1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1И 2 з з 29. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов Теоремы о вычетах позволяют сводить вычисление интегралов от комплексных функций по замкнутому контуру к нахождению вычетов подынтегралькой функции внутри контура.
Тем Я1е способом могут быть вычислены и многие определенные интегралы от функций действительного переменного. Во многих случаях удается достаточно просто находить с помощью вычетов определенные интегралы в случаях, когда применение методов математического анализа оказывается не эффективным. В частности, если все особые точки подынтегралъной функции, лежащие внутри контура интегрирования, являются полюсами, то вычисление вычетов в этих точках сводится к вычислению производных. Следовательно, в этом случае вычисление интеграла сводится к нахождению производных. 1.
Интегралы вида 1 = ) В (соз ~р, з1п ~р) д~р. К интегралам по о замкнутому контуру сводятся интегралы вида 1=- ( В(соз ~р, з(п ~р) Й~р, (1) о где В(и, и) — рациональная функция от и, и. Пусть з = е". Тогда / 1( 11 .~й з(п <р = —. ~з — — 1, соз ~р =- —, ~з + — ), йр = — ~ —. рп (, о)' з~ о)' При измененни ф от 0 до 2л переменная г пробегает окружность ! г ~ 1 в положительном направлении. Интеграл (1) сводится к интегралу по замкнутому контуру 1= ) В, (з) дз, Щ=1 где Вг(з) = — — В~ — ~з+ — ), —,~з — — ~ — рациональяая функг (2 ~ о/' 2ю~ о~~ 5 зг. Вычислении опгвдвлннных интяггллов 229 ция от г. По теореме о вычетах а 1 = 2п1~ч'„', гев В,(г), ь г ж=гь где г„г„..., х„— все полюсы рациональной функции В,(г), лежащие в круге [г! (1. П ример 1, Делая в интеграле Х= ' з, [а[(1, 1 — 2а саз и + а* о замену переменной г = в", получаем 1= 1аг г а Ф=~ аа — (а + 1) а+ а Уравнение аг' — (а'+ 1)а+а О имеет корни г, = а, г, 1/а.
Так как [а! (1, то в круге [г! ~ 1 лежит лишь точка з, =аполюс первого порядка подынтегральной функции /(г). По формуле (4) 2 27 находим У гез / (г) а з С а а [2аа — (а + 1)) а — 1 и следовательно, г = 2н/(1 — е'). [ ! 2. Интегралы от рациональных функций. Рассмотрим интеграл -к !7 а а х СФ ! В (х) Нх, (2) где В(х) — рациональная функция.
Предполагается, что интеграл (2) сходится. К интегралу (2) нельзя непосредственно применить теорему о вычетах, так как контур интегрирования — бесконечная незамкнутая кривая. Чтобы воспользоваться теоремой о вычетах, введем вспомогательный замкнутый контур Га (рис. 66), состоящий из отрезка [ — В, В) и полуокружности Са ([г! = В, О --= ( агя г ~ л), и рассмотрим интеграл ) В(г) Иг. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма 1. Пусть 4ункция /(х) регулярна в области 1шх-. )О, га исключвнивм конечного числа особых точек, и нспрг- Рл. у. теОРия ВычетОВ и ее пРилОжения 230 рывиа вплоть до границы этой области, Если иитеерал ) ~(х)дх 07 (3) сходится и 1пп ~ ((г) дг = О, с и (4) где С вЂ” полуоерухспость !г! =В, 1шг > О, то ° 0 ) У(х) дх = 2лг ~~.", геэ ((г).
нииг>и и=из ,'(5) В формуле (5) вычеты берутся по всем особым точкам фуикцин ((г), лежащим в верхней полуплоскости. Доказательство. Рассмотрим контур Г, (рис. 69) и выберем В столь большим, чтобы все особые точки функции ((г), леягащие в верхней полуплоскости, находились внутри Ги По теореме о вычетах Е ~ ((г)дг= ~ т(х)дх+ ~ ((г)дг= 2лй ~ 1еэ ~(г). -Е Пнм)о и=из Перейдем В этом равенстве к пределу при В- ~. В силу сходимости интеграла (3) существует я Ю 1ип ) ((х) дх = ) ) (х) дх.
