1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тем самым доказано, что функция 7«(г) = Уг' — 1, г ~ Ю; 7«(го) и«о регулярна в области П (и«о — одно иа значений корпвЗ~г~ — 1). Аналогично, функция 1«(г) Уг' — 1, г ж Х>; («(г,) — во регулярна в области Р, и 7«(г)= — 7,(г), гж,0, так что функция Уг' — 1 распадается на две регулярные ветви в области Р.
Доказательство 2. Представим функцию Г(г) в виде Г (г) = г6(г), 6 (г) = )/1 Функция 6(г) задана условием 6„(го) = о о Г (о) 'о где Г,(г), 6„(г) — исходные элементы функций Г(г), 6(г) в точке г,. Функция г регулярна в области й. Функция 6(г) аналитична в одпосвязной области Б = Р ««(г ) на римановой сфере. По теореме о монодромии функция 6(г) регулярна в области Б, а значит, и в Р. Следовательно, функция Г(г)=г6(г), гж.О; Г(г,)=Г,(г,) регулярна в области 1). П П р и и е р 10.
Пусть Р— комплексная плоскость с разрезом по отрезку [-1, 1) и 7(г) — регулярная в Р ветвь функции Уг' — 1, такая, что 7(2) = УЗ. Вычислим зпачения этой 12 ю в, с«о«оров а ар. 1тв Гл, сч. мнОГОзнАчные АнАлитические Функции функции при вещественных г х. Если г ж Э, то 1 (г) = ~ 'Угу' — 1 ~ е'(ес+х')~', ср, Лс агу(г — 1), у, = сзс агя(г+ 1), где кривая у соединяет точки 2, г и лежит в О. 1. Пусть х) 1. Тогда в качествет можно взять отрезок (2, х1, так что ср, = ср 0 и у(х)= Ух' — 1. (Здесь и ниже все корни — арифметические. ) 2. Пусть хж( — 1, 1) и лежит на верхнем берегу разреза. В качестве у можно взять кривую, лежащую в верхней полу- плоскости (рис.
65). Тогда ф,-сс, ср,=О, так что ~(х+сО)- =1У~ — х'. 3. Пусть х с — 1. В качестве у мояшо ваять кривую, лежащую в верхней полуплоскости. Тогда ср, = ср, +я, так что У( )= — Ух' — 1 4. Коли х лежит на нижнем берегу разреза, то в качестве у можно взять кривую, лежащую в нижней полуплоскости (рис. 65). Тогда ср, = — и, ~рх = О, так что У(х — 10) ,г .сΠ— 1У1 — х'. Пусть г (у, у)0.
В -1 ю-с'П у качестве т возьмем отрезок [2, су). Тогда ср, + ср, = и, так что 1(1у)=йру'+1 Ряс. 65 (у- 0). Аналогично, ,((-1у)- -1Ур +1 (у~ 0). Вычислим 1'(г). По формуле (3) $22 имеем (г) У.—, 11,). Пример 11. Пусть В, ((г) — те нсе, что и в примере 10. Разложим функцию ~(г) в ряд Лорана в окрестности точки г= 1 Из тождества у'г' — 1 = г 1 —,следует, что 1(г)=гу(г), где у(г) — регулярная в области Р ветвь функции р 1 — —.Так г как 1(х)) 0 при х ) 1 (пример 10), то у(х)) 0 при х ) 1, так что Пш у(х) =1. Следовательно, у(«) = 1, и искомое разложе- Х-~+ао ние имеет вид Ой у(г) = г '„Р~ С,"и( — 1)"г '". П 3 га РБГуляРные ВетВи аналитических Функций 179 Пример 12.
Покажем, что аналитическая функция Г(г) = 1п1 1+2 распадается на регулярные ветви в области Р (рис. 64), где Р— плоскость с разрезом 1 — 1, Ц. Д о к а э а те л ь ство 1. Пусть Г,(г) — исходный элемент функции Г(г) в точке г, и 7 — простая замкнутая кривая с началом в точке г„лежащая в области Р. Значение Г(г,), полученное при обходе вдоль 7, равно Г (го) = Го (го) + 'бт атй 1 Далее, 1 — г йт атй 1 — — !9~ — !92, !рт = Лт агй (1 — г), !р, = й„ага(1+ г). Если отрезок 1 — 1, Ц не лежит внутри кривой 7, то <р, = =<р, О. Если отрезок 1 — 1, Ц лежит внутри кривой 7 и эта кривая ориентирована положительно, то !9,=2я, !р, 2я, так что снова ~р, — <р, = О. Следовательно, Г(г,) Г,(г,), и функция 1(г) =1п, 2~Р; 1(г,) =Г (г ) регулярна в области Р. Функция Г(г) распадается в области Р на счетное множест- во ретулярных ветвей.
Этн ветви описываются формулами 1 — г! 1 — г /а(г) = 1п~ — ~+ 1Л., аге +, +117пюэ+ 2йл1, й=О, ~1, ~2, го — 1 Здесь юэ = 1в э — фиксированное значение логарифма, криг +1 вая 7 соединяет точки г„г и лежит в области Р. Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Функция 1 — 1+— Г (г) = )и ', Г (гэ) = Гэ (г ) 1+ —,' аналитична в области Р =Р О(г = ° ).
Область Ю односвяэна," по теореме о монодромии функция Г(г) регулярна в области Ю, а стало быть, и в области Р. ! ) Пример 13. Пусть .Р— плоскость с разрезом по отреаку 1 — 1, Ц и /(г) — регулярная в области Р ветвь функции )п— 1+1 такая, что 7(0+10)=0 (т. е. значение 1(г) в точке г О, 12а 180 гл. тч.
