1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В точках, лежащих на границе кольца (5), ряд (1) может как сходиться, так и расходиться. Ксли р) В, то ряды (2) и (3) не имеют общей области сходимости и, следовательно, ряд (1) нигде не сходится. Замечание 1. Из теоремы Абеля (2 11) вытекает, что во всяком замкнутом кольце р < <р,<(г — а! <В,<В, леягащем в кольце (5), ряд (1) сходится равномерно и согласно теореме Вейерштрасса (т 12, теорема 4) его сумма )(г) регулярна в кольце (5), Справедливо и ооратное утверждение — теорема 1. Ряс. 52 2.
Разложение регулярной функ- ции в ряд Лорана. Теорема 1. Функция 1(х), регулярная в кольце .Р: р < < Ь вЂ” а! < В, представляется в атом кольце сходящимся рядом Лорана Я Гх РЯД ЛОРАНА Преобразуем, далее, второе слагаемое формулы (8). Имеем 4 — а а — а — (4 — а) 4 — а аале (а а)а+1 У (~ ". (11) (з — а) ~т — — ~ а=а г — а )ь — а) р, Если ~ек Г„то ~ — ~ =-- д(1и, следовательно, в силу признака Вейерштрасса, ряд (11) равномерно сходится по ь(ь ы Г,) для каждого з ~и й,.
Так как функция Щ) непрерывна на Гь то она ограничена на 1'ь Отсюда следует, что ряд ~К) ч~ 1Я) (4 — а)' (12) (а — а) а+1 ь а равномерно сходится по ~ на окружности Г,. Интегрируя ряд (12) почленно и полагая к+ 1 = — п, получаем (14) Умножая ряды (15) на (з — а)- ', где кз — фиксированное целое число, получаем М а с„(х — а)" и ' = ~ с„(з — а)" ". (16) а= — ~ю а=- ао Так как ряды (16) равномерно сходятся на окружности (з— — ) — д~ = ~ с„(з — а), 1(4) (13) ,) 4 — г г 1 а — 1 с„= — д~. 1(1) а зя~ ) (4 а)а+1 г, Подставляя (13) и (9) в (8), получаем сходящееся в каждой точке кольца .О, разложение (6), коэффициенты которого опре- деляются по формулам (10) и (14).
В силу следствия 2 из интегральной теоремы Коши (3 9, фор- мула (13) ), в формулах (14) и (10) в качестве контура интегри- рования можно ваять окружность ) ~ — а! = В„р, ( й. (Ло т. е. справедчива формула (7). Поскольку р, можно взять сколь угодно близким к р, а В, к л(, то ряд (6) сходится во всем коль- це 1).
Теорема доказана. 3. Единственность разложения функции в ряд Лорана. Теорема 2. Разложение в ряд Лорана амуниции )(з), регу- лярной в кольце П; р ( )з — а! ( В, единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция 7(з), регулярная в кольце Х), имеет в этом кольце два разложения: 7' (з) = ~ с„(з — а)" = ~ с„(з — а)". (15) 124 гл.
Ие Ряд лоРАИА. ИзолюРОВАИИИВ ОсОБые точки — а( = Вр, р ( 1(р ( Н, то, интегрируя нх почленно по атой окружности и учитывая, что прн целом Й (х О)А р)х О, РР Ф вЂ” 1, (р-а1-вр (2я(, й = — 1, получаем с„с для как<доге целого т. Иэ теоремы 2 следует, что коэффициенты разложения данной функции в ряд Лорана не зависят от того, каким способом получено это разложение. Пример 1. Функции 1г = 1 (1 — а) (р+ 2) (17) Если Ь) с 1, то (18) а если Ь! =" 1, то Х1 (19) 11 1 ) 1 — з Аналогично, в круге Ь( с: 2 имеем разложение ( ++) (20) а если (г( ) 2, то ( 1)ч — 1 2Рь-1 ( 2) —,и (21) а) В области Рр' Ь! .с 1 в силу формул (17), (18), (20) функция 1(г) раэлагается в ряд Лорана регулярна в областях Р,: Ь! (1, Р,: 1< Ь! <2, Р;.
