1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Выделим в атой области регулярную ветвь Ь (г) функции (, ,~ аа —,/, положительную на верхнем берегу разрееа. Если г= =- х+ 20 (О( х ~ 1) — точка верхнего берега разреза, то (27) аа Ь( + Ю) =Ь( ) =( —,~ ~О (О ~ х ~ 1). Найдем Ь(х)= Ь(х — Ю), 0(х( 1, где х =х — Ю вЂ” точка нижнего берега разрееа. Имеем (ср. пример 16 1 24) Ь (г) = ~ — ~ е'а(еа "а), 1 — и где ар, = Ьа агя г, ара =- Ла агя(г — 1); 7 — кривая, соединяющая точку верхнего берега разреза с точкой гж«) (рис. 73). Если г=У=х — 20 (0(хс1), то ар, 2п, ар,=О и аа Ь (Х) Еааоа ( * / аи"аЬ (Х) а1 — х Обозначим «(г) Ь(г)«7(г). Тогда «(х — Ю) = еа"'Цх+ 20)', или «(у) еа" «(х), где «(х) совпадает с подынтегральной фуякцией в (27)'. е) Метод вычисления ннтеграаа (18) ерн целом а изложен в я.
8. 18 ю, в. сидоров и др. 1 гз. Вычисление ОпРеделенных интегРАлов 245 где Ь( — 2) = ~' — е ', <р = л. Следовательно, й( — 2) = Г 3 «(-1/2)х = — <Ух<2 и гев 7'(г) = — 1<<(4 у'6). Отсюда находим, что 1 = «=-2 = л<<(4У6). [ ( Пример 12. Вычислим интеграл 1 « 1= )' (1 — х)(1 + х)2 2 1+х — 1 Выделим в плоскости с разрезом по отрезку [ — 1, 1) регулярную 1/ ветвь функции [(1 — г) (1 + г)2) ', положительную на верхнем берегу разреза; обозначим эту ветвь Ь(г), так что Ь(х+ 10) = =Ь(х) = Р' (1 — х)(1-)-х)2 ) О, — 1<х<1.
Тогда и 2 . у -ж у', Ь(х) =й(х — 10) =е' )4 )сй(х) = — <Ь(х) — значе- -7 ' «ж<) л г ние функции Ь(г) на и ' ф х нижнем берегу разреза ($24,пример 16). Обозначим Л (г) = 1 ч' — 1(г) Ь(г)1<(г) 1+х Рис. 75 и рассмотрим контур Г (рис. 75), состоящий из отрезков [ — 1, 1] и [1, — 1), лежащих соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза. По твореме о вычетах (теорема 2 $28) 1 — 1 1(х) <«х+ ) 1(х) <(х = 2л« ('гев1(г) + гев 1(г) + гвв 1(г)), <2=« 2=« ~с — 1 1 где ((х)= — <1(х). Найдем вычеты. Здесь гев 7(г) = [ — [ < Ь (х) 1 Для нахождения значений степеннбй функции Ь(г) в точках 1 и — «нужно вычислить <р<~) =йть агя(г — 1) и <р<~>= Ар„ага(г+ 1), где 7, (Ь= 1, 2) — кривые, соединяющие точку 0+ 10 с точками 1 и — < соответственно (рис.
75). Имеем «1) <«)1 й(1) (Ь(1) (е<«<2)(х, ч-гхг ) где [й (1) [ = )Г2, <р<') = — л/4, <р<О = л<4 (рис. 75), Ь (1) = у'2 е'"<2 и гвв1(г) = — — е«и/в. 2=« ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ / (2) (2) 1 Аналогично, Ь( — 1) = г' 2е< ~~~(~1 ~~2 ) = 'г/2е""м)з (рис. 75) и гез /(г) = — — е«2)в)". г= — < вв/2 Найдем вычет в точке г = . Имеем «1( ) /,р(а) Еа,р(а) ) где Ь,(оо) =е( "( ' 2 ), <р<а) = Ар агд(г — 1), <о<а) =А агя(г+ +1), 7,— кривая соединяющая точку О+Ю с точкой х,)1 (рис. 75). Здесь <р(а) = — л, (о<а) = О, Следовательно, Ь,( ) = = Е-«грв) И Ь(г) = е 1<а)в)~г+ — + ...). 1 2 Далее, В(г) = откуда — 2 — — + ..., / (г) = — Ь (г) В (г) = е — 1")в ~ — + †, + ...
