1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3 а м е ч а н и е 2. Если функция регулярна в точке г, и 1" (г,) = О, то отображение и~ =1(г) не является конформным в точке г,. Поясним это утверждение на примере функции 1(г) г'. В точке г, =0 проиэводная функции г' обращается в нуль (1'(г)*=2г). Рассмотрим два луча агах ° а и агаг р, выходящие иа точки г=О. Их образами при отображении и г' являются лучи агуи 2а и агля =2р.
Исходные лучи обраэуют между собой угол () — а, а их обраэы — угол 2(р — а). Следовательно, углы в точке г = 0 удваиваются, т. е. отображение и г' не является конформным в точке в = О. 4. Площадь обраэа области и длина образа кривой. Пусть функция ю 1(г) конформно отображает область Р на область Р'. Тогда якобиан отображения равен Х 1~'(г) Р, и площадь области Р' равна о" (Р') = ) ) си по = ) ) (,1!охоу = ) ) )1'(г)('охну. в Э и Пусть т — кривая, лежащая в области Р,, а т' — ее обраэ при отображении и 1(г).
Тогда длина кривой т' равна 1(у)=~(йш~=~)1 (г)(~йг~ ° 3 а м е ч а н и е 3. Приведем геометрическую интерпретацию формулы (14). Как известно иэ курса математического аналиэа, величина У~, где 1 — якобиан отображения (13), равняется ковффициенту растяжения площадей при отображении (13), т. е. при отображении в = 1(г) и+ 1о. Выше было покааано, что линейное растяжение при отображении ю= 1(г) не эависит от 'направления' и равно !1'(г,) 1.
Следовательно, коэффициент растяжения площадей равен Ц'(г,) Р. Е з. ннтктвлльная теоэвмА коши $9, Интегральная теорема Коши В атом параграфе будет доказана интегральная теорема Коши — один из наиболее важных результатов теории функций комплексного переменного. 1. Теорема Коши дяя случая непрерывной производной. Т е о р е и а 1. Пусть функция ~(г) дифференцируезга в односвявной области Р и ее лроизеодная нвлрерывна в Р. Тогда интеграл от Дг) ло любой заккнутой кривой (, лезсаигей в области Р, равен нул>о: ) ~ (г) с)г = О. (1) Доказательство. Если ~(г)=и(х, у)+го(х, у), то по формуле (3) $5 имеем ) ~ (г) дг = Хг + 1Х„ ч где Хч = ) и ах — и ау, Х = ) и с)х + и с)у. ч Так как функция /(г) имеет непрерывную производную в области Р, то частные производные первого порядка функций и, и непрерывны в области Р н выполняются условия Коши — Римана дк дз до дз дз дг' ду д ' В силу сформулированной в $ б (и.
2) теоремы из (2) следует, что Х, Х, О. Таким образом, ~1(г)дг = Хг+1Хз= О. 2. Теорема Коши (общий случай). Теорема 2 (интегральная теорема Коши). Пусть функция 1(з) дифференцируема в односвязной области Р. Тогда интезрал от )(г) ло любой замкнутой кривой ц, лехсаи)ей е области Р, равен нулю: ) ~ (з) аз = О. (3) Доказательство.
Приведем доказательство интетральиой теоремы Коши, принадлежащее Гуров. 1. Докажем сначала теорему для случая, когда кривая является контуром треугольника, лежащего в области Р. Проведем доказательство от противного. Пусть теорема неверна. Тогда найдется треугольник (контур этого треутольника и сам тро- ГЛ. П. РВГУЛЯРНЫВ ФУНКЦИИ угольник обозначим символом (ь) такой, что (((.(ь)-,~о. ь (4) Соединив середины сторон треугольника гу (рис. 42) отрезками прямых, разобьем его на четыре треугольника Ь'"' (Й.= 1, 2, 3, 4).
