1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поатому действительная и мнимая части 3. Сопряженныв гармонические функции. Пусть функция 7(г) = и+1и дифференцируема в области Р и, кроме того, функции и и и имеют непрерывные частные проиэводныв до второго порядка включительно. Тогда, дифференцируя первое из равенств (8) по х, а второе — по у, получаем ди ди ди ди дхг дх ду ду ду дх ' 62 гл.
и. гкгглягныи етнкции функции ~(г)= и+ го, дифференцируемой в области Р, являются гармоническими функциями в этой области, Гармонические функции и(х, у) и о(х, у), связанные между собой условиями Коши — Римана, называются сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части дифференцируе- ьюй в области функции являются в этой области сопряженными гармоническими функциями. Обратно, если в области Р даны две сопряженные гармони- ческие функции и(х, у) и о(х, у), то, по теореме 1, функция Де) и + и дифференцируема в области Р. Следовательно, справедлива Теорема 2.
Для дифференцируемости функции ~(е)=и+ + ~о в области Р необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и о(х, у) были сопряженными гармоническими в этой области. Зная одну иэ фупкций и(х, у), о(х, у), можно в односвязной области найти другую функцию. Теорема 3. Для всякой функции и(х, у), гармонической в односвязной области Р, можно найти сопряженную с ней гармо- ническую функцию, которая определяется с точностью до про- извольного постоянного слагаемого.
Доказательство. Так как и(х, у) — гармоническая в од- носвяэной области Р функция, то ди ди и следовательно выражение — — дх + — Ну является полным ду дх дифференциалом некоторой однозначной функции о(х, у), опре- деляемой с точностью до произвольного постоянного слагаемого С формулой (3 6, и. 2) (х,э) о(х, у) — ~ — — ах+ — ау+ С.
(22) (хи.го) Здесь (х,, у,)жР и (х, у)юР (интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки (х„у,) и (х, у), а зависит лишь от точки (х, у), если точка (х„у,) фиксирована). Из (22) имеем ди д ди ду ' ду дх' откуда следует, что о(х, у) — гармоническая в области .Р функция, сопряженная с и(х, у). Из теорем 2 и 3 следует, что если задана гармоническая функция и(х, у) в односвяэной области Р, то можно найти, с точностью до постоянного слагаемого, дифференцируемую в а х услОВия кОши — РимАнА области Р функцию /(г)= и+7о, т.
е. восстановить дифференцируемую функцию по заданной ее действительной (или мнимой) части. Если область Р многосвяэна, то функция и, определяемая интегралом (22), а также функция ~(г) и+ 7о могут оказаться неоднозначнымн, Отметим, что при нахождении функции и(х, у) по заданной функции и(х, у) (или наоборот) часто бывает более удобным вместо формулы (22) непосредственно испольэовать условии Коши — Римана (см. пример 5). пример 5.
найдем днфференцируемую функцию 7'(г), если Ке((г) и(х, у)=у* — Зх'у. Функция и = у* — Зх'у является гармонической во всей комплексной плоскости. Имеем до ди — = — = — бху дг дх 1 откуда (23) 7+ (. )' Из (23) находим (24) — = — Зуз + у' (х). С другой стороны, в силу (8) получаем д" д" 37+37 (25) дх дэ Сравнивая (24) и (25), находим у'(х)= Зх', откуда у(х)= х' + + С, где С вЂ” действительная постоянная, и иэ (23) получаем о = — Зху'+х'+ С.
Искомая функция Дг) = и+ 7о = у' — Зг'у + 7(х' — Зху')+ 7С = $ (г'+ С)' дифференцируема во всей комплексной плоскости. Д 4. Понятие регулярной функции. Введем одно иэ основных понятий теории функций комплексного переменного — понятие регулярной функции. Определение 1. Пусть функция Дг) определена в окрестности точки г = а (а чь ) и разлагается в ряд ~(г) = ~~.", с„(г — а)" сходящийся в некоторой окрестности точки г а (т.
е. в круге Ь вЂ” а! ( р, р ~ О). Тогда функция 1(г) называется регулярной в точке г а. Функция ~(г) называется регулярной в области Р, если она регулярна в каждой точке области Р. ГЛ. Н. РКГУЛЯРНЫВ ФУНКЦИИ Теорема 4. Если Яункция /(г) регулярна в точке г а, то она дифференцируема в этой точке. Доказательство.
По условию, степенной ряд (26) сходятся в некоторой окрестности точки а, откуда следует, что /(а) с,. Рассмотрим отношение / 66 — / ( ) / (') = У„~„(г о=1 Так как ряд (27) равномерно сходится в круге 1г — а! ~ р, ~р, то его сумма непрерывна в этом круге и в правой части (27) можно почленно перейти к пределу при г- а (более подробно теория степенных рядов будет изложена в з 11), и этот предел равен с,. Поэтому существует предел и левой части (27) при г - а, т. е. существует /'(а) с,.