), 1 1 ) 1 1 2 г 22 гез /(г) = — е — <"<г. Окончательно получаем 1)/ У211(ем<в 1 еввг)в У2еыи) откуда 1 = я 'г'2( )/2соз — — 1) в 1 Пример 13. Вычислим интеграл /= ) <(х. Пусть ( )/г (1 — х) (1 + *)' ' 1), Ь(г) — регулярная ветвь функции (г(1 — г)'] ~в в плоскости с раз- резом [О, 1], принимающая полон<ительные значения на верхнем берегу разреза, т.
е. Ь(х+ Ю) = Ь(х) = (х(1 — х)') )О, 0(х~ а 14 ( 1. Тогда Ь(х — 10)=Ь(х)= 1Ь(х). Обозначим /(г)=Ь(г)В(г), где В(г) = 1/(1+ г)'. Имеем /(х) = /(х — Ю) = 1/(х). По теореме о вычетах 1 о ) / (х) <<х + ) /(х) г<х = (1 — 1) 1 = 2л( ( гез / (г) + гез / (г)). о 1 2=( > Найдем вычеты. Так как точка г= является нулем второго порядка для функции /(г) (В(г)- 1/г', Ь(г)-Аг, г- ), то гез /(г) = О. Ь, (г) = — = Ь, (оо) ((1 — — ) ( 1+ — ) =Ь,( ) (1+ — „' + ...), з 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ Интктгалеа Е47 Точка 2 = — 1 является полюсом третьего порядка для Х(2) и в силу формулы (8) 2 28 имеем гез Х(2) = — Ь" ( — 1), где й" ( — 1) = — 3 8 и'е*'"" (2 24, пример 25), т. е.
геа Х(2) = — — 8 ™е™~~. т= — Ъ 2 Окончательно получаем е *""Х= — ЗЛ8 Н*1е™', откуда Х == Зя 7 '2Х64. 6. Интегралы вида Х =- ) ха — г(1пх) В(х)дх. Рассмотрим ино тегралы вида Х ) х (1п х) В(х) ох. (32) о Здесь а — действительное число, т ~ 1 — целое, В (2) — рацио- нальная функция. Будем предполагать, что функция В(х) удо- влетворяет тем же условиям, что н в п. 4.
Тогда интеграл (32) сходится в том и только в том случае, когда выполняется условие (19), так как множитель 1п" х не влияет на сходимость. Заметим, что интеграл (32) можно получить из интеграла (18) дифференцированием по параметру а. Действительно, " 'В( )д =1 " '1 хВ( )г(х. аа,> о Дифференцируя (18) т раа по и, получаем (32). Однако интеграл (32) моягно вычислить непосредственно с помощью вычетов. Пусть  — плоскость с разрезом [О, + ), й(2)= г"-' — регулярная ветвь функции 2"-' в области Р (п. 4), положительная на верхнем берегу разреза. Фиксируем регуляр- ную ветвь логарифма, принимающую действительнь1е значения на верхнем берегу разреза; обозначим ее 1пз.
Тогда в области Х7 1пг=1п~й+1агяз, 0(агах(2п. На верхнем берегу разреза 2 = х + Ю (х ) О), агя 2 = 0 и 1п (х + Ю) = 1В х. На нижнем берегу раареза 2 =х — 10=х (х)0), агяз 2я н 1п(х — Ю)-1пх 1пх+12я. Обозначим У(2) = Ь(2) (1п2) В(2) 2'-'(1пз)" В(2); тогда Х(х+ + Ю) = 1(х) = х" '(1пх) "В(х) — подынтегральная функция в ГЛ. М ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (32), а ~(х — 10)=1(х)= си"их" '(1пх+ 2Л1) Л(х) — значение функции 1(з) на нижнем берегу разреза. Рассмотрим интеграл ~РВ= ] й)дх, (ззр г „ где Г,, — контур, укаэанный на рис. 72. Пусть выполнено условие (19).
