1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, делая о 18. ИитЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕРРА замену переменной 1 = е', получаем [М(1(1))](з) ~ 1* — о /(1) Д1 ~ ео»1(ео) ~(т о » (мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10). В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4. 3. Аналитическое продолжение гамма-функции. Гамма-функция Эйлера Г(х) при действительных х) 0 определяется формулой Г(х) = ) 1 ое ~ аЧ о и является преобразованием Меллина функции е '.
Рассмотрим интеграл Г (з) = ~ 1* 'е ' сУ. (12) о Имеем е '(1, 0==1-'-=1; е '~с»1 о, 1>1, где ~) 0 — любое. В силу теоремы 5 функция Г(г) регулярна в полосе 0( Вез с ([1 при любом ~)0, так что Г(з) регулярна в полуплоскости Вез)0. Итак, мы аналитически продолжили функцию Г(х) с полуоси (О, + ) в правую полуплоскость. При действительпыл х)0 для гамма-функции справедливо функциональное соотношение Г(х+ 1)=хГ(х). В силу теоремы единственности Г(з+ 1) = ЗГ(з) при Ве з ) О, так что Г(г) = — Г(з+ 1), Вез) О.
1 (13) Функция Г(с+1) регулярна в полуплоскости Вез) — 1. Следовательно, функция, стоящая в правой части формулы (13), регулярна в области В, = [Вез) — 1, гчьО) и тем самым функция Г(х) аналитически продолжена в область По Но теперь правая часть формулы (13) регулярна в области Р, = =(Вез~ — 2, зчьО, зчь — 1), и мы продолжили аналитически гамма-функцию в область ))о. Продолжая эти рассуждения, получаем следующий результат: Гамма-функция допускает аналитическое продолн'ение на всю комплексную плоскость, за исключением точек в=0, — 1, — 2,...
Этот метод аналитического продолжения основан на функциональном соотношении (13) и потому имеет весьма ограниченную область применимости. Рассмотрим другой, более общий 8» е ы. интиггллы, злвисящик от пьглмвтгл нт где (о — луч 0<1ь) «, ахй~= — р, и 0~()»а. Покажем, что Е'е(х) = Во(х) = ( е "'~(0ог (18) о при х>0. Рассмотрим замкнутый контур С,, состоящий из от- резков (О, В), (Ве 'о, 0) и дуги окружности (о: !Ц! =Л, ~агйЦ<0 (рис. 51). В силу интегральной теоремы Коши ( е "~~(ь) ЫЦ = 0- Посл кажем, что интеграл по Ъ, стремится к нулю при В- >. По условию, 1~(~)1«М при 0» 1~! «, !ага~! «со.
Далее, =Ле", — р « ~р «О при ь ы'(о. Следовательно, о ~ е "г~(ь) о(ь «М ~ (е '~((оь! = ЛХЛ ~ е """'одер тн 1 тн -е МЛЯе — ~воооВ о,О (В-, х>0). Переходя к пределу при Л- в тождестве ( и о ~ + ~ + ( ~е "'((ь)'Щ.= О, о тв в,-1ио (Ро(з), Вез> О, (ге(з), Ве(ге — 4) > О.
(19) Так как г",(х) -Ло(х) при х>0, то функция Ф(з) регулярна в объединении полуплоскостей Вез>0 и Ке(зе е)>0, т. е. в угле — — < агйз« вЂ” + р. Но р — любое такое число, что 0«р»а. Следовательно, мы продолжили аналитически функцию Р(з) в угол — — <агйз< — + а. Аналогично, выбирая — а «р» О, получаем, что функцию Г(г) можно аналитически продолжить в угол — — — а ( агя з < —. Теорема доказана. 2 2 ' получаем (18). Далее, ь=ре ", 0«р< на луче 1о, так что Е (з) = ~е-о(- — 'с) о(ре — ое)е-илр. о Используя неравенство Ц(ре-е)! «М при 0»р«», получаем по теореме 3, что функция г"о(х) регулярна в полуплоскости Ке (зе 'о) > О, а функция г", (з) регулярна в полу плоскости Ве г > О.
Положим 6 48. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 119 Покажем, что тогда формула (21) определяет две функции Р+(8), К (х), которые регулярны в полуплоскостях 1шг>0, 1ш г < 0 соответственно. Воспользуемся следствием 1. Рассмо- трим случай 1ш х > О. Пусть г = х+ 4у лежит в полуполосе П: [х! ~а, у> Ь, где а>0, Ь>0. При вегцествекных 8 н при з 4н П имеем [1 — х[4 (4 — л)'+ р* > 8' — 2 [8[а > 8*/2, если )8! > 4а.
Следовательно, 1(4! ! с "р'2 (1+ ! с ! )— — !4! (8~П, !8! > 4а). Поскольку интеграл ) д(8) 414 сходится, то по признаку Вей- 14!Р4а ерштрасса интеграл Р(з) сходится равномерно по з ш П. В силу следствия 1 функция Р(з) регулярна при 8 4н П; так как а >0 можно выбрать сколько угодно большим, а Ь > 0 — сколь угодно малым, то интеграл (21) представляет функцию Р4.(з), регу- лярную в верхней нолуплоскости.
