1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 44
Текст из файла (страница 44)
72, а 1п з — регулярная ветвь логарифма. яз П р и м е р 16. Вычислим интеграл / = ~ —,, Здесь , ("+1) Л(г)= 1/(з'+1)', /(з)=1пз ° В(з), Дх)=(1пх)/(х'+ 1)', Дх) = /(х)+2Л1/(х'+1)' и в силу формулы (34) имеем 5 29. Вычисление СЛРеделенных интегРАлов 2И В заключение отметим, что другие 'типы интегралов, которые вычисляются с помощью вычетов, мояьно найти в [10), [16). Приведем пример такого интеграла.
Пример 17. Вычислим интеграл ) е — '"'созЬхйх, а)0. Пусть Га — граница прямоугольника с вершинами в точках ь. ь г,= — Л г,= — Л+ —,ь, г,=Л+ — ь, г =Л, 9 2а ' г 2а где Л) О. Рассмотрим функцию ((г) = е, г = х + ьу. По интегральной теореме Коши е '*аз=О.
гв (39) На отрезках [г„гД и [ге г,] имеем ьг хв2+ [~()[= (в 9) е а Следовательно, интегралы от ((г) по этим отрезкам стремятся к нулю при Л -~ х~, Если г ш [г„г,), то ь' — х[х+Ь— — 1ьх 1 (г) = е = ~ (х) е Используя формулы 1пгг ль',(г,— г,)(г,— г) = (г'+ 1), 9 9 = Зг„г, = — 1, г, + гг + г, = О, получаем 9 х = гг б яь Аяалогично учитывая, что 1пг, — З 'л$, 1пг,= — ', получаем г,! 19 гез 1(г) = — 9~1 — — ль'[, гез ((г) = — 9~1 — — ль). к=я 9 ~ З,[ х х Окончательно находим Обратимся к интегралу (38).
Этот интеграл заменой переменной (х — а)/(Ь вЂ” х) = у преобразуется к виду 1 =- ~ Л(х) 1п~х~[х. о гл. ч. теОРия ВычетОВ и ее пРиложения 252 и равенство (39) можно записать в виде в ь' в ) е- бх — е" ~ е — -" дх+ а(Л) =О, (40) где а(Л)- 0 при Я- сь. Так как СО ) е — с(х = — ) е-' А = у' —, 0 то, переходя к пределу в равенстве (40) и выделяя действительные части, получаем ь' е-'" соз Ьх с(х = —, 1~~ е г~.
( ) о 5 30, Принцип аргумента и теорема Руше где У вЂ” число нулей, Р— число полюсов функции !'(х) в области Х). При этом каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — столько раз, какое его порядок. Доказательство. Заметим, что функция Яг) может иметь в области Ю лишь конечное число полюсов, так как в противном случае существовала бы в области 6 предельная точка полюсов (неизолированная особая точка).
Число нулей функции ((г) в области Р также конечно. Действительно, если число нулей бесконечно, то существует предельная точка нулей функции /(г), лежащая в области С и, следовательно, /(г) 0 в П по теореме единственности. Особыми точками подынтегральной функции Е(х) = ~'(г)/у(х) являются лишь нули и полюсы ~(г), и по теореме о вычетах (т 28) левая часть (1) равна сумме вычетов, взятых по всем нулям и полюсам функции !(г), лежащим в области Т).
Пусть г =а — нуль функции ((г) кратности и. Тогда ~(х) (х — а) "у(х)', 1. Принцип аргумента. Теорема 1. Пусть функция )(г) регулярна в области С, за исключением, быть может, полюсов, и пусть Ю вЂ” ограничен- ная односвягная область, лежащая в области 6 вместе со своей границей Г. Если функция ~(г) не имеет на Г ни нулей, ни полюсов, то —, "— аг = !т" — Р, ( (' р (г) 2яг.! т' (г) (1) г' 9 30. пРннцип АРгументА и теоРБМА Руже 2ЬЗ где у(г) — функция, регулярная в точке а, у(а)чьО. Следователь- но, Р(г) .= — = — + —, откуда находим гез Р(г) = и, Р (з) к г' (з) 1(з) з — а е (з) ' т. е.
