+1' Выполняя последовательно эти отображения, получаем отображение рис. 113. Д Рассмотренные примеры (23 — 26) показывают, что отображения тригонометрическими и гиперболическими функциями сводятся к последовательному выполнению отображений, изучен- ® яых ранее в $ 34 и 35, пп.1 — 7. ~7 9.Р р р.к фрные отображения, рассмот- д ренные выше в $ 34 и 35, Рзс. И4 пп.
1 — 8, являются етабличнымиз. С их помощью находятся конформные отображения других простейших областей. Приведем примеры (27 — ЗЗ) конформных отображений и пр(г) заданной области Р плоскости г на верхнюю полуплоскость 1шю~О. Пример 27. Р— плоскость г с разрезами по лучам ( —,а) и [Ь, + 9), где — ро < а < Ь (+ (рис. 114). Способ 1. Как и в примере 10 (рис. 93е), находим ('+') - 1. Способ 2. Линейная функция ь = (г — — ) — (сдвиг и+ Ь1 2 и растяжение) отображает область Р на плоскость р, с разрезами по лучам ( — 9, — 11 и (1, + 9). Затем, как и в примере 21 (рис.
108), и Ц+У~ — 1, где крр1-в'=1. () Пример 28. Р— полуплоскость 1шг)0 с разрезом по дуге )г! 1, 0<агйг<а, где 0(рхсп (рис. 115). вр Способ 1. Функция ь (г — 1)/ l (г + 1) отображает полуплоскость 1ш г ~ 0 на полуплоскость 1ш Ц ) 0 Д ЗЗ) и разреа по данной дуге переводит в разрез по отрезку(0, 1Ц так как 1- О, Рис. Иб — 1 - р,где Ь = 19(сс/2). Далее, как и в примере 7 (рис. 91), ю= у~*+ йр, где пр(х+01))0 при х~1. 1~ 1~ Способ 2.
Функция Жуковского 1 = — ~г+ — ~ отображает 2~ область Р на плоскость ~ с разрезами по лучам '( — о, — 1) и (сова, + ) (из рис. 97). Далее см. пример 27. П 20и ГЛ. УХ. КОНФОРМЕЬти ОТОБРАЖИНПЯ Ппимвр 29. Ю вЂ” полоса 0<1ши<п с разрезом по отрезку [О, 14 где 0<В<я (рис. И6). Функция ь е' отображает область А) на область рис.
Иб. Далее см. пример 26. ! ! лз ш О Рис. 118 Рис. 117 Пример 30.,0-полоса — я<1ши<я с разрезом по лучу [а, + ), гдв а — действительное число (рис. И7). Функция ь е' отображает область Р на плоскость ь с разрезами по лучам ( —, О) и [е', + ю). Далее см. пример 27. П Пример 31.
Р— полуполоса 0< <1ши<п, Коз)0 с разрезом по отх+з- резкур, а+ з~, где а)0 (рис. И8). и/ (и1 и1! Функция ~ = сй з отображает область Р на полуплоскость 1шь~О с разрезом по отрезку [О. 1з)7а] (из примеРис 118 ра 23). Далее см. пример 7. П Пример 32.  — область Кеи~О, [и — 1! ~1 с разрезом по отрезку [2, 3! (рис. И9), Функция ~ 1/и отображает областью на область Ю,— полоса 0<КеГ<1/2 с разрезом по отрезку Р .Ив Рис. 120 [1/3, 1/2). Область Р, линейной функцией можно отобразить на область рис.
Иб. Далее см. пример 29. П Пример 33. Э вЂ” область (и — 1!)1, (и — 2! <2, 1ши<0 (рис. 120). Функция ~ 1/з отображает область .0 на полуполосу В;1 1/4<Кем<1/2, 1ш~)0. Область О, линейной функцией можно отобразить на область рис. И1. Далев см. пример 24. [! В зс. ОтОЕРАжения элементАРными Функциями 399 Приведем примеры (34 — 37) конформных отображений и ш(з) заданной области Р плоскости з на единичный круг 1ы! < 1. Пример 34. Р— плоскость з с разрезом по отрезку (», Ь), где — < а < Ь < +» (рис. 121).
Линейная функция а+Ь1 2 (г — — ~ — (сдвиг и растяжение)' отображает область Р 2 /Ь вЂ” а на вневшость отрезка ( — 1, 1). Затем, как и в примере 20 (рис. 107), ю = ~+ + 7~' — 1, где и( с)' О. Д О Ю С д Рис. 121 Рис. 122 Пример 35..0 — круг Ы < 1 с разрезом по отрезку ( — 1,»1, где — 1<»<0 (рис. 122)'. Функция Жуковского ь= 2 (з+ — ) отображает область Р на плоскость ь с разрезом по отрезку 1.~ .) — ~»+ — ~,, 1~ (из рис.
96). Далее см. пример 34. Д 1/ Пример 36. Р— область Ь1) 1 с разрезами по отрезкам (», — 1) и (1, Ь), где — <»< — 1, 1< Ь<+ с (рис. 123). Функ- 1( 1) ' ция Жуковского ь= — ~з+ —,! отображает область Р на внешность отрезка !а, Ь1 где» = — ~»+ — ~, Ь = — ~Ь+ ц (из рис. 95). Далее см. пример 34. Д Рис.
