1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В Рассмотрим кривую т: з = О (г), О (сей 1, для которой а (0) = О(0), а (1) о (1), и такую, что расстояние между кривыми т, Т меньше, чем б/4. Покажем, что элемент 1,(з) можно аналитически продолвснть вдоль кривой т. По построению дуги ть тг кривых т, т, соединяющих точки с(с,), о(сг+~) и а(П), с(гьн), лежат вдоль круга Кя Пусть точка е(с) кривой Т лежит на дуге ТВ положим 7 (с) = Гт, (е).
'Гочка с~ лежит внутри круга сходнмостн К; ряда )1, (з), так что Гс(в) — элемент в точке е(1). Отметим, что Таким образом, в каждой точке с~ кривой т задав элемент 7~(с), и тем самым на кривой т задана функция Ф (е) формулой Ф (*~) = 71 (сс). т м. етнкцня»о* 14б Покажем, что фувкция »р вепрерывва ка крввой т) етвм будет дока эаио, что еаоиент 1»(и) аналитически продолжен вдоль кривой т.
По построоввго фуикция »р непрерывна ка дугах ть эа исках»чевкем их концов, так что остается проверить непрерьтввость фуявцни »р в точках и,, 1~)~и. 'Гочка и»иК ОК.+и и в этой области 1»,(и)ииу», (и), так »1 1»+г »1»1+ г как элемент уо(») аналитически продолжен вдоль цепочки крутов Ко, Ки ..., К. Следовательно, Г».(г, ) =Г» (*».), что и доказывает 0»» 1+т непрерывность фувкцки»р в точке и», Лемма докаэава. 5 21.
Функция 1п г 1. Аналитическое продолжение функции 1пх. В курсе математического анализа рассматривается функция 1п х при действительных положительных значениях х. Естественно определить функцию 1пг для комплексных значений г как аналитическое продолжение функции !пх. Функция 1пх разлагается в ряд Тейлора который сходится на интервале 0(х(2, Рассмотрим этот ряд при комплексных г, т. е.
рассмотрим функцию ( 1)и — г ~,(г) = ~, — (г — 1) . я=» Ряд (1) сходится в круге Х,: !г — 1! (1, так что функция Д»(г) РегУлЯРна в этом кРУге, и Го(х)=1пх пРи 0(х(2. Следовательно, функция )о(г) является аналитическим продолжением (и притом единственным!) функции 1пх с интервала 0( (х(2 в круг Х. Обозначим символом 1пг аналитическую функцию, порожденную элементом Го (г), заданным в точке г = 1. Наша задача — выяснить, по каким кривым элемент Г»(г) можно аналитически продолжить, и получить эффективные формулы для функции 1пг.
Аналитическое продолжение элемента Д,(г) можно было бы осуществить с помощью перераэложения степенных рядов (3 20), однако этот путь является весьма гро)иоздкнм. 'Удобнее воспользоваться интегральным представлением логарифма: х 1пх= ) —, 0 х(оо.
Гл» 1 10 ю, в, сииорои и иэ. 146 гл. ту. многознАчные АнАлитические Функции Рис. 57 ( ) = ) — = (г,) + ) — „ 'о Покажем, что аналогичное интегральное представление имеет место для исходного элемента Д,(г). Лемма 1. В круге К,: 1~ — 1! ~1 справедлива формула з й()=~ —, (' в~ еде интеграл берется по любой кривой, лежащей в круге К,. Доказательство. Функция Д(г), заданная формулой (1), регулярна в круге К,. Интеграл, стоящий в правой части равенства (1'), также является регулярной в круге К, функцией по теореме 5 иэ т 9, так как подынтегральная функция регулярна в круге К,.
При Окх~ 2 этот интеграл равен 1пх, т. е. совпадает с рядом (1). По теореме единственности этот интеграл совпадает с рядом (1) при в ы Х„т. е. справедлива формула (1'). Ле ми а 2. Элемент Д(г) можно аналитически продолжить по любой кривой (, которая выходит ие точки г 1 и не проходит черев точку е О. Доказательство. Полагая г и~(г) = ) — „, бе( 1 где интеграл берется по дуге кривой (, получаем функцию и~(г)' на кривой (. Возьмем круг К с центром в точке г,ж (, не содержащий точки г О, и положим при г ~ К *о ~г т 1()=) ~ +) — = ( )+ ) ~; (2) 3~ где последний интеграл берется по любой кривой, лежащей в круге К (рис. 57).
Этот интеграл является регулярной в кру- ге Х функцией по теореме 5 иг т 9, так Ь как подынтегральпая функция регуляр! иа в круге К. Следовательно, функция т ~(г) является элементом в точке г, кривой т. Элемент в начальной точке в 1 по построению совпадает с исходным злемеитом Д(г). Чтобы эаверпппь доказательство леммы, остается проверить, в соответствии с определением 1 иэ $ 20, что значения ю(г) и Дг) совпадают на некоторой дуге (, кривой (, содержащей точку г,. Можно считать, что эта дуга лежит в круге К. Тогда при гю "(, имеем $ т ЗЬ ФунКция 1с т где путь интегрирования является частью дуги т,. Так как пути интегрирования в формулах (2) и (3) можно взять одинаковыми, то 1(з) = — в(г), з щ ц„что и требовалось доказать.