Ь(>2. Найдем разложение функции 1(я) в ряд Лорана в этих областях. Представим функцию 1(х) в виде суммы простых дробей: е !7. Ряд ЛОРАНА Этот ряд есть ряд Тейлора. б) В области .О,: 1( !е! (2 раэложение функции 7'(е) в ряд Лорана (формулы (17), (19), (20)) имеет следующий вид: И ) = 2'. (- 3 ) —,'. +:Е ' ".„'. 3 гк 3 2"+г (24) Этот ряд содержит как положительные, так и отрицательные степени з. в) В области Р1. !е! ) 2 функция 7(з) представляется ря- дом Лорана (см. формулы (17), (19), (21)), содержащим толь- ко отрицательные степени е 7($)= . !! =Д ! — 1!" г2" г — 1 Э а и еч а н и е 2.
Укажем на свяэь между рядом Лорана и рядом Фурье. Пусть функция 7(з) регулярна в кольце 6,(!е!(1+6„0(6,(1, 6,)0, (22) содержащем единичную окруяшость !е! =1. Тогда она пред- ставляется в этом кольце рядом Лорана 7'(г) = ~ е„г", И вЂ” оо откуда, полагая я е", получаем раэлож ение в ряд Фурье функции г" (гр) = 7'(егв) = ~ с„е1"е. (23) к — со Обратно, если функция Р(~р) представляется в виде Р(Ц) 7'(е"), где функция 7'(е) регулярна в кольце (22)', то ряд (23) является рядом Фурье для Р(~р). 4.
Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема 3. Пусть функция 1(е) регулярна в кольце 1э1 р, ( !г — а! ( В,. Тогда коэффициенты ряда Лорана 60 1(е) = ~~ е„( — а)" для функции 1(я) в кольце П удовлетворяют неравенствам )с„!( — „, я=0, ~1, ~2,..., где М = шах ! 7 (е) !, 7я: !е — а! = В, р, (В ( В,. энта 1ге Гл. Пг.
Ряд лоРАИА. изолиговАиные Осевые точки Неравенства (24) называются неравенствами Коши для когффициентов ряда Лорана. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь формулой (7)', получаем ~С-'а~=я К-а! В $ 18. Изолированные особые точки однозначного характера существует и конечен; б) полюсом, если Нш~(г) =- оо,' а.аа в) существенно особой точкой, если П р и м е р 1. Для функции 1пп1(г) не существует. а а вша точкой, так как функ- точка г=О является устранимой особой ция 7'(г) регулярна при г чь 0 и в в!ов . ' З1 1йл — 1на =1 0 * о а о П р и м е р 2. Для функции 1() =,~, 1. Классификация изолированных особых точек однозначного характера.
Определение 1. Пусть функция 1(г) регулярна в кольце О( !г — а! ~р, по не регулярна в точке а (аФ ). Тогда точка а называется изолированной особой точкой однозначного характера для функции 1(г). Кольцо 0< !г — а! <р, т. е. круг !г — а! <р с выброшенным центром, будем иногда называть так. "проколотая окрестность точки а. Аналогично, бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера для функции 1(г), если функция 1(г) регулярна в области р С !г! ( В зависимости от поведения функции 1(г) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек. Определение 2. Изолированная особая точка а однозначного характера функции 1(г) называется а) устранимой особой точкой, если 11ш 1(г) З !З.
ОСОВЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА !27 точка -1 является полюсом, так как зта фуккция регулярна при зчь — 1 и 1пп 1(с) = оо. ! ! 1 -1 Пример 3. Точка з= является существенно особой для фун>щий е*, зш з, соз з, так как зти функции регулярны во всей комплексной плоскости и не имеют предела при з— Действительно, 1па ох= оо,1ппе =О, а пределы ешх а х >+00 'х-,,о созх при х- не существуют. ! ) Пример 4. Для функции 1(з) =еех точка с=О является существенно особой точкой, так как функция 1(з) регулярна при стыд и не имеет предела при з- О.
В самом деле, если з=х, то 11Ш ! (З) = 1ПО Е>тх = оо, х г (2) (5) а если г = >у, то 11ш)(г) =-11ше Нт =-О. !) х г г->О 2. Ряд Лорана в окрестности особой точки. Пусть функция 1(з) регулярна в кольце К: 0( !е — а! (р. Тогда зту функцию можно разложить в ряд Лорана хо 1(х) = Д с„(з — а)", (1) сходящийся в кольце К.