124 Рис. 123 Пример 37. Р— круг Ь! < 1 с разрезом по отрезку (О, 1) 11 11 (рис. 124). Функция Жуковского ь = — р+ —,) отображает область Р на область Р,: плоскость ь с разрезом по лучу ( — 1, + )' (из рис. 96). Функция И=Уь+1, где ц!с, 21, отображает гл.
уь конФОРмные ОТОБРАжкния область Э, на полуплоскость 1шц)0. Наконец, функция и = (ц — 1) /(ц + 1) отображает полуплоскость 1ш ц ~ 0 на круг !и! ( 1 Я 34),!! Разнообразные примеры конформных отображений элементарными функциями содержатся в (8!. Пример 38. Пусть .0 — область 1шг(0, Ь+И! ~В, где !)В ~ 0 (рис. 125). Эту область можно назвать неконцентрическим кольцом (прямая — окружность бесконечного радиуса). Найдем конформное отображение области П на концентрическое кольцо. Для этого найдем две точки, симметричные одновременно относительно прямой 1шз 0 и относительно окружности Ь+ И! В.
Эти точки должны лежать на общем перпендикуляре к прямой и к окружности (1 34), т. е, на мнимой оси. Иэ симметрии относительно прямой 1шз 0 следует, что это точки Ма, где а)0. Из симметрии относительно окружности Ь+И! В получаем (!+ а) () — а) В*, откуда а УР— В*. Покажем, что искомое отображение есть э+ы м = —. а — 3а' (18) В самом деле, при этом отображении прямая 1шг О переходит в окружность (. По свойству сохранения симметрии (1 34) точки з ~~а переходят в точки щ=О, и °, симметричные относительно окружности т. Следовательно, и 0 — центр окружности "(. Так как точка ю(0) — 1 принадлежит (, то ( — окружность О 1-ай+ Рве.
125 )и>! ° 1 (рис, 125). Аналогично доказывается, что окружность (х+ И! *= В при отображении (18) переходит в окружность Л вЂ” ~ — а !м! = В„где Вт =- + В силу соответствия границ Я ЗЗ) функция (18) коиформно отображает область Р на концентрическое кольцо В,( !ш! (1 (рис. 125). ! ! Пример 39. Пусть Х> — некоэцентрическое кольцо (э+1! > >9, Ь+6!(16 (рис. 126). Найдем конформное отображение З зь. отовгажвния элкэжнтавными Фэнкциями З11 области Р на концентрическое кольцо. Для этого найдем две точки а и Ь симметричные одновременно относительно окружности !г+1~ 9 н относительно окружности !э+6! =*16, Этя точки лежат на общем перпенднкуляре к окружностям, т.
е. на действительной оси (рис. 126), и поэтому а, Ь вЂ” действительные числа. Из симметрии относительно данных окружностей получаем (з 34) ф' (а+1) (Ь+1)=81, (а+ 6) (Ь + 6) = 256. Решая эту систему, находим а 2, Ь= 26. Как и в примере 38, доказывается, что функция з — 3 и~ =,— те конформно отображает область Р на концентрическое кольцо УЗ ~ !и! ( У2.() Пример 40.
Пусть Р— область !х — 1Й~ ) 71-г Ь', где Ь— действительное число. Граница атой области — окружность 7 с центром в точке й, проходящая через точки з = ~1, з = 1а, в = — —, а = Ь+ 71+ Ь' (рис. 127). Покажем, что функция 1~ 1~ Жуковского ю = — ~э+ —,~ однолистна в области Р.
2 ~ Рис. $27 Рассмотрим отображение ь Ух, причем точки ь будем изобРажать на той же плоскости з. При этом отображении точки з ~1 остаются на месте, а точка з Ьз переходит в точку — 1/а, поэтому окружность 7 переходит сама в себя (3 34). Кроме того, точка з = переходит в точку ~ О, лежащую внутри 7.
Следовательно, внешность Р окружности 7 переходит во внутренность В этой окружности. Так как области Р и В не ГЛ. ЧТ. КОНФОРМНЬП ОТОБРАЖЕНИЯ 312 имеют обтцпх точек, то в силу замечания 2 функция Жуковского однолистна в области Р (и в области Р). Найдем образ области Р при отображении функцией Жуков- 1/ 1) ского. Заметим, что соотношение и= —,, ~г+ — ( можно запиг/ и — 1 /г — 11г сать в виде — =~ — /.
Позтому функцию Жуковского к -~- 1 ~г + 1/ ' можно рассматривать как суперпозицию двух функций: Т вЂ” 11г При отображении ь= ~,— — 1т/ окружность 7 переходит в разрез по некоторому лучу 7, соединяющему точки ь 0 и ь 1+1 При отображении и= — луч 7 переходит в дугу окружности 7' с концами в точках и = ~1. Так как точка г 1а 1/ 11 при отображении и = — ~г + — ~ переходит в точку ю = 2(, г/ Р = 2 ~~а — †) = Й, то дуга 7 проходит через точку и 1й. Следовательно, функция Жуковского конформно отображает внешность окружности 7 на внешность дуги окружности 7' с концами в точках ю= ~1, проходящей через точку и~ й (рис. 127). Отметим, что при отображении функцией Жуковского окружность С, близкая к 7 и касающаяся 7 в точке г = — 1, переходит в кривую С' (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
