1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Таким образом, функция й=г' однолистна в области Р в том и только в том случае, когда зта область не содержит нн одной пары точек, симметричных относительно точки г = О. В частности, функция и~ = г' одяолистна в полуплоскости, граница которой проходит через точку г = О. П р и м е р 1. а) Функция и~ = г' конформво отображает верхнюю полуплоскость 1шг)0 на область 6 — плоскость ит с разрезом по лучу [О, + ) (э 8, рис. 35). б) Функция ю = г' конформно отображает нижнюю полуплоскость 1ш г (О на ту же область 6 (3 8, рис.
36). Д Рассмотрим отображение координатной сетки функцией и=го для случаев полярной н декартовой систем координат. 2. Образы лучей агапэ=а и дуг окружностей (г~ =р. Линии агбг=сопзь и ~г~ =сопзг образуют координатную сетку на плоскости г (полярные координаты). В $8 было показано, что функция ю г' взаимно однозначно переводит: з Зь отопРАжения элвментАРными Функциявзи 289 а) луч агя х сс в луч агя ю = 2и; б) дугу окружности Ь! р, св < агя г < р, где р — сс < и, в дугу окружности ! ю ~ = р', 2и < агя и~ < 2р. Пример 2. Из свойств 1, 2 вытекает, что функция ю=з* конформно отображает кольцевой сектор Я: р~< Ь!<рв, 0< <агяг<а<п, где 0<р,<рв <+, на кольцевой сектор У: Рв „,~и~<Рви, 0<агбши 2а (Рис.
88). П Ряс. 88 3. Образы прямых Вез=с, 1шз=с. Покажем, что функция ю зв взаимно однозначно нереводат: а) прямую Вез=с в параболу (2) б) прямую 1ш х с в параболу '=2р~ + —,'). (3) Здесь р = 2с', и = и+ 1и. Действительно, в=и+$Р-хв (х+1у)'-х' — ув+2ху(, т. е. и х* — у*, Р 2ху. Если Вез=х=с, — <у<+, то и=с' — у', Р=2су, откуда вытекает формула (2). Аналогично, при 1ш з у с получается формула (3).
Если с=О, то р= О, и парабола 2 вырождается в луч ( — о, 01, проходимый дважды, т. е. прямая Вез=О переходит в луч ( — о, 01, проходимый дважды ($8, рнс. 37). Аналогично полу- чаем, что прямая 1ш и=О переходит в луч [О, + ), проходимый дважды (рис. 88). Отметим, что любая парабола вида (2) пересекается с любой параболой вида (3) под прямым углом в силу свойства сохра- $9 Ю. В.
Сидоров и др, гл. тг. конФогмные отовглжения пения углов при конформном отображении. Фокусы всех парабол (2) и (3) расположены в одной и той же точке и = О. Пример 3. Из свойств 1, 3 вытекает, что функция и-в' конформно отображает прямоугольник (рис. 89) на криволинейный четырехугольник, ограниченный дугами парабол вида (2), (3) П () Б П а Рис. 80 2. Функция в Ул.
Свойства функции в=уг, обратной к функции ю з', рассматривались в зз 13 и 22. Напомним, что функция Уг является аналитической в плоскости х с выколотыми точками в= О,, а в плоскости с разрезом, соединяющим точки в=О и з, распадается на две регулярные ветви. Пример 4. Пусть Э вЂ” плоскость з с разрезом по лучу (О, + ) (3 13, рис. 47). В атой области функция Уз распадается на две регулярные ветви )л(з) и Ь(г) — Ул(з), где (,(х+0~)=Ух>0 при х>0, т. е, функция У,(з) принимает положительные значения на верхнем берегу разреза.
Функция ю Д,(з) конформно отображает область В на верхнюю полу- плоскость 1шю>0, а функция и~ (,(з) — на нижнюю полу- плоскость )т ш( 0 (з 13, рис. 47). Д Пример 5. Пусть П вЂ” плоскость с разрезом по лучу (— О] (3 13, рис. 48). В атой области функция Уз распадается на две регулярные ветви У,(г) и Яз) — Д (з), где (,(1) 1. Функция и~ = У,(г) конформно отображает область Р на полуплоскость Вез>0, а функция ю (,(г) — на полуплоскость Вез( (О ($13, рис. 48). Д П р и м е р 6.