в ш е Ф В(г)-АИ', г- си, 1с>2 — целое, так что !В(г) ! ~с!г! ' при достаточно больших !г!. Тогда иа полуокружности С„выполняется неравенство !В(г) ! -"- :сВ-* и, следовательно, !и~си,)~,и-Ъи о, и св Кроме того, ) /(г)дг-+.О при В- в силу условия (4). Форсе мула (5) доказана. Обратимся теперь к интегралу (2).
Пусть В(г) = Р (г)l IО (г), где Р„(г) и ~1 (г) — многочлены степени и и т соответственно. Из сходимости интеграла (2) вытекает, что а = т — и> ~ 2 и функция В(г) не имеет полюсов на действительной оси. Следовательно, 3 зз. Вычисление ОЛРеделенных интеГРАлОВ 231 Тем самым доказано, что условие (4) выполнено и в силу леммы 1 ) Л(х)дх= 2л1 ~~ гея Л(я). 1ш 41,ма 4=*а (6) Здесь вычеты берутся по всем полюсам функции Л(я), лежащим в верхней полуплоскости. Аналогично доказывается формула Ю ~ Л(х)дх= — 2л1 чз гея Л(я). 1ш 44(0 г=г~, так как внутри Га функия Л(я) имеет только один полюс я,= = еш~""'. Вычет в точке х, равен а аа — 1 зп' а а а'х Пример 2.
Вычислим интеграл 4'= [ а . Так как 1 1 функция Л(з) = 4 — . 4 4 имеет в верхней полу- (44+1)4 (4 64 (4+ 64 плоскости единственный полюс четвертого порядка в точке я = 1, то по формуле (8) 3 28 находим 1 Г 1 Иа) 51 геяЛ(з)= 3 ~ ( = — 33, а 31 [(а + 1)4)4=1 н в силу (6) Х= 2лагеяЛ(я)= м 5л/16.
Г) П р и м е р 3. Вычислим интеграл у 17 ,о х ах где и ) 1 — натураль- Рис. 70 л 1+ аа' а ное число, Уравнение г'"+ 1 = О имеет следующие корни: за = е"'"+о"'", й = О, 1, ..., 2и — 1. Воспользуемся следующим свойством подинтегральной функции: Л (е'"'"я) = Л (я) . Возьмем в качестве контура интегрирования кривую Г (рис. 70), состоящую из отрезка [О, Л[, дуги окружности Са: з=Ле", О~~р(лlи и отрезка й з = ге'"', О ( г ( Л. По теореме о вычетах и ~ Л(з)о1я= ) Л(х) дх+ ~ Л(я)4Ь+ ~ Л(х)<Ь= 2л1 гея Л(з), (7) гв а св *а Гл.
ю 'геОРия вычетов и ее пРиложення Далее, интеграл по отрезку 1 сводится к интегралу по отреаку (О, Л); в в опто ьио 4п/ ! вт Л (г) дг = — ~ В (тео"~") еы~"дт = — е'"~" "— 1-!- то~ ! о о Оценим интеграл по С„. Так как !В(г)! -1/!г!*" (г- ), то ~ В(г) дг-о 0 (Л-, оо). св Переходя в равенстве (7) к пределу при Л-, получаем 2к в1в —, 2о 3. Интегралы вида Т= ) в~~В(х)дх.
Здесь Л(х) — рацнональ- СО ная функция. Интеграл л= ) е" Л(х)ах (8) есть преобразование Фурье функции Л(х). При вычислении интегралов (8) используется Лемма 2 (Жордана). Пусть а .0 и выполнены следуюирие условия; 1) ФУнкциЯ д (г) непРеРывна в области 1ш г ) О, ! г! Ро Ло ) 0; 2) М(Л) = шах ! у(г) !-о.О при В-э-оо, (9) *а с в вде Са — полуокружность !г! =Л, 1шг ~ О. Тсвда 11ш ) у(г) е~'дг = О.
с в (10) Доказательство. Пусть гон С,ь В)Ло. Тогда г Ле", 0 ( ~р < и, аг = оЛе"йр, !Ема! (Ем(ваово+иа!оо>! Е-аав!оо (11)' з)п~р' -~р, 0(<р( —, (12) Так как и= О, то !е"*! «1 (г~нСз). Однако атой оценки не- достаточно для доказательства соотношения (10), Чтобы полу- чить более точную оценку для !е"*! на С„, воспользуемся не- равенством 5 29.