вычет фуккции Р(г) в точке г =а, являющейся нулем ((г), равен кратности етого нуля. Аналогично, если г= Ь вЂ” полюс функции 1(г) порядка р, то з (г) = (г — Ь) зп(г), где Ь(г) — функция, регулярная в точке г= Ь, Ь(Ь) ФО. Отсюда получаем Р(г) = — +— — р А'(з) з — Ь А(з) ' я, следовательно, газ Р(г) = — р, т.
е. вычет функции Р(г) в *-ь точке г = Ь, являющейся полюсом )(г)„равен порядку этого полюса, взятому с обратным знаком. Таким образом, левая часть (1) равна разкости между суммой кратностей нулей и суммой порядков полюсов функции ) (г), и формула (1) доказана. Замечание 1.
Формула (1) остается в силе и для неодносвязной области. Следствие. При условиях теоремы 1 формулу (1) можно записать так: — Лгал)'(г) = Х вЂ” Р. 1 2а Здесь Л„агя1(г) — приращение аргумента Функции 1(г) при обходе кривой Г в положительном направлении. Доказательство. По условию функция ) (г) регулярна в окрестности кривой Г и )'(г)чьО на Г. Следовательно, ((г)т=О в некоторой окрестности кривой Г, и в этой окрестности можно выделить аналитическую ветвь функции 1п1(г) . Так как [1Е1(г)]' =~'(г)//(г), то 1 Г Р(з) 1 2з(,) 1 [з) ' 2и(,) — Ыг = —.
) а (1Е ) (г)) = — Лг 1п ) (г), 2а( (3) г г где Лг1Е)(г) — приращение (изменение) функции 1е)(г) при об- ходе точкой г замкнутого контура Г в положительном направ- лении. 11о 1п1(г) = 1п (](г) ]+1агб~(г), где 1п (1(г) ! — однознач- ная функция, и поэтому Л,1в ]1(г) ! = О. Следовательно, Лг1Е((г) = 1Лг агу~(г), и из формулы (3) получаем — — аг = — Лг аге 1' (г), 1 ГР(з) 1 2я1.] ) (з) 2и г откуда в силу (1) вытекает формула '(2)'. гл.
ч. ТЕОРия ВычетОВ и ек ПРиложкния Равенство (2) известно под названием принципа аргумента. Согласно формуле (2) разность между числом нулей и числом полюсов функции 1(г) внутри контура Г равняется изменению аргумента этой функции при обходе контура Г„деленному на 2я (при условии, что функция 1'(г) регулярна внутри контура Г и на Г, за исключением конечного числа полюсов, и не обращается в нуль на Г). Замечание 2. Формула (2) остается в силе и для случая, когда функция )(г) регулярна в области Р, за исключением конечного числа полюсов, н непрерывна вплоть до границы Г атой области.
В частности, если функция 1(х) не имеет полюсов в области Р (Р = О), то формула (2) принимает вид — Агагд г(г) = Ю. 1 2я (4) Рвс. 76 Теорема 2 (теорема Руже). Пусть функции 1(г) и у(г) регулярны в ограниченной односвязной области Р и на ее границе Г и пусть для всех г~яГ имеет место неравенство ~~(г)! ) !у(х) !. (б) Тогда функции ~(г) и г"(г)=~(г)+д(г) имеют в области Р одинаковое число нулей. Выясним геометрический смысл агату((г).