Пусть П вЂ” область расширенной комплексной плоскости, )(х) — элемент в точке з,щд. Пусть элемент 1(г) допускает аналитическое продолжение по всем кривым, лежащим в области О. В результате такого продолжения получается множество элементов, которое называется аналитической е области Э функцией. Иэ этого определения и леммы 2 следует Теорема 1. Функция 1пз аналитична в области Ос с [з! с 2. Осяовные свойства функции 1пя.
Из докааательства леммы 2 следует, что значение функции 1пх в точке г чь О, дается формулой (4) где интеграл берется по некоторой кривой (, которая не прохо- дит через точки О, с. Вычислим атот интеграл. Имеем ь те"', где т [Ь[, так что аЬ= енот+(те'Йр, — = — +(йр, и инте- )4 лт грал (4) равен — "+(~йр= 1п[х[+ Ытагдя, т т где Ьтагйз — приращение аргумента вдоль кривой ( ($6). Сле- довательно, 1п г = 1п ! з! + И, агя г. (5) Эта формула является основной формулой для функции 1пз. Замечали е 1. Звачевие логарифма 1пз аавкскт ве только от точка в, во я от крязой (, по которой берется интеграл (4). Строго говоря, ато значение следовало бы засасывать в эяде ()пз)т илп (у)1па.
Однако такого рода обозкачеяяя ие являются общепрккятымя, и мы ке будем кх систематически употреблять. Вместо этого каждый раа будем указы- вать, по какому пути ксходяый элемент зяалатяческк продолжек. Из (4) вытекает формула — 1пя = —. с' (б) дз 3 Пример 1. Вычислим значение функции 1пя в точке зн полученное в результате аналитического продолжения исходного элемента 1,(г) вдоль кривой (: а) Т вЂ” отрезок [1, ([, г, - (; б) ( — полуокружность т+. з е", Осте=я, я, =-1; в) ( — полуокружность у: з=е ", О~(сн, я, = — 1. 10е 148 Гл.
Гт. мнОГОЗИАчные АнАлитические Фхнпции В случае а) имеем Ь,агйз я/2, так что 1п1 1л/2. В слу чае б) имеем Ьтзгйг=+я, так что 1п(-1)=йг, а в случае в) й, агя г — я, так что 1п ( — 1) = -ья. Д Из основной формулы (5) вытекает следующее свойство логарифма: 1. Все значения функции 1пз в точке з даются формулой 1пе =1п (з(+1агйз. (7)' Здесь агяз — неоднозначная функция: агдз=(агах), + 2йя1, где (эгд з), — некоторое фиксированное значение аргумента, й — произвольное целое число. Эту формулу можно также записать в виде 1п(те") 1пт+йр+2йя1, й О, ж1, ~2, ..., (8)' где 1п г — действительное число. Следовательно, 1п з — бесконечнозначная функция, т. е. в каждой точке гчьО, эта функция имеет бесконечно много значений. Действительная часть этой функции однозначна: Ве1пг=1п Ь1 для любых зчьО, и для любого значения 1пз.
Из формулы (7) следует, что (9)' так что функция 1пз является обратной к функции е'. В силу формулы (7) любые два значения логарифма в точке г, отличаются на 2кн1, где й — целое число. Отсюда вытекает следующее важное свойство логарифма: 2. Если /,(е), /,(з) — элементы логарифма в некоторой точке е„то /,(з) — /г(з)=2йяг в некоторой окрестности этой точки, где /с — целое число. Отсюда следует, что любой элемент логарифма в любой точке е, ~ О, полностью определяется гаданием своего значения в этой точке. Произвольные аналитические функции не обладают этим свойством. 3.
Пусть /(з) — элемент функции 1пз такой, что /(г,) =1пе,. Тогда /(з) = 1п г, + )'„„(з — г,)". ( 1) — 1 Я=1 жо «О) Этот ряд сходится в круге 1з — з,! ~ Ь,!. Заметим, что коэффициенты Тейлора в формуле «О) имеют тот же вид, что и в случае действительных з, з,. г оь ФунКция !но Докажем (10). По формуле Тейлора имеем 'Ъ / (оо) /( ) =, — „, ' ( —,)". о=о Из (6) следует, что /'(г)=1/г в окрестности точки г„так что 1'~~(го) = (- 1)" '(н — 1)!/г," при п ~ 1, и формула (10) доказана. Распространим формулу (5) на случай, когда исходное значение логарифма задано в точке, отличной от точки г=1.
4. Пусть в точке г, аадано значение логарифма 1п г, и кривая т соединяет точки г, и г. Пусть 1пг — значение логарифма в точке г, полученное в результате аналитического продолжения вдоль кривой т. Тогда справедлива формула 1п г = 1пг, + 1п ~ — ~ + 1йт агу г. 'о Эту формулу можно также записать в виде 1пг=1п Ь!+1(1ш(1пг,)+Ь,агяг). (12) Доказательство следует из соотношения 1пг=1пг + ) —. рлг о ) Пример 2. Пусть 1пг 15я/2, и т — отреаок (1, 2). Продолжим аналитически элемент логарифма, равный 15я/2 в точке г о, вдоль кривой т. Тогда по формуле (12) имеем 1пг~, о = 1п2 + 1~ — + Ь агдг~ = 1п2+ —, — — = 1п2+ 2я1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