ИногознАчные АнАлитические Функции лежащей на верхнем берегу разреза, равно нулю). Вычислим значения 1(г) на действительной н мнимой осях. В области Х) имеем 1(з) = 1п ~ 1 ~ + 1(~Рг — ~ух) ~р, = Ь, ага(1 — г), Ф, = Ь, агя(1+ г), кривая т лежит в области В н соединяет точку О, лежащую на верхнем берегу разреза, с точкой г. 1. Пусть з =хж( — 1, 1) н лежит на верхнем берегу разреза. Тогда ~р, = ~р, = О, так что 1(х+ 10) = 1п1 (это действительное число). 2. Пусть з = х ) 1; тогда 1р, = — и, <р, = О, так что х — 1 1(х) = 1п — — 1п. х+1 Если з = х ( — 1, то <р, = О, <р, = и, так что 1(х) = 1п — — 1п. х+1 3. Пусть з=х ~( — 1, 1) и лежит па нижнем берегу разреза.
Тогда <р, = — 2п, ~р, О, так что 1 — х /(х — 10) = 1п — — 2п1. 1+х 4. Пусть з = 1у, у х О. Тогда <р, — ~р„<р, = агс1яу, так что при у)0 1 (1у) = — 21 агс13 у, поскольку !1 — 1у! =!1+ 1у!, Аналогично, 1(1у)= — 21(п+ + агс1уу) при у(0. Д Пример 14. Пусть О, 1(з) — те яге, что и в примере 13.
Разложим 1(з) в ряд Лорана в окрестности точки з При у ) 0 имеем (пример 13, 4) Д1у) — 21агс1яу, так что 1(оо) = 1ип /(1у) = — п1. Следовательно, в окрестности точки з = имеем 1(з) = )и — 1+ (11х), ( 1'1 ( 1 + (1/.) — ~ . ) = — п1 + 1п ~1 — — ) — )п ~1 + — ) „ где стоящие в правой части равенства логарифмы — регулярные в точке х= функции, равные нулю при з . Разлагая' 1 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛ14ТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 131 ети функции в ряды Лорана, получаем ОЭ 60 1 "- ( 11"+д 2 и) = — — Х вЂ”.—,1 д ага „ д ага и о (2а + 1) г "+ Этот ряд сходится в кольце 1 < Ь! ( Пусть а, Ь вЂ” комплексные числа, а Ф Ь и Р— плоскость с разрезом по отреэку 1а, Ь1.
Точно так же, как и в примерах 9 и 12, мондно доказать, что аналитические функции Г(г) = гг(г — а)(г — Ь), Р(г) = 1п— распадаются в области Р на регулярные ветви. 4. Регулярные ветви аналитических функций в неодносвявных областях (продолжение). Пример 15. Пусть Р— плоскость с разрезом по отреэку 1 — 1, 11 (рис. 64).
Покажем, что при действительных 44 функция распадается в области Р на регулярные ветви. Пусть исходный елемент Г,(г) функции Г(г) аадан в точке г, н "( — простая замкнутая кривая с началом в точке г„лежащая в области Р. Значение Г(г,), полученное в результате обхода по кривой т, равно Г (г ) = Гг (гг) ед"е, ф = Хдт'аге — г. Как и в примере 12, ф=О, так что Г(г,) Г,(г,) и по лемме 3 функция 1 "гДа д( ) (~ ) ген Р де(го) = Ге(ге) регулярна в области .Р. Две равличные регулярные ветви функции Г(г) в области Р отличаются множителем е"""', где (4— целое число.
() Пример 16. Пусть Р— плоскость с разрезом ( — 1, 1), (1 — з 'да 1(г) — регулярная в Р ветвь функции ~ — ~, а — действи- '41+ г( тельное число, ((О+ 40) 1 (т. е. ((2,) 1 в точке г, О, лежащей на верхнем берегу разреза). Вычислим значения ((г) на действительной оси.
Имеем при г дн Р 11 — г гд дае ((г) = ~ — ~ е, ф = ф, — ф „ где ф, = Адате(1 — г), ф, Ьд агя(1+ а) и т — кривая, которая соединяет точки О+ 10, г и лежит в Р. Числа ф„ф, вычисляются так же, как и в примере 13. 182 ГЛ. 1У. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1. Если г хж(-1, 1) и лежит на верхнем берегу разреза, то 1р~ = <рг О, так что ~(х+ 10) = ('=*) ~О, 2.
Если г х>1, то ~р, — я ф,=о н ~()=(Я)".— .. Если г = х = — 1, то <р, О, <рг я, так что =('— .1) -' 1~а В этих формулах ( — ) ) О. Ь+1) 3. Если г я~и( — 1, 1) и лежит на нижнем берегу разреза, то ~р, — 2я, <р, = О, так что е (х — 10) (1 — х) е — ма" '( ) Пример 17. Пусть 1(г), Р— те же, что и в примере 16. Вычислим первые два члена разложения функции 1(г) в ряд Лорана в окрестности точки г . Имеем 1(оо) = 1пп 1(х) = е (пример 16, 2). Далее, а а — 1+— 1 —— 1 (г) = = е у (г), у (г) = 1+— 1+— где функция я(г) регулярна в точке г= и л( )=1. Разлагая функцию я(г) в ряд Лорана по степеням 1/г, получаем 1(г) = е "(1 — — + ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
