1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть В, — плоскость г с разрезом вдоль действительной положительной полуоси. Запишем г в показательпой форме и рассмотрим в области 77, функцию и = 7, (г) = уг е"", 0 < ср < 2я. Функция 7,(г) является однозначной и непрерывной в области О, и удовлетворяет условию 1',(г) = г, т. е. функция 7,(г) является решением уравнения ю' г. (7) Множество значений функции и = 7,(г) — верхняя полуплоскость (рис. 47).
Это вытекает из определения функции (6), а также ® Я из того факта, что при отображении (7), обратном к отображению (6), верхняя полуплоскость 1ш в~О переходит в плоскость: г с разрезом по положительной действительной полуоси (пример 3 $8). Таким образом, функция и=7,(г) однозначна и непрерывна в области В„т. е. в плоскости с разрезом (О, +оо), и отображает зту область на верхнюю полуплоскость. Аналогично, функция и Л(г) = — Уг е'"', 0 < ф < 2Я, 104 гл.
и. гвгглягныв агнкцпп однозначна, непрерывна в области Р„удовлетворяет условию 7з(з) =з и отображает область Р, на нижнюю полуплоскость (рис. 47). Будем говорить, что Д,(з) и 5(з) — непрерывные в области Р, ветви двузначной функции Й. Эти функции дифференцируемы, а следовательно, и регулярны в области Р, в силу теоремы об обратной функции. По формуле (2) находим ~ь(з) = —, й =1,2. 21» (зр (8) Впрочем, дифференцируемость функций ~,(г) и 5,(г) и формулы (8) можно установить, используя условия Коши — Римана в полярных координатах (пример 4 1 7). Функции ~,(з) и ~,(з) называются рееулярными ветвями двузначной функции Уз в области Р,.
Нередко обе эти ветви обозначают одним и тем же символом Уз. Для того чтобы опре(:) "-г делить, какая из двух возможных еР ~е ветвей двузначной функции ш = Й рассматривается, достаточно укал зать а) либо значение функции в какой-нибудь внутренней точке обе ласти Р,; б) либо значение функции в граничной точке (на разрезе), но при этом должно быть указано, на каком берегу разреза Рзс.
48 берется точка — верхнем или ниж- нем. Например, если рассматривается регулярная ветвь функции Уз. которая в точке з, = — 1 принимает значение ш, = 1, то речь идет о функции ш=~,(з), отображающей область .Р, на верхнюю полуплоскость; если же известно, что — 1- -~, то имеется в виду функция ш 5,(з), отображающая область Р, на нижнюю полуплоскость. Аналогично, регулярная ветвь функции Й, принимающая в точке з, *1+ 0 ° 1, лежащей на верхнем берегу разреза (О, +~), значение 1, есть функция ш=г,(г); если же з, 1+0 ~д- — 1, то речь идет о функции ш = Д,(з).
Рассмотрим теперь область Ю вЂ” плоскость с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси (рис. 48). Очевидно, в этой области можно выделить дзе регулярные ветви функции Й: ш 7,(х)= Уг е'"', ш = ~,(з)~= — уг ечм (я= ге"', — я (ф(я). Функция ш =Г,(з) отображает область Р на правую полупло- 3 13. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 105 скость (Ве 1Р ) 0), а функция и = ~,(х) отображает область Р на левую полуплоскость (ср.
и. 2 $8; рис, 37). Итак, если в качестве области взята плоскость г с разрезом вдоль положительной или отрицательной части действительной оси, то в такой области двузначная функция Уг распадается на две регулярные ветви. Легко убедиться в том, что регулярные ветви функции Ух можно выделять и в плоскости с разрезом по лучу агах = и. Обозначим эту область Р„так что Р„-Р. Проведенное исследование позволяет утверждать, что 1) двузначная функция Ух распадается на две регулярные ветви в области Р , т. е. в плоскости с разрезом по лучу агд х = = а, соединяющему точки х = 0 и х = >; 2) в точке х, области Р эти ветви принимают значения соответственно 1Р, и -и„' 3) множество значений регулярных ветвей существенно зависит от области .Р, в которой эти ветви выделяются; 4) регулярная ветвь функции Ух в области Р однозначно определяется, если указан либо образ внутренней точки этой области, либо обраа граничной точки (в последнем случае должно быть сказано, о точке какого из двух берегов разреза идет речь).
