1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Можно доказать эту теорему иначе: при г »и П справедливы формулы (и. 2 т 24); 1п[(з) = т1п(з — а) + 1пй(г), у Я'(г) = ~/(г — а) у'Ь(з), где 1пй(з), у Ь(г) — некоторые регулярные в П 0 (а) ветви. После этого остается воспользоваться теоремой 1. Прим е р 11. Пусть В(г) — рациональная функция. Тогда ве нули и полюсы (и только они) являются особыми точками функции Р(з)=1пВ(г), Р(го) = юо(е '= В(г ) и з, не является ни нулем, ни полюсом функции В(г)), которая аналитична в расширенной комплексной плоскости с проколами в указанных точках.
Все эти точки — логарифмические точки ветвления. [ ) Пример 12. Пусть В(г) — рациональная функция, имею- щая только простые нули н полюсы. Всв эти точки — точки вет- вления порядка и функции у'В(г). Ц Пример 13. Пусть )(з)=г й(з), где функция Ь(г) регу- лярна и отлична от нуля в круге Э: [г[(г, тчоΠ— целое число. Тогда функция Г(г) = у7(з), Р(зо) = юо, г, Ф О, аналитична в кольце К: О( [з[ ( г. Исследуем характер особой точки з = О.
Пусть т — положительно ориентированная окружность [з[ * [г,[ с начальной точкой з,. После й обходов вдоль 1 в силу (4), Р (г»)»' з»(го), Р»(г») юоз (6) так как Ь, агя Дз) = тй, ага г+ Ь,агд Ь(г) 2ит. 198 Гл. зу. мнОГОзнАчные АнАлитическив Функции а) Пусть числа т, и взаимно просты. Тогда фукнция Р(з) имеет в точке з, ровно и различных значений, и точка О является точкой ветвления порядка л функции г" (з). б) Пусть й — наибольший общий делитель чисел т, п, т. е. т=рн, и 94, где р, д — взаимно простые целые числа, д~ ~ 1. Тогда среди чисел Р„(г,), й =О, ~1, ... имеется ровно д различных.
Точка з = О является точкой ветвления порядка д, если д> 2. Если же у =1, т. е. если т делится на п, то точка з = О не является точкой ветвления. Например, точки О и 1 являются точками ветвления функции у'з'/(з — 1) порядка 3. ~1 Рассмотрим более сложный пример. Предварительно заметим следующее, Пусть 6 — проколотая окрестность точки а, и пусть все элементы аналитической функции Г(з), заданные в точках области 6, допускают аналитическое продолнсение по всем кривым, лежащим в Г Тогда в области 6 функция распадается на аналитические ветви, т. е. на функции, аналитические в области 6.
Действительно, возьмем точку з, ж У, элемент ~с(з) в этой точке и аналитически продолжим его по всем кривым, лел'ащим в 6; мы получим аналитическую в 6 функцию г,(з) — ветвь функции г(з). Если существует элемент ~,(з) функции Г(г) в точке з„который но является элементом ветви г",(з), то он порождает аналитическую в У ветвь К,(з) и т. д. В рассмотренных выше примерах аналитическая функция г" (з) либо распадалась в 6 на регулярные ветви, либо состояла из одной аналитической ветви. Приведем пример иного рода. П р им ер 14. Исследуем особые точки функции Р()=1' (' 1+ Уз Эта функция является суперпозицией )г(з) = Н(6(з))следующих ий: функц 6(з) = =, Н(ю) = 1п й. 1+ у'з Исходный элемент «(з) функции 6(з) зададим, например, в точке з 4, г(4) = — — (т.
е. Уз ~*- = 2). Пусть Р— расшит ренная комплексная плоскость с проколами в точках О, 1, тогда функция 6(з) аналитична в области В и не принимает значений О, . В точке и = — УЗ зададим элемент Ь(ю) функции Н(ш)=1пш; пусть Й вЂ” — ! =- — 1НЗ+ лд Тогда по тео- 3!= реме 2 $22 функция Р(з)= Н(6(г)), порожденная элементом Й(й(з)), аналитична в области Р. а) з 1. Покажем, что в малой проколотой окрестности К: О(!з — 1~ ~г точки а =1 функция )г(з) распадается на две $26. ОСОВЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 199 аналитические ветви Р,,(г), Рг(г) — Г,(г), и для каждой иэ этих ветвей г 1 — логарифмическая точка ветвления. Действительно, функция ф(г)= Уг в круге К: !г — 1! ( г, по теореме о монодромии, распадается на две регулярные ветви <рг(г), 1 = 1, 2, причем <р<(1)- 1, фг(г) — <р,(г).
