Главная » Просмотр файлов » 1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e

1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 20

Файл №532772 1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (Сидоров, Федорюк, Шабунин 1989 - Лекции по теории функций комплексного переменного) 20 страница1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772) страница 202021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Действительно, делая о 18. ИитЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕРРА замену переменной 1 = е', получаем [М(1(1))](з) ~ 1* — о /(1) Д1 ~ ео»1(ео) ~(т о » (мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10). В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4. 3. Аналитическое продолжение гамма-функции. Гамма-функция Эйлера Г(х) при действительных х) 0 определяется формулой Г(х) = ) 1 ое ~ аЧ о и является преобразованием Меллина функции е '.

Рассмотрим интеграл Г (з) = ~ 1* 'е ' сУ. (12) о Имеем е '(1, 0==1-'-=1; е '~с»1 о, 1>1, где ~) 0 — любое. В силу теоремы 5 функция Г(г) регулярна в полосе 0( Вез с ([1 при любом ~)0, так что Г(з) регулярна в полуплоскости Вез)0. Итак, мы аналитически продолжили функцию Г(х) с полуоси (О, + ) в правую полуплоскость. При действительпыл х)0 для гамма-функции справедливо функциональное соотношение Г(х+ 1)=хГ(х). В силу теоремы единственности Г(з+ 1) = ЗГ(з) при Ве з ) О, так что Г(г) = — Г(з+ 1), Вез) О.

1 (13) Функция Г(с+1) регулярна в полуплоскости Вез) — 1. Следовательно, функция, стоящая в правой части формулы (13), регулярна в области В, = [Вез) — 1, гчьО) и тем самым функция Г(х) аналитически продолжена в область По Но теперь правая часть формулы (13) регулярна в области Р, = =(Вез~ — 2, зчьО, зчь — 1), и мы продолжили аналитически гамма-функцию в область ))о. Продолжая эти рассуждения, получаем следующий результат: Гамма-функция допускает аналитическое продолн'ение на всю комплексную плоскость, за исключением точек в=0, — 1, — 2,...

Этот метод аналитического продолжения основан на функциональном соотношении (13) и потому имеет весьма ограниченную область применимости. Рассмотрим другой, более общий 8» е ы. интиггллы, злвисящик от пьглмвтгл нт где (о — луч 0<1ь) «, ахй~= — р, и 0~()»а. Покажем, что Е'е(х) = Во(х) = ( е "'~(0ог (18) о при х>0. Рассмотрим замкнутый контур С,, состоящий из от- резков (О, В), (Ве 'о, 0) и дуги окружности (о: !Ц! =Л, ~агйЦ<0 (рис. 51). В силу интегральной теоремы Коши ( е "~~(ь) ЫЦ = 0- Посл кажем, что интеграл по Ъ, стремится к нулю при В- >. По условию, 1~(~)1«М при 0» 1~! «, !ага~! «со.

Далее, =Ле", — р « ~р «О при ь ы'(о. Следовательно, о ~ е "г~(ь) о(ь «М ~ (е '~((оь! = ЛХЛ ~ е """'одер тн 1 тн -е МЛЯе — ~воооВ о,О (В-, х>0). Переходя к пределу при Л- в тождестве ( и о ~ + ~ + ( ~е "'((ь)'Щ.= О, о тв в,-1ио (Ро(з), Вез> О, (ге(з), Ве(ге — 4) > О.

(19) Так как г",(х) -Ло(х) при х>0, то функция Ф(з) регулярна в объединении полуплоскостей Вез>0 и Ке(зе е)>0, т. е. в угле — — < агйз« вЂ” + р. Но р — любое такое число, что 0«р»а. Следовательно, мы продолжили аналитически функцию Р(з) в угол — — <агйз< — + а. Аналогично, выбирая — а «р» О, получаем, что функцию Г(г) можно аналитически продолжить в угол — — — а ( агя з < —. Теорема доказана. 2 2 ' получаем (18). Далее, ь=ре ", 0«р< на луче 1о, так что Е (з) = ~е-о(- — 'с) о(ре — ое)е-илр. о Используя неравенство Ц(ре-е)! «М при 0»р«», получаем по теореме 3, что функция г"о(х) регулярна в полуплоскости Ке (зе 'о) > О, а функция г", (з) регулярна в полу плоскости Ве г > О.

Положим 6 48. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 119 Покажем, что тогда формула (21) определяет две функции Р+(8), К (х), которые регулярны в полуплоскостях 1шг>0, 1ш г < 0 соответственно. Воспользуемся следствием 1. Рассмо- трим случай 1ш х > О. Пусть г = х+ 4у лежит в полуполосе П: [х! ~а, у> Ь, где а>0, Ь>0. При вегцествекных 8 н при з 4н П имеем [1 — х[4 (4 — л)'+ р* > 8' — 2 [8[а > 8*/2, если )8! > 4а.

Следовательно, 1(4! ! с "р'2 (1+ ! с ! )— — !4! (8~П, !8! > 4а). Поскольку интеграл ) д(8) 414 сходится, то по признаку Вей- 14!Р4а ерштрасса интеграл Р(з) сходится равномерно по з ш П. В силу следствия 1 функция Р(з) регулярна при 8 4н П; так как а >0 можно выбрать сколько угодно большим, а Ь > 0 — сколь угодно малым, то интеграл (21) представляет функцию Р4.(з), регу- лярную в верхней нолуплоскости.