Аналогично доказывается, что интеграл (21) представляет функцию Р (х), регулярную в ниж- ней полуклоскости. Пример 2. Пусть функция Дз) непрерывна на полуоси 8Р-0 и удовлетворяет оценке (22). Тогда интеграл типа Коши Р(з) = ) — 4Й (' 1(4! о представляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по полуоси [О, +, ). Д 3. Коли функция 1(ь) регулярна на контуре интегрирования т, то интеграл типа Коши допускает аналитическое продолжение через точки контура.
Прием, который при атом используется, за- ключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования. Пример 3. Пусть Р(х) =,—,, [8[(2. Ф-4 Функция 4" (х) регулярна в круге )з! < 2. Покажем, что функ- цию Р(8) можно аналитически продолжить на всю комплексную плес~ос~в х. Положим прн В > 2 1 [' л1 Ь'в ( ) = 9 — „, ) (,,) . д1 и Функция Г„(з) регулярна в круге [з! <В. Покажем, что РА(х) Р(8) ()з! < 2). (23) Тем самым наше утверждение будет доказано. Подынтегральная ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ функция Я)=(ь'+1) '(ь — х) ' регулярна в кольце (х! ( ( !ь! (, если !х! ) 1, так как функция 1/(ьо+ 1) регуЛЯРНа ПРИ ВСЕХ Ь т- ж1.
Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши интегралы по окружностям !Ц = 2 и !ь! =В от функции ~(ь) равны при !х! ( 2, что и доказывает (23). П Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим интеграл Р(х) типа Коши (20), где "( — простая замкнутая кривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в области Р„лежащей внутри 7. Пусть функция 7'Щ регулярна в замкнутой области В, ограниченной кривыми 7' и 7, где 7' — простая замкнутая кривая, и 7 лежит внутри 7'. Тогда формула Р ° (х) =,—. ) — аь !' 1Ф 2к1„) ~ — а дает аналитическое продолжение функции Р(х) в область хт', лежащую внутри 7'. Действительно, функция /(ь)/(ь — х) регулярна в области В, если х 1в Р,, так что в силу интегральной теоремы Коши 1 ~ 1(Р 1 ~ 1Ф 2к1у ь — а 2я13 4 — а — ~ — Ы~= — ! — аь ( ~В~).
Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регулярную в Р', а интеграл в правой части равен Р(х). Следовательно, Р; (х) = Р (х) (х ш хоо), и наше утверждение докааано. Аналогичный метод применим к интегралам вида (21). Теорема 7. Пусть 4ункция 7'(Ь) регулярна в полосе — а(1ш~~0 и удовлетворяет условию !Дь)! «С(1+ !ь!) ", а)0, — а(1шь(0.
Тогда интеграл (21) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость 1шх~ — а и зто продолжение Р,(х) дается !дориулой — 1а+ оо Р,(х) = — ) ' (' сут, 1шх) — а. (24) — 1а — оо Итак мы рассмотрели адесь следующие приемы аналитического продолжения функций, заданных интегралами: 1) интегрирование по частям; 2) поворот контура интегрирования; 3) перенос контура интегрирования. Ряд других примеров аналитического продолжения будетрассмотрен в Я 21, 23. Глава 1П РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА и 17.
Ряд Лорана 1. Область сходимости ряда Лорана. Ряд вида с„(з — а)", где а — фиксированная точка комплексной плоскости, с„ — за- данные комплексные числа, называется рядом Лорана. Этот ряд называется сходящимся в точке з, если в этой точке сходятся ряды О ~ с„(з — а)", » з ОО 00 лг, с„(з — а)»= ~ » (з — а)» (2) (3) то ряд (1) сходится в области р( ~з — а~ (Я, (5) т. е. в круговом кольце с центром в точке а. а сумма ряда (1) по определению равна сумме рядов (2) и (3). Ряд (2) является степенным рядом, и, следовательно, его область сходимости есть круг Ь вЂ” а! (Я (при Я= О ряд (2) сходится только в точке а, а при Я вЂ” во всей комплексной плоскости). Полагая в (3) 1/(з — а) г, получаем степеннбй » ряд 3 с-,Ф", область сходимости которого есть круг Ш ( а.
» 1 Следовательно, ряд (3) сходится в области Ь вЂ” а! ) р, где о = 1/а. Если выполняется условие р(В, (4)' 122 гл, нь гяд логаны иаолшовлнньгк осовыв точки 1 (х) = ~ с (х — а)", (б) 1 Г 1К) Н~, (1 — г)=Н р<В,<В, (7) п=0,~1, ~2, ... Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим кольцо .Р,: р, < Ь вЂ” а! < В, (рис. 52). Обозначим Г и Г, соответственно внешнюю и внутрен- нюю границы кольца Р,.
Пусть е — любая точка кольца Р,. В си- лу формулы (4) 2 10 имеем ) (г) = — ) — а~ — —. ~ — г(ь. 1 Р1(1) 1 Г 1(и 2я)3 ~ — г 2л)3 ~ — г (8) г г, Заметим сначала (см. доказательство теоремы 1 2 12), что ~1~~ дт — Х„( г ь=-о 1 ( )(ь) 2л),) (~ )ь+г г где (9) (10) В каждой точке, лежащей вне замкнутого кольца (5), ряд Лорана (1) расходится в силу расходимости одного из рядов (2) — (3). Таким обрааом, область сходимости ряда (1) есть круговое кольцо (5), если выполнено условие (4).