1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Д о к аз ательств о. Пусть Р„(г)=а,г" + а г" '+...+а,г+а„ вЂ” произвольный многочлен п-й степени (а, т'= О) . Обозначим ~(г)=а,г, д(г)=а,г" '+...+а„,г+а„. Тогда Р„(г) = Р(г) = 1(г) + у (г) . Так как Нт — = — О, то найдется Л «О такое, что для всех Е (г) 1() гх |г! ~ Л выполняется неравенство (9) Пусть à — окружность |г( =Л. Так как на Г имеет место неравенство (9), то по теореме Руше №= №. Но Х, = и, поскольку функция |(г)= а,г" имеет п нулей в круге |г| ~ Л (точка г = О является нулем кратности и функции 1(г) ). Таким образом, в круге |г| (Л число нулей функции Р (г) Р„(г) равно и, т.
е. многочлен Р„(г) имеет в этом круге и нулей, Так как в силу неравенства (9) функция Р(г) не имеет нулей при |г| «Л, то теорема доказана. й 31. Разложение мероморфной функции на элементарные дроби В качестве приложения теории вычетов рассмотрим вопрос о разложении мероморфной функции па элементарные дроби. Напомним определение мероморфной функции (з 19). Функция |(г) называется мероморфной, если она регулярна в каждой г и. глзложкник мвгомогфнои фтнкции ограниченной части плоскости, за исключением конечного числа полюсов.
В 3 19 было показано, что мероморфная функция ~(г)', имеющая во всей расширенной комплекской плоскости лишь конеч.- ное число полюсов (рациональная функция), представляется в виде суммы многочлена (главной части ряда Лорана для 1(г) в точке г= сс) и элементарных дробей (главных частей ряда Лорана для ~(г) в окрестности ее полюсов). Это утверждение можно обобщить на случай мероморфной функции ~(г), имеющей бесконечное (счетное) число полюсов. 1.
Теорема о разложении мер онорфной функции. Введем следующее Определение 1. Пусть имеется последовательность (Г„) вложенных друг в друга (Г„лежит внутри Г.+„к=1, 2, ...)' замкнутых контуров Г„, содержащих точку г 0 и таких, что +(С (п=1,2, ...), (1) где Я вЂ” длина контура Г, Ы. — расстояние от начала координат до кривой Г„(д„ = ш1 !г!), причем «его Ы„-» сс, и- (2) Такую систему контуров назовем правильной. Теорема 1.
Пусть все полюсы гь (й=1, 2, ...) мероморфной функции 1(г), регулярной в точке с = О, являются проетыми и занумерованы в порядке неубывания их модулей: !г ! =- ~ !г,! ~... Если функция ~(г) ограничена на некоторой правиль ой системе контурое (Г„), т. е. Щг)! (М, выГ, п=1, 2, ..., (3) то 1(г) = 1(0) !- лт,' Аь ~ + †), (4) еде Аь —— гез ((г). Ряд (4) сходится равномерно в каждой ограниченной области с выколотььни в ней полюс и функции Яг). Доказательство. Рассмотрим интеграл (5) гк где губ, (ф— внутренность кривой Г„) и гФг„(к 1, 2,...). Пусть РЯ) = .
В области Ст„функция Е(~) имеет простые гр (ь) полюсы !,=г, Г=г„жС; точка ~=0 является либо простым полюсом, либо точкой регулярности (если ~(0) = 0) для функции 17 ю. в. сидагск и ги 258 Рл. т. 'ггОРия вычетов и ее пРилОжения Р(~). По теореме о вычетах У„(х) = гезР(ь) + газ Р(ь) +,"„, гез Р(ь). р=а *«ао, ~= « (е) (7) Оценим х„(х). Пусть Р— ограниченная область.
Тогда существует круг К: !х! < «т такой, что д ~ К. Имеем г„ Здесь !х! <Л (зыби с К), !~! >х(„(о„— расстояние от начала координат ДО контура Рв)1 !1 х! ~ !1! — !х! ) (1~ — 'Йю !~(1) ! ~«лх' Следовательно, !1 (Х)!( МВ 1 Я ( СЗХД ~п (~э д) 2~ (З~ д) так как Я„~СО' в силу (1).
Из этой оценки н условия (2) вытекает, что 1„(х)- 0 при и- равномерно по хыР (хчьх«, й 1, 2, ...). Переходя в равенстве (10) к пределу при п - , получаем ~(х) =~(0)+1па )' А«! + — 1. ($1) ~~~~ ео « ~«Х«/ Коротко формулу (1«) будем записывать в виде (4), считая, что суммирование в (4) производится в следующем порядке: сначала берутся слагаемые, которые относятся к полюсам, лежащим внутри Го затем к этим слагаемым последовательно добав- В силу формулы (3) 3 28 имеем Р(() = 1'~~ 1 = — 1(0), гезР(Ь) = ! — 1 =1(х), гез Р $) = ~ ' ~ гез ) (ь) = , ' , . (9) «=«« ь5 — 3) « — «т — « Подставляя (7) — (9) в (6), получаем А„Х Х„(х) = — 7' (О) + 1(х) + .«НО„"(" Х 1 1« откуда в силу равенства — ~ + ~ находим «( « — *) ' — Х« '« 9 Эь РАЗЛОЖБНИЕ МВРОМОРФНОИ ФУНКЦИИ 289 лаются группы слагаемых, относящихся к полюсам, лежапкпи между Г, и Г„между Г, и Г, и т.
д. Теорема доказана. Замечание 1. Теорему 1 можно обобщить, заменив неравенство (3) неравенством (7'(г)! < М!г!' гж Г„ (и = 1, 2, ...), (12)' где р ~~ Π— целое (при сохранении остальных условий творемы 1). В етом случае имеет место следующая формула: с у<А> (о> к / 7(х) = ~ — ха+ Р АА — + — + — + ... + — !. а! — г ''' р+! А=о гь ! (13) Для доказательства формулы (13) достаточно применить тео- *ЯК! рему о вычетах к интегралу — ) оь.
2"'" ~а — ) г 2. Разложение функции с1я гна элементарные дроби. Рас- 1 смотрим функцию 7'(г) = с$0 х — —. Эта функция является мероморфной, имеет простые полюсы в точках х, = йя (й = ~1, ~2, ...), не имеет агам друпгх конечных особых точек и тех /(г) = 1 (пример 5 $28). Показ=ьг жом, что функция Дг) ограничена на правильной системе контуров (Г„), где Р Ж~ à — квадрат А,„фЄ(рнс.
78) с центром в точке х О, стороны которого параллельны координатным осям, а их длины равны 2а„, он= — + лн 4г (н= О, 1, 2, ...). Рис. 78 Пусть хюфЄ; тогда х=и„+!у, где -а ~у<а, и, следовательно, ~ ~и*~ = ! з (-' ~-Р'.+ з)! = 1м~~(-! *"-* "! откуда получаем !стб х! < 1, г ы фЄ(п = О, 1, 2, ...). (14)' Пусть г ы „ф, тогда г = х + иг„, где — О,„< х ( а„, стяг < ! ! гл. ч. теОРия вычетов и ее пРилОжения откуда находим (сйбз~» ' „, ЕЕНВ С„(л = О, 1, 2,,). (т5) Так как !с(я(-з)(=(сйбз(, то неравенства (14) и (т5)' имеют место соответственно на сторонах А„В, и Р.А квадрата 'А„ ф„, т, е. на контуре Г„.