Соответственно функция 6(г) распадается в К на две регулярные ветви 1 — <ру (г) $ 62(г)=1+ () 7=1 2~ 62(г)=6 ОО г — < По формуле Тейлора <р,(г) = 1+ — + ..., так что $ — 4 62 (г) — — (г — 1), 6, (г) — (г-г 1). Следовательно, ветвь 6,(г) имеет простой нуль, а ветвь 6*(г)— простой полюс в точке г=1. Функция <т(г) распадается в К на две аналитические ветви гч,(г) = 1п 6,(г), У 1, 2, причем Рг(г)- =— Р,(г), и точка г 1 является логарифмической точкой ветвления функций гтс г(г) (теорема 2).
б) г = О. Покажем, что в малом кольце К: О < !г! < г функция Р(г) распадается на счетное множество ветвей, для каждой иэ которых г Π— точка ветвления второго порядка. Функция 6(ь) = 1п — в малой окрестности У точки ~ О 4+4 распадается на регулярные ветви 6,(<.), Ь= О, ~$, ..., Тде 6г(О) = 2йлд Следовательно, функция <тг(г) = 6г(Уг) аналитична в проколотой окрестности точки г = О. При малых К! имеем 6г(~) = 2<<я< — 2ь + 0(<.г), так что нри малых !г! <тг(г) = 2<гл<' — 2 Уг+ 0(г).
Следовательно, Г„(г) — двуэначная функция, и г = О является точкой ветвления второго порядка этой функции. в) г= . Структура функции Р(г) в окрестности этой точки такая же, как и в окрестности точки 2=0. Действительно, гамена г = 1/~ приводит функцию Р(г) к виду 7'(~) Р(г) = 1п где ь лежит в окрестности точки < = О. П Пример 15. Исследуем особые точки функции гт (г) = у' г + )~г + 1. 200 РЛ. 1У.
МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 3 Эта функция — сумма аналитических функций 6 (г) =у з, Н(з) = Уг+ 1; их исходные элементы д(г), й(з) зададим в точке в= 1: у'з~,, =1, Уз+11,, = У2) О. Функция Р(г) аналитична в расширенной комплексной плоскости с проколами в точках — 1, О, а) г О.
Покажем, что в малой проколотой окрестности К,: О( !г! ~г точки в=О функция Р(г) распадается на две аналитические ветви Р,(г), Р,(з), для каждой из которых г = Π— точка ветвления третьего порядка. Действительно, фушсция Н(г) Уг+1 распадается на две регулярные ветви Н,(г), Н,(г) — Н,(г) по теореме о монодромии. Поэтому функция Р(г) распадается в К, на две аналитические ветви Р,(г)= 6(г)+ Н,(г), Р,(г)= 6(г)+ Н,(г), для каждой из которых з Π— точка ветвления третьего порядка (пример 8). б) г =* — 1. В малой проколотой окрестности К,: О ( Ь + + 1~ < У функция Р(г) распадается на три аналитические ветви, для каяздой из которых г = — 1 — точка ветвления второго порядка.
Действительно, по теореме о монодромии функция 6(г) 2ч4 распадается в К, на три регулярные ветви 6, (г), 6, (г)= — е ' 6„(г), 6з(з)н— м е 6,(г), так что Р(г) распадается на три аналитические ветви 6,(г)+ Н(з), 1 = 1, 2, 3. в) г = . Покажем, что г — точка ветвления шестого порядка для функции Р(г). Пусть т — простая замкнутая кривая с началом и концом в точке в=1, внутри которой лежат точки г О, г= — 1. При обходе вдоль т в положительном направлении Ь, агл г Л, агл(г + 1) = 2я.