Заметим, что 1(х) ((г = ~ ~ (г) ((г. (5) З 1 (Ю ! ~! ( ( Ь ~~ — ", „(6> ьд Ряс. 42 так как в противном случае )((((ь((2 ! ) (()й) <(г = 1ь ! з-11ь(аз т. е. а(а, что невозможно. Далее, разбивая треугольник (у, указанным вьпое способом на четыре треугольника и повторяя предыдущие рассуждения, найдем такой треугольник Ьь что ! 1"(((( ~~ь. Ьг Продолжая зтот проц(зсс, получаем последовательность треугольников ((з„) такую, что каждый треугольник й содержит треугольник гз„+( (л 4, 2, ...) и имеет место неравенство В самом деле, левая часть (5) равна сумме, состоящей из интеграла по контуру треугольника и и интегралов, взятых два раза (в противоположных направлениях) по каждой стороне треугольника Л"' (зти интегралы взаимно уничтожаются) . Из равенств (4) и (5) следует, что по крайней мере для одного из интегралов в левой части (5) (обозначим соответствующий треугольник (г() справедлива оценка я к ннтегРАЛЬНАя теОРБМА коши откуда ) 7 (х) Ых = Ьв = ~(хо) ) Нх+ 1' (х,) ) тих — ха~'(хо) ~ ~Ь+ ) о(х — х,) Ых.
(8) Ьв Ьв Ьв Ь"в Так как )ох = О, ) г с(х = 0 (т 5, примеры 1, 2), то иа равенства Ьв Ьв (8) имеем 1 7 (х) ~Ь = ) о (х — г,) сЬ. (9) Ьв Ав Из определения величины о(х — х,) следует, что для любого е ) 0 найдется б = б(е) такое, что для всех х: !х — х,! < б имеет место неравенство !о(х — х,) ! <е1х — х,1. (10) Выберем и столь болыпим, чтобы треугольник ьт, лежал в круге (х — х~! < б. Тогда из (9) и (10) имеем рх Х = ) ~(х)дх1(е ') !х — х,~~сЬ~(еР„~~~Ь! = еР„'= е — „, Ьв Ьв Ьв т. е.
рх Хв(е —, 4в (11) Сравнивая (7) и (11), получаем а/4" <еР'/4", т. е. а<еР', что при а) 0 невоэможно, так как е ) 0 можно выбрать сколь угодно малым. Следовательно, гх О, т. е. равенство (3) справедливо для любого треугольника, лежащего в области Р. 2. Пусть теперь в качестве 7 ввят контур проиавольного вамкнутого многоугольника, лежащего в области Р, Формула (7) дает оценку сниау для У„.
Найдем для У„оценку сверху. Пусть Р— периметр исходного треугольника; тогда периметр Р„ треугольника Л равен Р/2" и, следовательно, Є— 0 (и — ). Таким обраэом, последовательность треугольников (Ь„) является стягивающейся: каждый треугольник й содержит все последующие треугольники Л +о й,+„..., и периметр треугольника ьъ„стремится к нулю при п- .
Отсюда следует, что существует единственная точка х„лежащая внутри или на границе треугольника й н принадлежащая всем треугольникам йо Л,, ... По условию, точка х, принадлежит области Р. Так как функция 7(г) дифференцируема в точке х„то ~(х) 1(х,)+~'(х,) (х — х,)+о(г — х,), ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ Если многоугольник является выпуклым, то его можно разбить на треугольники диагоналями, проведенными из одной вершины.
Представляял = ~~(г) бг в виде суммы интегралов, вэятых по границам треугольников, на которые разбивается данный многоугольник, получаем л = О. Далее, любой многоугольник можно разбить на конечное число выпуклых многоугольников. Следовательно, и в этом случае ) 1(2) аг = О. о. Пусть, наконец, ц — произвольная замкнутая кривая, лежащая в области Р. По лемме 2, з 5 ~~(г)бх можно с любой т точностью приблизить интегралом по замкнутой ломаной, лежащей в области Р, т.