Аналогично доказывается, что интеграл (21) представляет функцию Р (х), регулярную в ниж- ней полуклоскости. Пример 2. Пусть функция Дз) непрерывна на полуоси 8Р-0 и удовлетворяет оценке (22). Тогда интеграл типа Коши Р(з) = ) — 4Й (' 1(4! о представляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по полуоси [О, +, ). Д 3. Коли функция 1(ь) регулярна на контуре интегрирования т, то интеграл типа Коши допускает аналитическое продолжение через точки контура.

Прием, который при атом используется, за- ключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования. Пример 3. Пусть Р(х) =,—,, [8[(2. Ф-4 Функция 4" (х) регулярна в круге )з! < 2. Покажем, что функ- цию Р(8) можно аналитически продолжить на всю комплексную плес~ос~в х. Положим прн В > 2 1 [' л1 Ь'в ( ) = 9 — „, ) (,,) . д1 и Функция Г„(з) регулярна в круге [з! <В. Покажем, что РА(х) Р(8) ()з! < 2). (23) Тем самым наше утверждение будет доказано. Подынтегральная ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ функция Я)=(ь'+1) '(ь — х) ' регулярна в кольце (х! ( ( !ь! (, если !х! ) 1, так как функция 1/(ьо+ 1) регуЛЯРНа ПРИ ВСЕХ Ь т- ж1.

Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши интегралы по окружностям !Ц = 2 и !ь! =В от функции ~(ь) равны при !х! ( 2, что и доказывает (23). П Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим интеграл Р(х) типа Коши (20), где "( — простая замкнутая кривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в области Р„лежащей внутри 7. Пусть функция 7'Щ регулярна в замкнутой области В, ограниченной кривыми 7' и 7, где 7' — простая замкнутая кривая, и 7 лежит внутри 7'. Тогда формула Р ° (х) =,—. ) — аь !' 1Ф 2к1„) ~ — а дает аналитическое продолжение функции Р(х) в область хт', лежащую внутри 7'. Действительно, функция /(ь)/(ь — х) регулярна в области В, если х 1в Р,, так что в силу интегральной теоремы Коши 1 ~ 1(Р 1 ~ 1Ф 2к1у ь — а 2я13 4 — а — ~ — Ы~= — ! — аь ( ~В~).

Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регулярную в Р', а интеграл в правой части равен Р(х). Следовательно, Р; (х) = Р (х) (х ш хоо), и наше утверждение докааано. Аналогичный метод применим к интегралам вида (21). Теорема 7. Пусть 4ункция 7'(Ь) регулярна в полосе — а(1ш~~0 и удовлетворяет условию !Дь)! «С(1+ !ь!) ", а)0, — а(1шь(0.

Тогда интеграл (21) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость 1шх~ — а и зто продолжение Р,(х) дается !дориулой — 1а+ оо Р,(х) = — ) ' (' сут, 1шх) — а. (24) — 1а — оо Итак мы рассмотрели адесь следующие приемы аналитического продолжения функций, заданных интегралами: 1) интегрирование по частям; 2) поворот контура интегрирования; 3) перенос контура интегрирования. Ряд других примеров аналитического продолжения будетрассмотрен в Я 21, 23. Глава 1П РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА и 17.

Ряд Лорана 1. Область сходимости ряда Лорана. Ряд вида с„(з — а)", где а — фиксированная точка комплексной плоскости, с„ — за- данные комплексные числа, называется рядом Лорана. Этот ряд называется сходящимся в точке з, если в этой точке сходятся ряды О ~ с„(з — а)", » з ОО 00 лг, с„(з — а)»= ~ » (з — а)» (2) (3) то ряд (1) сходится в области р( ~з — а~ (Я, (5) т. е. в круговом кольце с центром в точке а. а сумма ряда (1) по определению равна сумме рядов (2) и (3). Ряд (2) является степенным рядом, и, следовательно, его область сходимости есть круг Ь вЂ” а! (Я (при Я= О ряд (2) сходится только в точке а, а при Я вЂ” во всей комплексной плоскости). Полагая в (3) 1/(з — а) г, получаем степеннбй » ряд 3 с-,Ф", область сходимости которого есть круг Ш ( а.

» 1 Следовательно, ряд (3) сходится в области Ь вЂ” а! ) р, где о = 1/а. Если выполняется условие р(В, (4)' 122 гл, нь гяд логаны иаолшовлнньгк осовыв точки 1 (х) = ~ с (х — а)", (б) 1 Г 1К) Н~, (1 — г)=Н р<В,<В, (7) п=0,~1, ~2, ... Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим кольцо .Р,: р, < Ь вЂ” а! < В, (рис. 52). Обозначим Г и Г, соответственно внешнюю и внутрен- нюю границы кольца Р,.

Пусть е — любая точка кольца Р,. В си- лу формулы (4) 2 10 имеем ) (г) = — ) — а~ — —. ~ — г(ь. 1 Р1(1) 1 Г 1(и 2я)3 ~ — г 2л)3 ~ — г (8) г г, Заметим сначала (см. доказательство теоремы 1 2 12), что ~1~~ дт — Х„( г ь=-о 1 ( )(ь) 2л),) (~ )ь+г г где (9) (10) В каждой точке, лежащей вне замкнутого кольца (5), ряд Лорана (1) расходится в силу расходимости одного из рядов (2) — (3). Таким обрааом, область сходимости ряда (1) есть круговое кольцо (5), если выполнено условие (4).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее