1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 42
Текст из файла (страница 42)
а е в-«~ е Переходя в (15) к пределу при р — О, Л-, получаем 2еХ— — ел=О, откуда Х=л/2. П П р и м е р 6. Вычислим интеграл 1= ), е)х (а>0, р>0). е я в е'~ е 9 Я / х е е ~ез~ Рассмотрим интеграл 1р,в = ) ', ' Из, где Ге — кон"р,в тур, указанный на рис. 7(. Этот интеграл равен нулю в силу теоремы Коши. С другой стороны, он равен сумме иятегралов, взятых по С„С, ( — Л, — р), (р, Л). Для подынтегральной функции /(з) (е' * — е'е')/з' точка 2=0 является простым полюсом и гез /(з) = 2(а — ))). Как и в примере 5, можно показать, «=е что интеграл по С, стремится к я(и — р) при р- О, а интеграл ио С стремится к нулю при Л вЂ” .
Далее, сумма интегралов по отрезкам равна гл. у. ТИОРия Вычетов и ее пРилОжения Переходя в равенстве . 2) "* *Нх+л(а — р) + ео(р) + е,(В) =0 х о (е,- 0 при р- 0; е,— 0 при В- ) и пределу при р- О, В- о, получаем 21+я(а — р)=0, откуда 1 = — (р — а). Д Пример 7. Вычислим интегралы Френеля ОО Фх 1,=) совхозах, 1,=) зшх'ох. о о )е дг о~ о — в' О~Р 4А (1 — е ")-о'О о (В -+ оо). ов оо о Далее, если гы1, то г=ге*"~', так что е =е '. Поэтому ') е" ог = — е ' ) е " Й. Иэ курса математического анализа [9) известно, что е ох= —.
— х )'х 2 о Переходя в равенстве (16) к пределу при В-, получаем ОЭ ох~о ~~к 2 о Рассмотрим контур Г, указанный на рис. 70 (и = 4). Так как о о функция е регулярна внутри Го, то в ~ е Иг=) е Нх+ ) е" дг+)е" йг=О. (16) гв о св „о Оценим интеграл 4) е й. ПригыСонмеемг Ве",0<у<я/4, так что ~е'*'~ =е """'о~(е о" жо в силу неравенства зш2<р> Ро 4~р/я (О < <р < я/4) . Следовательно, 5 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 237 Отделяя в равенстве (17) действительные н мнимые части, на- ходим искомые интегралы: созх Ах=) зшх Йх= —. () ( . 9 ~/2в 4 00 4. Интегралы вида 1= ) х" 'В(х) дх.
Рассмотрим интегралы е вида 1= ') х ~В(х)Нх. (18) е Здесь и — нецелое *) действительное число, В(х) — рациональная функция. Интеграл (18) есть преобразование Меллнна функции В(х). Зто преобразование применяется в математической физике и в аналитической теории чисел. Интеграл (18) сходится в том и только в том случае, когда функция В(з) не имеет полюсов на полуоси (О, +е ) н 11ш 1 з !"Л (з) = О, 11ш ( з !"В (г) = О. (19) е- е Можно считать, что точка 9 = 0 не является ни нулем, ни полюсом функции В(з). При таком предположении относительно поведения В(з) в нуле первое иа условий (19) имеет место в том и только в том случае, когда и> О. Обратимся ко второму из условий (19).
Заметим, что для функции Л(з) справедлива асимптотическая формула Л(г)-А/з' (з-, А тьО, й — целое), (20) н, следовательно, второе условие (19) выполняется тогда и только тогда, когда й — а ) О. Таким образом, интеграл (18), где Л(з) — рациональная функция, не имеющая полюсов на действительной полуоси [О, + ) и такая, что Л(0)тьО, сходится тогда и только тогда, когда 0 ( а ( й, где й определяется из асимптотической формулы (20). Из этих условий следует, что В(г)- Опрн г- е. Чтобы воспользоваться теорией вычетов при вычислении интеграла (18), продолжим аналитически подынтегральную функ'цию в комплексную плоскость. Пусть 1) — плоскость с раарезом (О, + ).
Выделим в области Р регулярную ветвь Ь(з) функции г -', положительную на верхнем берегу разреза; обозначим эту ветвь символом з ', так что й(з)'= з' '. е) Метод вычисления интеграла (27) ври целом а Изложен в и. 6. гл. ч. Теогия ВычетОВ и ее пРилОжения В области е) имеем г ге'е, где г= [з[, ер = агяг, 0 «р ~ 2я и, следовательно, Ь(г)е з '=(ге'е) '=г" 'еч" '", О~~р<2п.
На верхнем берегу разреза ер = О, так что Ь(х+10) Ь(х)=х' '>О (х>0). Если же точка г лежит на нижнем берегу разреза, т. е. =х =х — 20 (х>0), то <р=2я и Ь(х — 10) Ь(х)=х 'еа"'" " или Ь(х) = Ь(х)ео"', Ь(х) > 0 (х > 0). Обозначим )(г)=Ь(з)В(г)=г' 'В(г). Тогда 1(х)=Ь(х)В(х) и дх) еке ~(х). (2Ц Покажем, что для интеграла (18) имеет место формула ~= '",',.„Х- (:-'В()), (22) 1 — реева ез где сумма берется по всем полюсам функции В(з)'. Рассмотрим контур Г, з (рис.