е. для любого э > О существует замкнутая ломаная 1. такая, что ) ) (х) г(г — ~ ~(2) бг ~ ( з. 1, По доказанному выше ~~(г) г(г = О н поэтому последнее нерай г * ° г ~ (~(гг ~» . * гг ° г ности числа е > О заключаем, что ) )(г) дг = О. 3. Следствия, дополнения и замечания к теореме Кеши. 3 ам е чан не С Функция ~(г) = — дифференцируема в аг кольце О~ Ь! ( 2, но ~ — ФО (т 5, пример 3). Этот пример и=г показывает, что требование односвязности области в теореме Коши существенно. Следствие 1. Если функция 1(г) дифференцируема е односеязной области Р, то интеграл от 1(г) не зависит от пути интезрироеания.
Именно, если кривые ц, цг лежат е области Р и имеют общие начало и конец, то ) 1(2)аг= ) /(2)аг. 7 тг Таким образом, кривую ц можно деформировать в области Р (оставляя концы неподвижными), не меняя значения интеграла. Используя следствие, приведенное в т 6. п. 2, получаем теорему 3, которая также называется интегральной теоремой Коши. 3 г. инткгг»льн»я твогкм» коши 79 Теорема 3.
Если функция ~(г) дифференцируема в области Р, а кривые (~ и "(, гомотопньь в области Р, то ) ~(г)дг = ~ /(г) йг. 7» т» Область Р может быть и неодносвязной. Теорема Коши остается в силе и для случая, когда кривая Т является границей области Р. Приведем формулировку теоремы Коши для етого случая. Те ор ем а 4.
Пусть Р— ограниченная односвязная область с кусочно гладкой границей Г и пусть функция ~(г) дифференцируема в области Р и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда ~ 1(г) Нг = О. г Доказательство теоремы 4 вытекает из теоремы 2 и леммы3,$5, Утверждение теоремы 4 остается в силе и для многосвязных областей. Следствие 2. Пусть граница Г многосвязной области Р состоит из замкнутой кусочно гладкой кривой Г, и попарно не пересекающихся замкнутых кусочно гладких кривых ÄÄ... ..., Г, располохсенных внутри Гм и пусть функция ~(г) дифференцируема в области Р и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда ~~(х)сЬ+,'", ~1(г)йг=О. г' о »=» г » (12) Кривые ÄÄ..., Г„ориентированы так, что при обходе каждой из этих кривых область Р остается слева.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соединим кривую Г, с кривыми Г„ Г„..., Г„разрезами тн "(и ..., т„(рис. 43) так, чтобы получившаяся область Р была односвязной, Граница Г области Р состоит из кривых ÄÄ..., Г„и разрезов (и т~, . °, "(„. По теореме 4 ) ~(х) аг = О. Учитывая, что интегрирование по кажг дому разрезу т» (й 1, 2, ..., и) совершается два раза (в противоположных направлениях) и, следовательно, ) ~ (г) дх = О, т» получаем формулу (12). Отметим частный случай следствия 2. Пусть функция 1(г) дифференцируема в области Р (не обязательно односвязной) и пусть т и Т, — простые замкнутые кривые (одна из них лежит внутри другой), образующие границу области Р, ~=Р (рис.
44), Гл. 11. Регулягные Функции во Тогда ~~(г)бг= ~~(г)бг. 7 тг (13) В формуле (13) обход кривых ( и Ъ совершается в одном и том же направлении. Из равенства (13) следует, что если замкнутый контур т произвольно деформируется в области, где функция Рис. 44 Ркс. 43 ((г) дифференцируема, то величина интеграла ~ ~(г) бг при этом Р( ) = ) Пь) бь в (14) где интеграл берется по любой.кривой, лежащей в области Р. Так как интеграл (14) не зависит от пути интегрирования (след- ствие 1), то функция Р(г) однозначна в области В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