Тогда в силу леммы 3 интегралы по С, и С, стремятся к нулю при Л вЂ”, р — О. Как и в и. 4, имеем ОО ~ (1(х) — 1(х)] ях = 2Я1~ геа 1(г), (34) в з за где вычеты берутся по всем полюсам рациональйой функции Л(г). Рассмотрим два воаможных случая. $, Число а — нецелое. Тогда левая часть (34) содержит 7(1 — е"""), а также (при гл ) 1) интегралы вида ] х~ '(1вх)* Х о ХЛ(х)йх,где 0~ а(и — 1. В частности, при и=1 из (34) имеем Яи п (1 — ем ") Х вЂ” 2л]еи"" ) х" 'Л (х) Ых = 2Я1 ~ч", гез (х" 'Л (г) 1п г), й 1 и=гь (35) где г„з„..., з„— все полюсы функции Л(з).
Иэ равенства (35) можно найти интеграл 1, а также интеграл ] х" 'В (х) Их. е 2. Число а — целое. Тогда интеграл (32) имеет вид 1 = ) (1пх) Л(х) дх, о где Л(х) — рациональная функция. В этом случае в качестве подынтегральной функции в (ЗЗ) нужно взять (1В г) "+'Л(з), а не (1ва)"Л(х). Действительно, если 1(г)=(1пг)иЛ(х), то ~(х) =(1пх) "Л(х), 1(х) = (1В х+ 2я1) "Л(х) и формула (34) не позволяет найти искомый интеграл.
Однако, если функция Л(г) является четной, то при вычислении интеграла (36) с помощью вычетов в качестве подынтегральной функции можно взять 1(г) (1пх)"Л(з); контур интегрирования в этом случае есть контур Г,, укаэанный на рис. 71 (см. ниже пример 15).
в 29. Вычисление ОпРеделенных интегралов 24 о ы Ва Пример 14, Вычислим интеграл 7 = ) х ' 1пх — ' —. (*+1)' ' Условия (19) выполнены (а= 1/2, й=2) и по формуле (35) получаем 21 + 2л( ~ о(х = 2л1 гев 1(в). (а+ 1) о (37) Так как точка в = -1 является полюсом второго порядка, то — о гев 1(в) = (в '1пв),=, = ) — — ) 1пв+ — в — ~/ где 1г о),=, = е-'а~о = — 1, (1п в),, = (л. Следовательно, гев 1(в) = — + 1.
г=-о Приравнивая в (37) действительные и мнимые части, находим /2 л 1= — л, ~ о о(х=- —. Г) (а + 1) о Пример 15. Вычислим интеграл ) а+а о Пусть Г, — контур, укаэанный на рис. 71. Рассмотрим ин- теграл Хр в = ) 1(в) Ыв = 2л( гев 7(в), г р,в о=$а )по где 7(в) =,, — регулярная ветвь логарифма, принимающая о +а действительные вначеняя при г = х~О. Интегралы по полуокруокностям С, и Со стремятся к нулю при р О, Л-, так как фв)) <М,!1ПР) (выС,), )1(в)) <Мо — п(во= Св).
Здесь гев 7(г) = ( — ! / 1п о т 1п а + 1л/2 . Переходя к пределу при р -о- О, Оа 2о ~о оа 2а1 Л-о-оо, и учитывая, что о са ((х) с1х = " Ых = 1+ (л " / а+а l а +а Ю о о ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ получаем 21+ 1л ) з з = — ~1па+ 1 — ), откуда аз л Г п~ аз+аз а 1 2)' о з = — 1па. [~, 2а Метод, изложенный в и. 6, позволяет вычислять интегралы вида ь / —.Я1 ( —,* ')1 В()8, а (38) 1 = — ~ гез /(з), о=1 з=гд где з,= е"'"""*", Ь=1, 2, 3. Так как точка з, — полюс второго 1пз порядка для функции 1(г) з,з...з, то з (Ззз (зз + зз)1 1п зз з (з — з )з (з — з )з (з , )з (з з )з где а, Ь вЂ” действительные числа (а(Ь), во ~Π— целое. Пусть в (38) т=О, а =О, Ь = аз.
Тогда интеграл (38) примет вид з = ~ Л(х) Их, где Л(х) — рациональная функция, удово летворяющая условиям и. 4. Если В(х) — четная функция, то Г Х = — ) Л(х)дх, и для вычисления интеграла применим метод, = 2 .) указанный в и. 2. Пусть фуньция Л(х) не является четной. Тогда нужно рассмотреть интеграл /р в — — ) 1п зЛ(з) дз, где Го „вЂ” контур, укагр в ванный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
