1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Понятие сходимости бесконечного произведения естественным образом обобщается на случай, когда его множители— функции комплексного переменного. Рассмотрим бесконечное произведение ОФ Ц (1+ 6(г)), где ~»(г) — функции, регулярные в облаоти Р. (27) Далее, если целая функция Дг) имеет лишь конечное число нулей а» (й 1, 2, ..., г) и р„— кратность нуля а„то функция «р(г)=Дг)/«р(г), где «р(г) =-(г — а,)"« ... (г — а)Р', нигде не обращается в нуль и, следовательно, представляется в виде (23), откуда получаем формулу ~(г)= (г — а,)Р ... (г — а,)Р'е~«*«, т. е. 3 э1.
РАЗложкнив мкРОМОРФнон Функции 263 1(г)=1(0)сз*Д»1 — — 1в~~, В= ~ ~~~. (28) Бесконечное произведение (28) равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости. М»~ В атой формуле каждый сомножитель ~1 — — ~е " повто- А ряется столько раэ, какова кратность нуля г,. Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция Р(г) имеет простые полюсы в точках г„, где г, — нули функции 1(г), и не имеет других полюсов.
Тогда Аз = гез Р(г) = пы где и, — кратность нуля г„функ»»з ции 1(г)' (т 30). По теореме 1 имеем »» Р(г) = Р(0)+ ~(' — '+ — ') „,ч* зз (29) л Так как Р(г) = — [1Н1(г)), где для логарифма выбрана аналитическая ветвь, то интегрируя ряд (29) по некоторой кривой, соединяющей точки О, г и не проходящей через нули функции 1(г), получаем 1Н1(г) — 1Н1(0) = Р(0)г+ )~~ ~1п(1 — — 1+ — 1. (30) Определение 4. Бесконечное произведение (27)' называется сходящимся в области Р, если его множители (эа исключением, быть может, конечного числа их) не обращаются в нуль в этой области и если произведение отличных от нуля множителей сходится в каждой точке области Р. Определение 5.
Бесконечное произведение (27), множители которого отличны от нуля в области Р, называется равномерно сходящимся в этой области, если последовательность »» функций Р„(г) П (1+ ~э(г)) равномерно сходится в области Р. з з Если бесконечное произведение (27) равномерно сходится в области Р, то функция Р(г) = 11ш Р„(г) = П (1 + ~з (г)) регуляр»»-»»» ь=г на в области Р в силу теоремы Вейерштрасса (т 12)'. Из теоремы 1 о разложении мероморфной функции на элементарные дроби можно получить следующую теорему о представлении целой функции в виде бесконечного произведения: Теорема 2.
Если целая функция ~(г) такова, что мвроморфная функция Р(г)=1'(г)Ц(г) удовлетворяет условиям теоремы 1, то гл. ч. ткогия вычетов и ве приложения 264 (31) В формуле (31) сгруппированы множители, относящиеся к нулям йп и — йп (й '1, 2, ...) синуса. Преобразуя выражение в квадратных скобках, окончательно получаем з1вг=гЦ 1 — —,, а='а~ во ! (32) Пример 3. Разложим в бесконечное произведение целую функцию е* — 1. Имеем / па „,— мат е' — 1 = с*~а( ) =- епазЬ вЂ”,.
2 Используя равенство зЬ ь = — (з(паь и формулу (32), получаем ! а е' — 1 = ген' П ~1 + —,, ~. П д а 44ав,/ 5. Обращение степенпбго ряда. В заключение главы Ч в качестве примера на применение теории вычетов рассмотрим задачу об обращении степеннбго ряда, т. е. задачу о нахождении козффициентов рида г = й(ар) = ~ Ь„(ар — иа)", (33) Потенцируя (30), находим /(г) = ~(0) ег(ам Ц (1 — —,~ ем а, где аа/ Е(0) =1'(0)УУ(0), и формула (28) доказана. Э а не чание 2, В условиях, указанных в замечании 1, формула (28) заменяется следующей формулой: 1(г) = ег(" П ((1 — —, ~ еьь(о а=а ~ аь/ 1(ааа где йа(г) = — + — ~ — ~ + ... + — (1 — ~, б(г) — многочлен стеаа 2~аз) ' ' р(аа~' пени не выше р. 4, Разложение синуса в бесконечное произведение.