Пусть )7 — внешность параболы уз = 2р(х +-), г) в/е где р О, г= х+ 1у, т. е. область у~) 2р ~х+ -) (рис. 90). $3$. Отовгьжвния элеиентьгными Функпнямн 29$ В этой области функция Уг распадается на две регулярные ветви /,(г) и Д,(г) — /,(г), где /г ~- — ) = г '~гр/2. Из при- Р) ° ч/ мера 3 (рис. 89) следует, что функция и = /,(г) конформно отображает область Р на полуплоскость 1ш и~~ Ур/2, а функция и~ /,(г) — на полуплоскость 1шю~-Ур/2 (рис. 90). Д аш Ат Ряс. 90 Пример 7.
Пусть Р— лолуплоскость 1шг) 0 с разрезом по отрезку (О, 1Ц (Ъ)0) (рис. 91). Найдем конформное отображение области Р на верхнюю полуплоскость 1ш и> ) О. а) Функция Ц г1 конформно отображает область Р на область Р, — плоскость 9 с разрезом по лучу (-Ь', +о ) (рис. 91); Рис. 91 б) Функция ц = ь+ /1' (сдвиг) конформно отображает область Р~ на область Р, — плоскость ч) с разрезом по лучу (О, +с ) (рис. 91); в) функция ю-уц (точнее, ее регулярная ветвь в Р,, принимающая положительные значения на верхнем берегу разреаа) 4ою ГЛ, ЧК КОНФОГМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ конформно отображает область Р, на полуплоскость 1ш кс- 0 (пример 4). Следовательно, суперпозиция отображений а) — в), т.
е. функция кс Ух'+Ь' конформно отображает область Р на полуплоскость |ш в~О (рис. 91). Д 3. Функции и х", Свойства степенной функции х' изучались в 5 22. В частности, был рассмотрен Пример 8. Функция пс=х", а) О, конформно отображает сектор 0(агйх<р<2я, где 3~2я/а, на сектор 0< агу ю( <а3 (рис.
61), Ц Замечание 1. В примере 8 и всюду в дальнейшем символом х" обозначается следующая функция: Ь Хсс ~Х('ссйсссх с (4) определенная в секторе 0(агйх(2И. Отметим следующий частный случай примера 8. Пример 9. Пусть 8 — угол 0< < агях( р < 2я. Тогда функция ю Рвс. 92 хам конформно отображает угол 8 на верхнюю полуплоскость 1ш и ) О.
П Рассмотрим область Р, ограниченную двумя дугами окружностей, пересекающихся в точках а и Ь под углом а (рис. 92). Эта область называется луночкой. Покажем, что луночку Р можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость с помощью дробно-линейной и степеннбй функций. Применим дробно-линейное отображение ь = —, при котором ь(а) О, ь(Ь)=е . Это отображение переводит дуги, ограничивающие Р, в лучи, пересекающиеся в точке ь =0 под углом а (з 34).
Следовательно, образом луночки Р является угол Р < агл ь < р+а, где 3 — некоторое число. Этот угол поворотом ц = с,е и отображается на угол О( (агйц<а, который функция кс=.ц"' отображает на полуплоскость 1ш кс) 0 (пример 9). Таким образом, функция конформно отображает луночку Р на верхнюю полуплоскость. Пример 10. Конформные отображения областей, указанных на рис. 93, на верхнюю полуплоскость осуществляются следующими функциями: м эк отоБРажения злементАРныме Функциями я3 4. Функция в=е*. Некоторые свойства функции в = е' были рассмотрены в $8. Напомним зти свойства.
0 с 1. Однолистность. Функция в е* однолистна в области Р тогда и только тогда, когда зта область не содержит никакой пары различных точек х„х„связанных равенством хс — х,=2йн1, й ~1, ~2, ... (5) В частности, функция в = е* однолнстна в полосе О < 1ш х < < 2Я и конформно отображает эту полосу на плоскость в с разрезом по лучу (О, + ) (т 8, рис. 38).
Рассмотрим отображение координатной сетки Ке х совет, 1ш х = сопз$ функцией в = е*. 2. Образы прямых Вез=с, 1шх с. В т 8 было показано, что функция в е' взаимно однозначно переводит а) отрезок Кех с, а<1шх< Ь, где Ь вЂ” а<2я, в дугу окружности !в! е', а<агяв<Ь; б) прямую 1шх= с в луч агя в = с.
Пример И. Из приведенных свойств 1, 2 вытекает, что функция в = е* конформно отображает прямоугольник с, < < Кехсе„а<1шх<Ь, где — а=с,<ос<+, Ь вЂ” а <2Н, с на кольцевой сектор е' <(в!<:е ', а <агд в < Ь. Частные случаи таких отображений показаны на рнс. 94. Д гл, тч, конФОРМНЫв ОТОБРАИЕния 5. Функция ш =1нх, Свойства функции в=1пх, обратной к функции кг е*, рассматривались в Ц 13 и 21. Напомним, что функция в=1пх является аналитической в плоскости х с выколотыми точками х О, и, а в плоскости с разрезом, соединяющим точки х 0 и х, распадается на бесконечное число регулярных ветвей. (з) О 0 1 и~лег в Рис. 94 Приведем примеры конформных отображений функцией ш =1п х, рассмотренные в 3 13 и 21. Пример 12. Пусть Р— плоскость х с разрезом по лучу (О, + ) (рис.
49). В этой области функция 1пх распадается на регулярные ветви: (1пх)» 1п Ь!+1(агях),+2йя1, Й О, м1, ~2, ..., где 0 < (агя х), < 2я. Функция ш = (1п х) и конформно отображает область Р на полосу 2яя < 1ш ш < 2(й+ 1) к (рис. 49).
~Д Пример 13. Функция и 1пх конформпо отображает сектор 0 =агях< и< 2я на полосу 0<1ш и <а (рис. 60). Здесь 1п и = 1п Ь! + затя х, 0 < агя и < а. Д 6. Функция Жуковского. Функция (6) 1 за отовгьжвния злкмвнтлгньми фгнкцнями 295 1/ 1) 1/ и= —.(г+ — ~сов~у, и= — (г — — ~з!п~р. 2( г/ ' 2~ г! (8) называется функцией Жуковского. Эта функция регулярна в 11 точках з чь О, , причем и'(з) = — (1 — †,), а в точках г О и т = имеет полюсы первого порядка.
Следовательно, функ ция Жуковского (6) однолистна в каждой точке я~ ~1, так как и'(г)чьО при гчь~1, и неоднолистна в точках я= ~1, так как ю'(~1)= О (п. 2 5 32). Докая ем следующее свойство. 1/ 11 1. Однолистность. Функция Жуковского и = — (з+ — ! однолистпа в области Р тогда и только тогда, когда в етой об- ласти нет различных точек г, и з„связанных равенством г,з, = 1. (7); В самом деле, пусть — (т~ + — ) = 2 (за+ —, ! ° Тогда (зг — зз) м м (1 — — /1 = О, откУда либо зг = г„либо г,з, = 1, 1 з~а~~ Равенство (7) геометрически означает, что точка г, 1/з, получается из точки з, двойной симметрией: относительно ок- ружности )з! = 1 и относительно прямой 1ш г = О ($34, рис. 84). Таким образом, функция Жуковского однолистна в об- ласти в том и только в том случае, когда зта область не со- держит ни одной пары различных точек, которые получаются одна из другой двойной симметрией: относительно единичной окружности и относительно действительной оси.
1/ Пример 14, Функция Жуковского и= — (з+ — / одноли- стна в следующих областях: а) !з! ~1 — внешность единичного круга, б) !з! ~ 1 — единичный круг, в) 1ш з ) Π— верхняя полуплоскость, г) 1ш з ( Π— нижняя полуплоскость. ! ! Замечание 2. Пусть Л вЂ” область, состоящая из точек 1/з, где з~нР. Тогда функция Жуковского однолистна в области Р в том и только в том случае, когда области Р и Р не имеют 1/ 1) общих точек. При отображении ю = — (з + — ! образами обла- 21 з/ отей Р и Ю является одна и та же область, так как ш(з) = в(1/з).
2. Образы окружностей и лучей. Найдем образы окружностей !з! р и лучей агяз =я (полярная координатная сетка) при отображении функцией Жуковского. Полагая в (6) г ге", ш= и+1о, получаем и + /и = 2 (ге + — е р откуда 1/ 1Ф 1 1е~ гав ГЛ. ЧЬ КОИФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Рассмотрим окружность х=реч, О~ф<2я (9) (р ) 0 — фиксировано).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