3. Функция 1п х. Понятие логарифма комплексного числа было введено в п. 6 $ 4. Логарифмическую функцию в комплексной плоскости естественно ввести как фуякцию, обратную к показательной. Рассмотрим уравнение относительно ак е" з. (9) Пусть э=ге", и = и+1ш Тогда из уравяения (9) имеем и= = 1п г, и =1р+2йя (й= О, ~1, ~2, ...).
Следовательно, й=1п х=1п )х) +1(агдх+ 2йя), где агйх — фиксированное значение аргумента числа х, й — целое. Таким образом, уравнение (9) при ать О имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой (10), т. е. логарифмическая функция в каждой точке х (хФО) принимает бесчисленное множество значений. Действительная часть этой функции (1п ~х~) определяется однозначно. Рассмотрим вопрос о возможности выделения в области Р однозначной непрерывной ветви логарифма, т. е. непрерывной функция, значение которой в каждой точке области Р совпадает с одним из значений многозначной функции 1пх. Очевидно, что однозначную непрерь1впую ветвь логарифма можно выделить в области Р, если в этой области функция агйх допускает выделение однозначной непрерывной ветви. Как и в случае функции Ух, возьмем в качестве области Р область Р,, т. е.
плоскость с разрезом 10, + ). В этой области ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУННЦИП 1ОЗ функция ф = агах допускает выделение однозначных непрерывных ветвей. Пусть ф агяз (обозначение то жв, что и для многозначной функции) — непрерывная ветвь аргумента в области Р„такая, что (11) Сохраняя прежнее обозначение для логарифмической функции, положим ю=1пг=1п Ь!+1агиг, (12) где ф = агах удовлетворяет условию (11).
Функция и 1п г удовлетворяет уравнению (9). Из (11)— (12) следует, что эта функция однозначна и непрерывна в области Р,. Функция ю=1пг взаимно однозначно отображает область Р, на полосу 0~1п1 ю(2н (рис. 49). г) Укг Рис. 49 Используя теорему об обратной функции или пример 4 т 7, получаем следующий результат: функция 1п г, определяемая условиями (11) — (12), регулярна в области Р,. Она называется регулярной ветвью е области Рг многозначной логари9)мической Функции, а ее производная вычисляется по формуле (1п з)' = —. Заметим, что в области Р, существует бесконечно много однозначных непрерывных ветвей аргумента, и все они имеют вид (агя г), = агяг+ 2йн (й — целое), (13) где ф агяг — рассмотренная вылив ветвь аргумента, удовлетво'ряющая условию (11).
Взяв в формуле ('13) й=1, получим ветвь аргумента (агйг), и соответствующую регулярйую ветвь 5 Ы. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 107 логарифма и = (1п з), = 1э ~Ф + 1 агу з + 2Н1 = 1п г + 2пь'. (14) Функция (1пг), отображает область Р, на полосу 2Н (1ш из( (4я (рис. 49). Аналогично, взяв в (13) й = — 1, получим функцию из =(1п г); 1п г — 2н1, (15) осуществляющую взаимно однозначное отображение области Р, на полосу — 2я ( 1ш г ( 0 (рис. 49).
Функции (1п г), и (1пг), являются регулярными ветвями логарифма в области Р,. Для выделения в области Р, регулярной ветви логарифма достаточно указать соответствующую непрерывную ветвь аргумента (формула (13)); последняя однозначно определяется значением аргумента, заданного в какой-либо внутренней точке области Р, или на ее гравице, т. е. на верхнем или нижнем берегу разреза (О, +о ). В частности, регулярная ветвь логарифма, принимающая действительные значения на верхнем берегу разреза, определяется формулами (11) — (12). В заключение отметим, что регулярные ветви логарифмической функции можно выделять и в других областях.