Исходное значение функции Р(г) в точке в=1 равно Р(1)=* =1+ У2. После )У обходов вдоль т получим следующие значения Р(1): )У 1: Р(1) = е*""* — У2; )У = 2: Р(1) = ев"ов + У2 У 3: Р(1)=1 — У2; )У 4. Р(1) зь'оз+ У2 )У 5: Р(1) е'""' — У2. При Н = 6 снова получим Р(1)=1+ У2. Следовательно, функция Р(з) — шестизначная. Этот факт можно установить иначе: покажем, что функция ю=Р(г) удо- 5 2Б. ОсОБые точ1«и АнАлитических Фъ'нкции гО1 влетворяет алгебраическому уравнению шестоу степени. Возведя в куб обе части тождества и — т' г + 1 = ь' г, получаем и" + Зи(г+ 1) — г Уг+ 1 (ЗиР+ з+ 1) и после возведения в квадрат обеих частей этого тождества получаем Р(и, г)= и' — 3(г+ 1)и' — 2гиР+ 3(г+ 1)'иР— — бг(г+ 1) и — г' — 22* — Зг — 1 = О.
При каждом фиксированном г это уравнение имеет шесть корней; в данном случае можно показать, что эти корни рааличны, ЕСЛИ гчАО, гФ вЂ” 1. Д 3. Структура аналитической функции в окрестности алгебраической точки ветвления. В окрестности алгебраической точка ветвления ать аналитическую функцию можно разложить в ряд по дробным степепям г — а. Теорема 3. Пусть у»ункция Р(г) аналитична в кольце К: 0 < «г — а! < т, и пусть точка а является точкой ветвления порядка и < . Тогда справедливо разложение » Р(г) = ~ сь (г — а) (7) 1» — »» где ряд сходится в кольце К.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию Ф (ь) ° Р(а+, + ь"); эта функция аналитична в кольце к: 0(1ь« У т. покажем, что функция ФД) однозначна в К; тем самым будет доказано, что Ф(ь) регулярна в К и, по теореме 1 т 17, разлагается в ряд Лорана: Ф Я = ~~~~ с~Д", (8) сходящийся в кольце К. Возьмем окружность 7: «Ц р, где 0<р<У т, с начальной точкой р.
Когда точка ь пробегает окружность 7 один раэ в положительном направлении, точка г а + ь" пробегает и раа окружность 71 !г — а( ° р" в положительном направлении. Пусть 1,(г) — влемент в точке з» а+р" функции Р(г). Так как а — точка ветвления порядка п функции Р(з), то 1»(г)- 1»(г) после и обходов вдоль 7.
следовательно, «р»(ь)-»- «р»(ь) после обхода по 7, где «р,(ь)=Д(а+ ь")' — элемент в точке ь» р функции ФЦ)', и функция Ф(ь) регулярна в кольце К. Так как ь" з — а, то из (8) следует (7). Следствие. Пусть точка г ° ь является точкой ветвления порядка к<в аналитической «рункции Р(21. Тогда сира- ы Гл.
17, мнОГОзнАчные АнАлитические Фъ'нкции ведливо разложение Р(х) =* ~ съз (9) А= — аю вде ряд сходится в кольце вида В С (з! С е . Для доказательства достаточно заметить, что точка ь О является точкой ветвления порядка и функции Р(1/~) и воспользоваться теоремой 3. Ряды вида (7), (9) называются рядами Пюиео. 4. Понятие о римановой поверхности. Аналитическая функция не является функцией в обычном смысле слова, так как одному и тому же значению г может отвечать не одно, а несколько (или даже счетное множество) значений. Чтобы иметь возможность рассматривать Р(з) как функцию в обычном смысле слова, свяжем с Р(г) некоторую поверхность В, на которой Р(х)! будет однозначной функцией. Полученная поверхность называется римановой поверхностью аналитической функции Р(г).
Сформулируем определение рнмановой поверхности. Рассмотрим аналитическую функцию Р(х). Точной римана. вой поверхности В (функции Р(г)) называется пара Р, (г„ 1 (г)), Где 1,(г) — некоторый элемент в точке г, функции Р(х)'. Будем считать, что две пары (ге 1,(г)) и (г„~,(х)) определяют одну и ту же точку римановой поверхности, если элементы ),(г) и /,(г) эквивалентны. Проекцией точки Р, (хе ~,(г)) римановой поверхности на комплексную плоскость з называется точка х,: (ге ~,(г) ) г,. Окрестностью П, точки Р, (г„1, (г) ) называется множество точек Р (Ь, 1,(г)), где !Ь вЂ” х,! < з и з ~ О таково, что функция 1»(г) регулярна в круге !х — х,! ( е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