Итак, (сйяг((М, еюГ, Я=О, $, 2, ... где штрих означает, что /с чь О. Заметим, что между контурами Г„, и Г„лежат ровно два полюса функции /(з), а именно з„=/гя и з,= — йя. Объединяя в сумме (16) слагаемые, соответствующие этим полюсам, полу- 1 1 1 1 2з чаем + — (- — — — = — г —. Таким образ — йя йя з+ йя йя зз й яз' зом, справедлива формула 1 'Ю 2з а=1* ($7) Пример 1. Разложим на элементарные дроби следующие 1 1 мероморфные функции: а) 1яз, б) —,, в) —, з!а з е* — 1 а) Так как 1ез = — с16~г — — 1, то из формулы (16) полу- 2/' чаем ОО з — (я/2) ~ ( ~ — (я/2) — йя з — (Я/2) + йе 3 й=1 1 1 2й — 1 2й — 1 2 + 2 ~/ откуда ОР 2з з~ — (2й — 1) я /4 (18) Отсюда следует, что функция /(з) = с(ба — —,таклсе ограничена на системе контуров Г„.
Далее, /(0)-0, так как функция /(з), регулярная в точке з О, печатна. Итак, в формуле (4) /(0) О, Аь= 2 (/г $, 2, ...) и, следовательно, с1ез = — + ~~~ ( — + — ), э=в 1 21. Р/бЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОИ ФУНКЦИИ 6)' Так как 1б'згпбь — (стдь)', то, дифференцируя равномерно сходящийся ряд (16), получаем бб в) Так как 1 -г/2 1 е '/2 — е'/' + е'/2 -)- е-*/2 + сй —,*„, е*/2 — е б 1 г/2 б/2 а то, используя тождество с121ь=1с16(1ь)' и формулу (17), полу- 1 1 1 тб 22 чаем — =- — + — + ~, П ег — 1 а г „22 + 4агкг Пример 2.
Покажем, что и / а) г = г, = — (ссЬ ая — — б, (20) иг+ а аи/ и 1 ° б 1 1 / бб,.-Ъ;... = —,( —,!. бь — г~, бббб (и + аг) 4аг зЬ~ аи предполагая, что ни один из знаменателей в з, и з, не обращается в нуль. а) Полагая в формуле (17) ъ- 1ал, получаем 1 2аб с1к 1агг = — 1с1Ь агг = — — — — 21, аи и откуда вытекает формула (20). в) Формула (21) получается из (20) дифференцированием по а. Ц 3. Разложение целой функции в бесконечное произведение. Известно, что всякий многочлен п-й степени Р„(ъ) можно представить в виде произведения Р„(ъ) = А(ъ — ъ )(ъ — ъ)...
(ъ — ъ„) = АЦ (ъ — ъг), (22) и 1 где ъ„ъ„.. „ъ„— корни этого многочлена (среди них могут быть и кратные). Формулу (22) можно обобщить (при некоторых условиях) на целые функции. Интерес представляет лишь случай, когда целая функция /(ъ) имеет счетное число нулей. Действительно, если целая функция Яъ) отлична от нуля во всей комплексной плоскости, то функция Р(ъ)=1п/(ъ), где взята одна нз регулярных ветвей логарифма (пример 6 $24), является целой, причем Г(ъ) =/'(ъ)//(ъ), откуда /(ъ) е '*'. (23) 262 Гл.
ч. теОРия Вычетов и ее ИРиложения 1(г) = ег«О П (г — а»)"», »=« (24) где г"(г) — некоторая целая функция. Пусть целая функция ~(г) имеет бесконечное число нулей; попытаемся обобщить формулу (24) на этот случай. Вместо конечных произведений в этом случае возникают бесконечные произведения. Поэтому нам потребуются некоторые сведения о бесконечных произведениях (см. Щ, (11)). О п р е д е л е н и е 2.
Бесконечное проиаведение П (1 + а») называется сходящимся, если все его множители отличны от нуля и существует конечный и отличный от нуля предел А по» следовательности А = Д (1+ а») »=« Отметим, что необходимым н достаточным условием сходи- мости бесконечного произведения (25) является сходимость ряда ~ч'., )в(1+ а»), » « (26) где — я < агК(1+а»)<.тс, ««1, 2, ... О п р е д е л е н и е 3. Бесконечное произведение (25) называется абсолютно сходящимся, если ряд (26) сходится абсолютно. Можно показать, что абсолютная сходимость бесконечного СО произведения (25) равносильна сходимости ряда 3 ) а»~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