Подробно этот вопрос будет рассмотрен в главе 1У. 5 14. Теорема единственности 1. Теорема единственности. Теорема 1 (единственности). Пусть функция 1(г) регулярна в области Р. Пусть 1(г„)= О, к=1, 2, ..., где (г,)— последовательность различных точек, г„жР, п=1, 2, ..., такая, что 1нпг„= а, а~Р. Тогда 1(г)=0 в области Р. В-~ (ю Дока за тель ство.
Разложим функцию Х(г) в ряд Тейлора по степеням з — а: 1(г) = ~ сь (г — а)", ь=г и покажем, что все коэффициенты этого ряда равны пулю. Допустим противное; тогда, по теореме 7 т 12, существует окрестность П точки а такая, что Х(г) Ф 0 при г~и ХХ, г 4=а. Это противоречит условию теоремы; следовательно, все коэффициенты с„равны нулю. Ряд (1) сходится в круге К: )г — а) ~ р„где р, — расстонние от точки а до границы области Р. Таким образом, 1(г) 0 в круге К. Пусть д — произвольная точка области Р; покажем, что Х(Ь)=0. Соединим точки а и д ломаной 7, лежащей в области Р.
100 Гл. и. Регулягныв Функции Пусть р — расстояние между ломаной у и границей Г области Р; так как т — конечная ломаная, лежащая в Р, то р) О. Построим круги К„К„..., К„с центрами в последовательных точках х,=а, х„..., х = Ь ломаной т и радиусами, равными р; точки х; выберем так, чтобы )хз — х;,! (р/2 при 1=1, 2, ... ..., и. Тогда все круги К, лежат в области Р, а центр круга Кн, лежит внутри круга Кь у = О, 1, ..., и — 1 (рис. 50). П Так как р, > р, то круг К со- /Г держит круг К,; следовательно, у /(х) =— 0 в круге К,. Разложим а функцию /(х) в ряд Тейлора по степеням х — х,. Крут К, лежит в области Р, поэтому этот ряд сходится в круге К,. Поскольку центр х, круга К, лежит в круге Рис, 50 К„то /(х) = 0 в окрестности точ- ки х, и тем же способом, что и выше, можно показать, что /(х) = 0 в круге К,.
Продолжая зтн рассуждения, получаем, что функция /(х) тождественно равна нулю во всех кругах Кь так что 1(д) О. Теорема доказана. С л е д с т в и е 1, Пусть функция /(х) регулярна в области Р и /(х)= — 0 на множестве Е, которое содержится в Р и имеет предельную точку аю Р. Тогда /(х)= 0 в области Р. Доказательство. По определению предельной точки существует последовательность различных точек (х.), и= 1, 2, ..., такая, что х ~Е, Иш х„= а.
Так как у(х„) =0 при всех и и а В точки х„лежат в Х), то /(х) = О в Р по теореме единственности. С лед с тв не 2. Пусть функции /(х), у(х) регулярны в области Р и совпадают на множестве Е, которое содержится в Р и имеет предельную точку а <иР. Тогда /(х) у(х) в области Р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция п(х) = 1(х) — у(х) регулярна в области Х1 и а(х)~ 0 прн х~Е, так что й(х)~0 в .Р в силу следствия 1. Поэтому 1(х) — = у(х), хш Р. 2. Замечания и дополнения. 3 а и е ч а н и е 1. Рассмотрим функцию х (х) = луп (1/х) . Тогда /(х„)=0, где х„- 1/(яп), и = ~1, ~2, ., „и 1пп х„=О, но тем не менее /(х)в'*О.
Этот пример не противоречит теореме единственности, так как предельная точка а=О последовательности (х ) не является точкой регулярности функции вш —. 1 Замечание 2, Теорема единственности и следствия 1, 2 справедливы и в том случае, если Р— область расширенной комплексной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