Вьдчислвнив опгвдклинных ннтегРАлов 233 справедливым в силу выпуклости функции здп ф на отрезке (О, и/2). Оценим интеграл 1д — — ) е д(г) <Ь. Используя (11), получаем в и п/о ~1д~(пдах~у(г) ! ~ е ""'шеВддф = 2ЛМ(В) ) е """"еоф, *асв о о откуда в силу (12) находим и/д а ~1д~ 2ЛМ(Л) ) е " ддф=М(В)~ — — )е о =М(Л) и (1 — е а)е и М(Л). Из втой оценки и (9) вытекает (10). Лемма Жордана доказана.
Обратимся теперь к интегралу (8). Зтот интеграл сходится в том и только в том случае, когда на действительной оси нет полюсов функции В(г) и, кроме того, Л(х)- — (х-о-оо), ьро 1 Следовательно, условие (9) выполняется, и в силу леммы Жордана ~ ед"*В(г)дг-э0 (В-~-оо, а)0). По формуле (5) имеем 00 ) е~Л(х)дх=2яд ~о гее(е~Л(г)). (13) дш оь' о о=де Замечание 1. Если а(0, то, заменив контур Г (рис.69) на контур, симметричный с Г относительно действительной оси, получаем формулу ОО ) Л (х) е~д)х = — 2л1 ~ гез [В (г) е~"'1.
ОО гшее(о о=де 3 а м е ч а н и е 2. Если функция В(х) действительна при действительных х и а)0, то, отделяя в формуле (13) действцтельную и мнимую части, получаем 6Ф ) Л(х) соеахдх= — 2п 1ш ~ ~ гее (е'"*В(г))], 00 ~т*е~о д ле (14) Л (х) аги ах д)х = 2н Ве ~ ~~'„' ,гее (еашЛ (г))]. (дшое~ел *„ гл. у. ТНОРИЯ Вычетов и ее пРиложения 224 Нет необходимости запоминать формулы (14). Гораздо важнее усвоить те приемы, с помощью которых получаются эти формулы.
Пример 4. Вычислим интеграл 60 (х — 1) соо 5х хо — 2х+ 5 По формуле (14) имеем 1 = — 2Л1гп[ гея (еоое 2 о )~, так как подынтегральная функция 7(я) имеет в верхней полу- плоскости единственный полюс (первого порядка). По формуле (4) 2 28 находим гея 7'(я) = 2=1+ 21 е12* (2 — 1) (22 — 22+ о) +21 е — 12 = — (соя 5+ (я(п5), -Р 22 и Рис. 71 Отсюда 1 = — ле "я1п 5. П Ое ( 21ах Пример 5.
Вычислим интегралу= ) — 2Ь Пусть Г,,и— о контур, изображенный на рис. 7(. Рассмотрим интеграл 1р „— р — 2(я. Этот интеграл равен нулю, так как функция ео*/я "о,е регулярна внутри контура Го о С другой стороны, он равен сумме интегралов, взятых по ффи отрезкам (-Л, — р), (р, Л]. Имеем е1* 1 — = — + Й(я), где Ь(г) — функция, регулярная в точке я=О. Если яы С„то я = ре", 0 ~ ор ( я, 21г = (реч222р и о — дг = 1) Ьр = — (я. со х 9 29.
Вычисление ОпРеделенных интегРАлов 235 Функция Ь(з) ограничена в окрестности точки г=О и, следовательно, ) Ь(з) Из-«О при р — О. Отсюда получаем ср ен — дз -« — 2я при р -«О. ор Интеграл по С стремится к нулю при Л- (лемма )Кордана). Далее, сумма интегралов по отрезкам ( — Л, — р) и (р, Л) равна — Их= ~ дх=-22 ) — дх. -в Следовательно, е е е 0=1р в — — 22 ~ — 'Их — ея+ е,(р) + е,(Л), (25) е где е,(р)- 0 (р - 0), з,(Л)- 0 (Л - ). Так как интеграл 1 сходится, то существует в 1пп "— дх = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