72), состоящий из окружностей С,: [г[ =р, Сьс Ь[ =В и отрезков [р, В), [В, р[, лежащих соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза. Пусть В > 0 настолько велико, а р > 0 настолько мало, что внутри контура Г,в лежат все полюсы функции В(з). По теореме о вычетах ер в = ) 7 (3) е(з = гр,в = 2пе ч гез(з 'В(з)), (23) е=еь Рза 72 где сумма берется по всем полюсам функции В(з). С другой стороны, интеграл У, „представляется в виде суммы четырех интегралов в р Хр в = ~ у'(х) ох + ) / (х) ох + ~ /(з) еЬ + ) ~(з) еез.
(24) р в ср св Покажем, что интегралы по С, и Сз стремятся к нулю при р - 0 и В - . Это утверждение вытекает из следующей леммы: 5 29. Вычисление опведеленных интетРалов 239 Лемма 3. Пусть М(р) = шах !/(2) !, где С вЂ” окружность хм ср (г! =р. Если рМ(р)- О при р- О и ВМ(В)- О при В- р, то ~ /(г) лг-+О (р-1-0), ор ~ /(г) 1(г-~ О ( — оо).
ол Доказательство. Эти соотношения вытекают из следую- щей оценки интеграла: ! ! И*|а!Кх1Х ~.~. о, Для интегралов по С, и Са в (24) условия леммы 3 выполне- ны. Действительно, М (р) = шах ~ г" 'В (г) ~ = р' ' шах !В (г) !, пяор хяор и из (19) следует, что р" пшх!В(г)!-1-0 при р- О и поэтому хи ср рМ(р)- О при р- О. Аналогично доказывается, что ВМ(В)- О при В- р. Переходя в равенстве (23) к пределу при р — О,  — и используя соотношение (21),получаем / — ем""1 = 2л1,'У', геа (г" 'В(г)), 1=1ь откуда вытекает формула (22). Пример 8. Вычислим интеграл О хй — 1 1= ~ — "~ 1/г, О 'и~1.
(25) р Здесь В(г)=1/(г+1), !г!"!В(г)! -1/!г!' — О при г- р, так как сс(1. Далее, !г!"!В(г)! — !г!"- О при г- О, так как а~О. Таким образом, условия (19) выполнены, и по формуле (22) получаем Х=,, гез /(г), т — е11ХХ где /(г) = г — 1/(г + 1). Далее, гез /(г) = г"-1!,, ея -Ик, так *=-1 как 19 = (агд г),, = л. Итак, гез /(г) = — е1"Р, откуда находим .=-1 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 240 Замечание 3. Рассмотрим интеграл (25) нак функцию от параметра а: 1 *1(а).
Этот интеграл сходится равномерно при е (а( 1 — е, где е >О, так что функция 1(а) непрерывна при 0(а( $ и имеет место формула (26). Правая часть формулы (26) регулярна во всей комплексной плоскости а с выколотыми точками О, ~1, ~2, ...
Следовательно, формула (26) дает аналитическое продолжение интеграла (25) с интервала (О, 1) в комплексную плоскость а с выколотыми точками О, ~$, ~2, ... Пример 9. Вычислим интеграл ее „а — 1 1= ! *, е)х, ОСа<4. е (1+а ) е Здесь Я(г) = —,, !г!")1е(г)! - 1/(г!' — 0 при г-, так = (1+")'* как а -4; )г! (В(г)! )г(а- 0 при г- О, так как а>0. Условия (19) выполнены, и по формуле (22)' получаем 1=,, !гез/(г)+ гег /(г)~, е=-1 где /(г) = г"-'Л(г).
Функция Л(г) имеет полюсы второго порядка в точках 1 и — й По формуле (8) з 28 находим а 1 е е ( (е+е) е е газ/(г) = Напомним формулу для производной степенной функции (г 22): (г') ' = рге/г. Используя эту формулу, получаем гее/(г) = (га '(г+ 1)-е! — 2(г+ 1) ~11 1=1 1)е=1 где (г" '),=е = ела """. Следовательно, геа/(г) = ек" плие = — е' м.
Аналогично находим гег/(г) = — екеп)а а — 2 2 — $ 4 Окончательно получаем 2ле а — 2 е... 4 (е'"'"+е'"' ) = ееел — е еел ) 1 2 — а ецл)е)а+ е Кл)е)а л (2 — а) еоз)ал/2) 21 / 2 Г 2 2 зал ал л (2 — а) или 1 = 4г)л л/2 Д 5 29. Вычислеа!ие ОНРеделенных интеГРАлОВ 241 а х 5. Интегралы типа бета-функции « = ) ~ ) «а(х) аах. о Рассмотрим интегралы типа бета-функции а «=~( —,*,) Л()б. о Здесь а — действительное нецелое*) число, Л(х) — рациональная функция.
Будем предполагать, что функция В(г) не имеет полюсов на отреаке (О, 1) и выполняется условие — 1(а( г .с 1. Тогда интеграл (27) сходится. Заметим, что интеграл (27) заменой х/(1 — х) = у сводится к интегралу вида (18) . Однако во многих Рис, 73 случаях более удобно непосредственно применить теорию вычетов для вычисления интеграла (27). Для применения теории вычетов продолжим аналитически подынтегральную функцию в комплексную плоскость. Пусть «а — плоскость г с разрезом по отрезку (О, 1] (рис,73).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