Пусть Г' — образ кривой Г (рис. 76) при отображении и ~(г). При полном обходе замкнутого контура Г точкой г соответствующая точка описывает на плоскости и замкнутый контур Г'. Изменение аргумента функции 1(г) на контуре Г определяется числом полных оборотов, которые совершает вектор ю при движении точки ю по замкнутому контуру Г'. Если вектор и> не делает ни одного поляого оборота вокруг точки ю= О, то Лг агй!(Х)=0. 2. 'Георема Руше, При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется следующая $ 30. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ТЕОРЕМА РУШЕ 2зь Доказательство.
В силу условия (5) 7(х)ФО для всех г~нГ. Кроме того, г'(х)ФО на Г, так как (г'(г)! ~ !7(х)!— — (д(г) ! ) О. Пусть Ж; и )У, — число нулей в области Т) функций )г(г) и 7'(х) соответственно. По формуле (4) имеем 2и Лг ага Р(г). ( (6) Поскольку )(г)ФО на Г,. то при гы Г из равенства Г (г) =- ( (г) + е (г) = 1(г) [1 + ~ следует, что Лг агл г' (х) = Лг агб ( (г) + Лг агд (1 + —,(.
е (г) ) г() l' Покажем, что второе слагаемое в правой части (7) равно нулю. Действительно, при обходе точкой г замкнутого контура Г точка ю= 1+д(г)I~(г) описывает замкнутую кривую Г" (рис, 77), лежащую внутри круга (и — 1! ( 1, так как при г~н Г в силу (5) имеем С) [ю — 1! [6(х)/~(г) ! (1. Следовательно, вектор и, конец которого движется по кривой Г, не совершает ни одного полного оборота вокруг точки ю = 0 и поэтому Лг агя(1+ д(г)/Цх)) = О. Таким образом, из (6) и (7) следует, что Л~г=)УР /" Пример 1. Найдем число корней уравнения х' — бг'+ Зг — 1 = О Рис.
77 внутри круга (г! < 1. Обозначим )'(г)= — бг', д(х) = гг+ Зг — 1. Если ею Г, где Г: (х! =1, то (7(г) ! = — 6, (а'(г) ! ( [г!'+3(г(+1=5, откуда !)(х) ! ) )д(х) ! нри гю Г. По теореме Руша число корней исходного уравнения в круге (г! ( 1 совпадает с числом корней уравнения )(г) = — бг' = 0 в этом круге, т. е. равно 4. Пример 2. Докажем, что уравнение г+Л вЂ” е*=О, Л)1 (8) имеет в левой полуплоскости (Кег ( 0) единственный (и притом действительный) корень. Рассмотрим замкнутый контур, составленный из дуги полу- окружности Си. '(г! =Л, Кег ~ 0 и отрезка й [ — И, (Л). Положим Цг) г+Л, «(г)= — е'. На отрезке 1 имеем !)(г) ! =(Л+Э! ~ Р-Л~1, [6(г)! !е'"! =1. На полуокружности С„при Л)Л+1 Гл. ч.
теовия ВычетОВ и ее пРилОжения имеем | | (г) ! «! г | — Х = Л вЂ” Х «1, ! у (г) | = (е"+'"| = е* < 1, так как х ~ О. В силу теоремы Руше число корней уравнения (8) в области Ы ( Л, Ве г ~ О при любом Л «Х+ 1 равно числу корней уравнения г+ 1 = О, т. е. равно 1. Отсюда следует, что и во всей левой полуплоскостн уравнение (8) имеет ровно один корень. Зтот корень является действительным, так как левая часть уравнения (8) положительна (равна Х вЂ” 1) при г = х = О и стремится к — при х — . Г) Замечание 3.
Теорема Руше остается в силе, если при сохранении остальных условий теоремы 2 заменить условие регулярности функций 1(г) н д(г) на границе Г области Ю условием непрерывности этих функций вплоть до границы этой области. Теорема Руше позволяет получить простое доказательство основной теоремы высшей алгебры (ср. э 19). Теорема 3 (основная теорема высшей алгебры). Многочлен и-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно и нулей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
