1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 29
Текст из файла (страница 29)
11» Следовательно, в точке г = 1lи функция г' имеет ровно и различных значений. Пусть а — иррациональное действительное число; тогда г" (а) имеет бесконечно много значений: г'(а)=а»ей'™м, й= О, ~1, ~2, ... (17) Таким образом, в различных точках области 0 < )г! < эта функция имеет различное число значений. Покажем, что точка г = 0 (и соответственно точка г = ) является логарифмической точкой ветвления функции г" (г). Возьмем элемент 7,(г) этой функции в точке г, чь О, и совершим обход вокруг точки 2=0 в положительном направлении. Так как элемент функции 1и 2 получает приращение +2Я1, то после обхода ~,(г)- е'"'*1,(г). Следовательно, все элементы функции г* в точке г, Ф О, даются формулой ~А(г)=Д,(г)еи""*, й=-О, ~1,,л:2, ...
Д 164 ГЛ. ГЧ. МНОГОЗНАЧНЫВ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФЪ'НКЦИИ Единственной ее особой точкой является существенно особая точка х= со. Ц Пример 19. Функция Р(з)=(зш Уг)/Уг также является целой функцией. (Здесь символом Ув в числителе и знаменателе обозначена одна и та же аналитическая фуякция.) Функция г" является уже достаточно сложной функцией. Пример 20. Рассмотрим уравнение х"=1, съФО.
Решая его, получаем а1пг 2яя1, откуда г„=е'""*", й О, ~1, ~2... Пусть ~х — действительное число; тогда все корни г„лея1ат на единичной окружности. Если сь — иррациональное число, то зги корни всюду плотно ааполняют единичную окружность Ы =1. Для регулярной функции такая ситуация невозыовспа: если бы некоторая функция г(з) была регулярна в окрестпости окружности Ь) =1, то на самой этой окружности имелось бы не более конечного числа решений уравнения /(з) = 1. Данный пример можно интерпретировать так: сделаем разрез, например, по полуоси (-, О); тогда функция з" распадется в плоскости с этим разрезом на бесконечно много регулярных ветвей. На окружности Ь) 1 для каждой ветви имеется только копечное число точек, в которых она принимает значение 1; иными словами, корни уравнения г" =1 лежат на разных листах рима- новой поверхности.
П в 23. Первообразная аналитической функции. Обратные тригонометрические функции 1. Первообразная аналитической функции. Пусть аналитическая функция г"(г) порождена элементом ),(з) в точке г,чьо. Возьмем достаточно малый круг К с центром в точке з, и рассмотрим функцию э д,(з) = ~~,(~)0ь, э~К, (1) где интеграл берется по пути, лежащему в круге К. Тогда функция д,(г) регулярна в круге К. Аналитическая функция С(г), порожденная элементом л,(з) (см.
(1)) в точке з„называется переообразной функции Г(з). Будем употреблять запись (2) а 22. пеРВООБРАзнАя АнАлитическАя Функция 1аб Теорема 1. Если функция Р(х) аналитична в области Р, то ее переообразная 6(х) также аналитична в области Р. Доказательство атой теоремы полностью аналогично доказательству леммы 2 3 21. Пусть кривая ( лежит в области Р и выходит иа точки х,.
Возьмем точку ь он "( и пусть (, — дуга кривой (, соединяющая точки х, и Ь, ~(х) — элемент в точке Ь функ- ЦИН 2Р(Х), ПОЛУЧЕННЫЙ Иа ИСХОДНОГО ЭЛЕМЕНта ~о(Х) апаЛНтНЧЕ- ским продолжением вдоль кривой (и Рассмотрим малый крут К с центром в точке ~ и положим при х ы К д (х) = ~ Е (~ ) б~' + ~ ~(~') б~', где последний интеграл берется по кривой, лежащей в круге К. По теореме 5 $9 функция Р(х) регулярна в круге К, т. е. является элементом в точке ь, и если ь =2„то д(х) =з,(х). Таким образом, в каждой точке ~ кривой ( построен элемент; их согласованность проверяется так же, как в лемме 2 $ 21.
Тем самым элемент д,(х) продолжен аналитически вдоль кривой (, так что поролсденная этим элементом аналитическая функция 6(х) аналитична в области Р. Очевидно, что 6'(х) = Р(х). Далее, если 6,(х), 6,(х) — первообразные от одной и той же аналитической функции Е(х), то 6,(х) — 62(х) сопзг.
2. Функции атеях, агсс(Йх, аг1Ьх, агс(Ьх. При действительных х функция атеях допускает интегральное представление Ло агстях =, —. .~ 2+22' о Функция (1+х') ' регулярна во всей комплексной плоскости, за исключением полюсов х = ~ 2. Положим агстя х = ) —,. лг 1+ ь~ ,По теореме 1 функция агсгях аналитична в комплексной плоскости с выколотыми точками х = Ю. Выразим арктангенс через логарифм. Имеем о 1 о о 186 Гл, гу, многознАчныж АНАлитические Функцип Следовательно, агс1й з = — )и —., 1 1+К 21 1 — Га' (4) так что функция агс$йз аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками Ю.