Рассмотрим целую функцию р(г) =(зшг)/г. Эта функция имеет простые нули в точках га= йп (й= ~:1, ~2, ...). Далее, функция Р(г) = — = сглаз — — удовлетворяет условиям теоремы 2 и, Р (а) Г(а) а следовательно, можно применить формулу (28).
Так как 1(г) = аа = (з(п г)/г = 1 — —, + ..., то ~ (О) = 1, 1' (О) = О, и по формуле (28) находим х эи РАзложвниз мегомОРФпои Функции где х = Ь(ю) — функция, обратная к регулярной в точке ОО функции ю = /(х) = ~', а„(х — х,)", /'(х,) ФО, и, = /(хо). о=о Так как /'(х,)оь0, то по теореме об обратной функции (т 13) существуют круг К: !х — Ы <р и круг К,: !й — оио1< <р, такие, что для каждого юовК, уравнение /(г)=оп имеет единственное решение х~ К. Тем самым определена однозначная функция х Ь(и), регулярная в круге К,. Найдем коэффициенты ряда (33) для етой функции.
Рассмотрим интеграл и' 63 '(-) =2 —..) 1(и--'~ здесь 7 — граница круга К, юон К,. Подынтегральная функция г" (ь) Ц'(ь)/(/(ь) — и) регулярна внутри 7, за исключением точки х=Ь(и>), которая является простым полюсом для г'(~), и по теореме о вычетах получаем 1(и)= гез г'(~)= 1 ~,1 =Ь(ю) =х, т-ьо,> ( (1 ~~) — о ) 1о=моо т. е. х = Ь(ю) = — ) оь. ~1 63 2по,) 1 (~) — и Имеем 1 о т '9 (и о'о) 1(1) — 1(ь) —, "— ~~ ~ (1 (ь) — ~,)"+~ (36) о Ряд (36) сходитсяравномерно по ь (ьон 7), так как !ю — ого! < < „, (ю ~н К,), а Щ) — юо) Р.- р, (~ ~и 7). Умножая (36) на 1 ! — ~/ (~) и интегрируя почленно вдоль 7, получаем 00 х = Ь(и) = ~~.", Ь„(ю — и~о)", где в=0,1,3, ...
(37) 2"'" (1(о) — ~)"+' Ц формуле (37) Ь = х,. При п =- 1 из (37) интегрированием по частям находим (38) 2п'и ~ [1(ь) — ",!" еее ГЛ. и ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Подынтегральная функция в (38) имеет внутри т единственную особую точку, а именно полюс п-го порядка ~ та Находя вычет этой функции по формуле (7) т 28, получаем Л~-1 Г а — „ М,, д,— ~1(.) — 1(;) ~' Ряд (33), коэффициенты которого вычисляются по формулам (39) (Ь, = х,), называется рядом Бурмана — Ллераилеа.
Приведем формулы для вычисления коэффициентов Ь1, Ь1, Ь1 ОО РЯДа (33) чеРез коэффиЦиенты а,„РЯДа 1(г) = ~ Ои (г — х,)и. Имеем 1 а, 1гое Ь, = —, Ь, = — —, Ь, = — (2а, — а1аа). а ' аа аа 1 Пример 4. Пусть 1(э)=хе-"* (з,=О, и,=О). Тогда, вычисляя коэффициенты Ь по формулам (39), получаем 1 ° Л аих (аи) Ь„ =- — 11п) †„ , (е'"*) = и) даи-1 и) Ю и, следовательно, э=Ь(1о) =- ~~ ю" Н 'Ю (аи) и) В=1 Глава 1т1 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Понятие копформного отображения было введено в $ о.