Определение 3. Ряд ($) называется рядом Лорана для функции 1(с) в окрестности точки а, а ряды 11(З) = 11 (з) = Д с (з — а)" (3) о=о называются соответственно главной частью и правильной частью ряда (1). Пусть функция 1(з) представляется в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. в области В с !з! < х, сходящимся рядом 00 1 (е) = ~ с„з". (4) Определение 4.
Ряд (4) называется рядом Лорана для функции 1(з) в окрестности бесконечно удаленной точки, а ряды х 11(з) = й,' с„з", х~! ~, (з) = с, + .'Е~ с „з- (6) 123 Гл. 1п. Ряд лОРАЕА. изолиРОВАнные ОсОБые тОчки называются соответственно главной частью и правильной честью ряда (4), Замечание 1. Главная часть ряда Лорана в окрестности особой точки а (конечной или бесконечно удаленной), как видно из определения в это сумма всех тех и только тех членов ряда Лорана, которые стремятся к бесконечности при г - а. Главная часть — функция, регулярная во всей комплексной плоскости, кроме точки а, а правильная часть, т. е, разность между Дг) и главной частью Д,(г), есть функция, регулярная в точке а.
Пример 5. Ряд Лорана для функции 1(г)=г'е"* в окрестности точки г = О имеет внд 7(г) = гг (1 + — + ... + — + ...) = 1 пмп = гг+ г+ — + ~~~ „, (7) (п+2)! гп и, следовательно, главная часть ряда (7) в окрестности точки г=О равна 1,(г) = ~ 1 а правильная часть равна (и+2)) гп 2 ' Ряд (7), сходящийся в окрестности бесконечно удаленной точки (он сходится во всей конечной плоскости с выколотой точкой г О), есть ряд Лорана для функции Дг) в окрестности точки г .
Главная часть ряда (7) в окрестности точки г= равна г'+г, а правильная часть равна Приме р 6. Найдем ряд Лорана функции /(г) = соз— г+1 в окрестности точки г — 1. Имеем 1 1 1 ., 1 У(г) = соз~1 — — ) = соз1.соз — + зш1 з!п —. а+1/ г+ 1 г+1' Используя иавестные разложения для сов г и з(пг, получаем ряд Лорана для Яг) в окрестности точки г = — 1: г з)п 1 оог1 7 (г) = соз — = соз 1 + —, о+1 3+1 2)(а+1) Мп1 .
п оог1 5 дг. Осовыв точки Одноанлчного хАРАктеРА 129 Пример 7. Чтобы найти правильную часть уд(г) ряда Лорана для функции у(г) = г'сов — ' в окрестности точки г= — 1 о+1 разложим функцию г' в ряд Тейлора по степеням я+1. Имеем г' 1(г+1) — 1)д (г+1)' — 2(г+1)+1. (9) Перемножая разложения (8) и (9), находим у,(г) = оог — 2 вдп1+ (вдп1 — 2соз1) (г+ 1) + сое1 ° (г+ 1)'. () Пример 8.
Для нахождения главной части /,(г) ряда Лорана функции /(г)= 1/(с*+1) в окрестности точки д предста- 1 вим эту функцию в виде /(г) = —. у (г), где у (г) = +, — — —. + а (г — 1) + ... 1 Следовательно, /д (г) — —, —. П 1 1 Пример 9. Главная часть ряда Лорана функции /( ) (Г+ 1) (* — 4) в окрестности точки г равна г', так как /(г)=го+3+у(г), где у(г) — правильная рациональная дробь (функция, регулярная в бесконечно удаленной точке). 3. Устранимая особая точка.
Теорема 1. Для того чтобы иголированная особая точка а была устранимой особой точкой амуниции /(г), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки а была тоясдестеенным нулем. Докааательство. Необходимость. Пусть а — устранимая особая точка для функции /(г). По определению устранимой особой точки существует 11ш/(г) = А~ оо (10) и, следовательно, функция /(г) регулярна и ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