Аналитичность арктапгенса в точке г = следует из представления 1 1+х агсся г = —. )п ' —,' х 1 — 1 Точки э=~1 являются логарифмическими точками ветвления. Функция агсгйз является обратной к функции 1йг, т. е. тя (агс1я з) = з при всех зчь~1, ю. Замечание 1. Точнее было бы сказать, что агс1яг — правая обратная к функции 1а з. Действительно, многозначное выражение Р(г) = агс1й(1а з) определяет не одну, а бесконечно много аналитических функций Р,(г) =э+ Ая, я=О, ~1, ~2, ... Пусть 1,(г) — элемент арктангенса в точке э=О такой, что ЯО) = О. Тогда х агсз1п х = ) х1 1с' Аналитически продолжим' эту функцию на комплексные значения аргумента. Для этого воспользуемся теоремой т.
Функция Р(з) 1Л$ — зх аналитична в комплексной плоскости с выколотыми точками я=*~1 (это точки ветвления функции Р(г)). ь() (5) х 9 Этот ряд сходится в круге ~Ы < 1. Формула для производной от арктангенса, известная из курса математического анализа, остается неизменной: х 1 — агс1я з = —,. дх 1+ х' Аналогично вводятся аналитические функции агсс1я з, аг1Ь з, агс1вз. Поскольку все эти функции выражаются через логарифмическую функцию, то вычисление их значений сводится к вычислению значений логарифма.
По этой причине самостоятельное значение этих функций в теории функций комплексного переменного невелико. 3. Функции агсз(пв, агссозл, агеЪв, агсв л. При действителы ных хе[-г, 1) функция агсе$вх допускает интегральное пред- ставление 9 23. ПБРВООВРАЗНАЯ АНАЛНТНЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1вт По теореме 1 функция агсе1в з = ~ Ы~ (6) , У1 — 1' также аналитична в комплексной плоскости с выколотыми точками ~1.
Здесь интеграл берется по' любому пути, не проходящему через точки ж1, Исходный елемент Д,(г) функции агсв1пх еададим в точке г = О. Его можно аадать либо с помощью ряда ~Ю 1 (2) = агсеш х = 2 + г — — в2" +' 'Я~ (2о — 1)!! 1 о — — ~ г !2а)И 2„+ 1 %=1 либо с помощью интегрального представления 1 (2) = агсзшг = ), г я.0. л~ 3 У1 1* Здесь  — плоскость с разрезами по лучам ( —, — 1ь [1, ), интеграл берется по пути, лежащему в .О, н выбрана такая ветвь корня, что 71 — ~ (! е 1.
Функция агсе1пх также выражается черве логарифм. Имеем при всех 2 та~1, ао в1в и г, и — агсвш в. Решая уравнение е'е — е-ы 212 относительно л2, получаем агсаш 2 — 1 1п(12+ 71 — 22), (7)' Исследуем характер многозначности арксннуса. Пусть 7,, 7 — простые замкнутые кривые с началом в точке 2 О, точки в = 1 и 2 - — 1 лежат соответст- 7 ванно внутри 7+ и т (рис. 63). Кривые 7 и 7+ ориентированы соответственно положительно и отрицательно. В качестве 7А мож- -7 Р 7 но ваять, например, окружности Ь~ П =1 (рнс.
63). Пусть )!е (в) — исходный элемент аркси- Ряс. 62 нуса в точке 2=0. 1. Аналитически продолжим 1,(з) вдоль кривой 7+. Пусть я лежит в малой окрестности точки в=О. Тогда полученный в результате аналитического продолжения элемент /(2) равен интегралу по пути 7, который соединяет точки О и х, и состоит иа 1ЕЗ ГЛ. 1У. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕС11ИЕ ФУНКЦИИ кривой (+ и отрезка Т.=[0, г[: "(=т+у.. При обходе вокруг точки ветвления г = 1 получаем, что У1 — х' ° — У1 — г*. Следовательно, [()= — Ь()+ ~ г— тт ье Ветвь корня выбрана так, что У1 — ь*оо о =1 (в начальной точке кривой (+). По теореме Коши интеграл по контуру ( равен интегралу по раареэу [О, 1[. На верхнем берегу разреза 1'1 — хе ~ 0; на нижнем берегу раареэа У1 — х' ( О. Следовательно, =21 —, = н. т+ т — Е' о Окончательно получаем, что при обходе вдоль кривой (+ Уо(г) о" [ — [о(г)+ я[.
(8) Аналогично доказывается, что прн обходе вдоль кривой у го (х) — [ — Д (г) — п). (9) В частности, после двух обходов вдоль кривой (+ получаем ое(х) ' о'е(г) ° 2. Аналитически продолжим элемент [о(х) вдоль кривой т+'( . Тогда Уо(г) -+ [оо(г)+ 2п1 (10) Если же продолжить аналитически элемент Д(х) вдоль кривой ( т+, то [ (х) [го(г) — 2НЭ. Отсюда следует, в частности, что кривые т т+ и (+( негомотопны в плоскости с вь1колотыми точками г М (в противном случае аналитическое продолжение элемента Д,(х) вдоль .этих кривых привело бы к одному и тому же элементу; см.
5 24, теорема о монодромии). Кроме того, точка х о является точкой ветвления, так как при аналитическом продолжении по пути у+у ' мы обходим вокруг этой точки. Эта точка ветвления — бесконечного порядка, так как при аналитическом продолжении вдоль кривой (у+ у ') (оо = ~ 1, ~ 2, ...) ~е(г) - Бо(х)+ 2йп. Аналогично вводятся аналитические функции агссоз х, ага[1 г, агсЬг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