В атой главе рассматриваются общие свойства конформных отображений и детально изучаются отображения элементарными функциями. 5 32. Локальные свойства отображений регулярными функциями $. Теоремы об обратной функции. В г 12 доказана теорема об обратной функции к функции Дг), регулярной в точке г„ в случае, когда ~'(г,)чьО. Рассмотрим случай, когда 1'(г,) О. Теорема 1. Пусть у)ункция ю=~(г) регулярна в точке гэчьсь и 1'(г,) 1" (г)=... '~'" "(г)=О, ~<"'(г)ФО, еде к~2. Тогда существуют окрестности У, У точек ге ю, =Дг,) соответственно и Функция г=ф(ю) такие, что а) уравнение 1(г) и (относительно г) при каждом ю ш 1т, и т- ю„имеет ровно и различных решений г=~»(ю), принадлежащих У; б) Яункция г ф(ю) аналитична в области У, ючь ю, и ~(»( )) (1) Из ($) следует, что функция г=ф(ю) является обратной и функции ю=~(г), г~а У.
Эта обратная функция в силу а) яв- ляется и-значной в области У, и чь ш,. Доказательство. По условию теоремы точка г, является нулем функции 1(г) — ((г,) порядка и, т. е. и — ю, =У(г) — У(гв)=(г — г,) "й(г», где функция й(г) регулярна в точке г, и Ь(ге)чьО (п. 5 $ $2). Обозначая ю — ю, ь", получаем ь" = (г — г0) "Ь (г), откуда Гл. чь конФОРмные ОтОБРАжвння ь = (г — г ) р'Ь(г).
Функция у'Ь(г) распадается в окрестности точки г, йа регулярные ветви, так как Ь(г,)ФО (п. 2 $24). Пусть Ь,(г) — одна из этих ветвей и ь =(г — г,)Ь,(г). Тогда функцию ш=Дг) можно представить в виде суперпоэиции двух регулярных функций и~ и~,+~", э= ь(г)=(г-г,)Ь,(г), (2)' (3) где функция Ь,(г) регулярна в точке г, и Ь,(г,)чь О. Функция (3) удовлетворяет условиям теоремы э 13, так как ь'(г,) Ь,(г,)чь О. По этой теореме существует окрестность У точки г„ которую функция ь ь(г) взаимно однозначно отображает на некоторый круг К: ф <р, р) 0 (ь,=~(г,)= 0). При атом обратной к функции ь = ь(г), э~к У, является функция е у(ь), регулярная в круге К.
Функция ь = у'и — ~оэ, обратная к функции (2), п-значна и аналитична в кольце т': 0<!й — в0! < р" (э 22). Следовательно, функция г = зр (и~) = у (у ю — и э), обратная к функции и =Дг), г~и У, и-эначна и аналитична в кольце т' как суперпозиция регулярной н аналитической функций (э 22). Следствие 1. При условиях теорема 1 точка и является алгебраической точкой ветвления порядка н для функции г= ~р(и~), обратной к функции и>=)(г), и в окрестности точки и, имеет место разлохсение в ряд р(ю) = Х с. () ' — й,)", э=э еде с, =г„с,чьО Ю действительно, ~р(ш) д(ути> — ю ), а у(Ь) = ~ с„~ь„где э а с,=у(0) г, и с,чьО, так как из (3) по формуле для производной обратной функции ($13, формула (2) ) имеем т с = у'(0) = —, = — чьО. 1(у(1) )-1(.)+ ~" в некоторой окрестности точки ь О. )Ури етом у'(о) = ~~ ( о) Из доказательства теоремы 1 вытекает Следствие 2.
1Ури условиях теоремы 1 существует функция г у(ь), г,=у(0), регулярном в точке ь 0 и такая, что 9 зг. лОкАльные сВОйстВА ОтОВРАженин Пример 1. Пусть точка г, — полюс функции Дг). РассмотРим Уравнение ~(г) =.4. (4) Пусть У вЂ” малая окрестность точки г.. Покажем, что существует такое а, что для каждого А, удовлетворяющего неравенству !А~ ) а, уравнение (4) имеет ровно п различных решений, принадлежащих У, где и — порядок полюса г, функции Дг). а) Если г,чь, то функция у(г)-1/1(г) регулярна в точке г, и у(г,)=у'(г,) ...=у"-"(г,) О, уоо(г,)чьО Я 18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