Замечание 1. В дальнейшем ($12) будет показано, что функция, дифференцируемая в области, регулярна в этой области. 1 П р имер 6. Функция — =- ~ г" регулярна в точке г = О а=э (ряд сходится в круге 1г! ( 1). П Определение 2. Пусть функция /(г) определена в окрестности бесконечно удаленной точки и разлагается в ряд /().= Х вЂ”,." (28) о=г ' сходящийся в некоторой окрестности точки г (т. е. в области Ь! ~Л). Тогда функция /(г) называется регулярной в бесконечно удаленной точке.
Замечание 2. Из определения 2 следует, что функция /(г) регулярна в точке г = в том н только в том случае, когда функция у(~)=/(1/~) регулярна в точке ь = О. Пример 7. Функция /(г)=г/(г — 1) регулярна в точке так как функция у(~) /(1/ь)= 1/(1 — ь) регулярна в точке ь =О. Д (27) в 8. Геометрический смысл производной 1, Понятие однолистности. В т 4 было введено понятие функции комплексного переменною. Этому понятию можно дать следующую геометрическую интерпретацию.
Пусть на множестве Е расширенной комплексной плоскости г определена функция и =/(г) и пусть Е' — многкество ее значений на плоскости 1о (рис. 32). Тогда говорят, что задано отображение множества Е на множество Е'. Точка южЕ' называ- я 8. ГеометР11ческии смысл пРОизводнои ется образом точки гжЕ, а точка г — прообразом точки >с при отображении и» = 1" (г) . Может оказаться, что некоторые точки множества Е' имеют не один, а несколько прообразов, т. е.
отображение ш=Дг) мол»ет не быть взаимно однозначным. Если отображение ю =~(г) является взаимно однозначным, то функция у(г) называется () 1а» Рис. 32 однолистной Приведем более подробное определение однолистности. Определение 1. Функция и =Дг) называется однолистной на м>»ожестее Е, если она в различных точках множества Е принимает различные значения. Отображение ю = >(г), осуществляемое однолистной функцией, является взаимно однозначным и называется однолистным.
Очевидно, функция и»=~(г) является однолистной на множестве Е, если для любых точек г, и г, этого множества равенство >(г»)= >(г,) имеет место в том и только в том случае, когда г, =г» Иными словами, функция»с= >(г) однолистна на множестве Е, если зто множество не содержит ни одной пары точек г, и г, (г, Ф г,) таких, что /(г») = > (г»). Из определения однолистности следует, что если функция однолнстна на множестве Е и Е, ~ Е, то зта функция однолистна на множестве Е».
Суперпозиция (результат последовательного выполнения) одполистных отображений есть однолистное отображение, т. е. если функция ь = >'(г) однолистна на множестве Е (Е- Е,), а функция и»=б(~) однолистна на Е, (Е, — Е,), то функция и» = дУ(г)) однолистна (рис. ЗЗ) на Е (Е- Е,).
Если отображение ю=Дг): Е- Е' является однолистным, то каждой точке и» =Е' ставится в соответствие одна и только одна точка еж Е такая, что ((г) = и. Тем самым на множестве Е' овредечена функция г=Ь(в>), обратная к функции 1(г). Справедливы тождества: ((Ь (и») ) =— и>, и>»н Е'; Ь [~(гЦ = г, г»и Е„ 5 ю, в силосов и ав. ГЛ. П.
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ Функция ю=~(г), заданная на множестве Е и отображающая Е на Е', является однолистной на Е тогда и только тогда, когда обратная функция г Ь(ю) однозначна на множестве Е'. 2. Примеры однолиетных отображений. Пример 1. Линейная функция ю у(г) = аг + Ь, (1) где а, Ь вЂ” комплексные постоянные (ать О), однолистна во всей комплексной плоскости, так как обратная функция ь х = Ь(и«) = — и« вЂ”вЂ” е а (2) одноэначна. Функция (1) отображает взаимно одноэначно расширенную комплексную плоскость г на расширенную комплексную плос- О О~ О Рве 33 кость ю. При этом точка х переходит в точку ответствие между конечными точками плоскостей г ляется формулами (1), (2). Рассмотрим случай Ь = О.
Тогда и е, а сои ю опреде- (3) (4) й аг, откуда !и«! = !а! !г!, агя и« = агяа + агя г. Иэ равенств (4) следует, что отображение (3) сводится к подобному растяжению илоскости г в (а! раэ с центром подобия в начале координат и повороту всей плоскости вокруг точки г= 0 на угол а агяа. При отображении (3) луч агяг=ф переходит в луч агяю ф+а, а окружность )г! г — в окружность )и! = )а)г (рис. 34). Круг !г! (г«при этом отображении переходит в круг )и«! ( !а!Л. Коли !а! = 1, т. е.
а = е'", то преобразование (3) есть поворот плоскости ка угол «г. В частности, преобраэование и« = «г есть поворот на угол к/2, а преобразование ю -г есть поворот на угол и. з в. гкомвтгичкскии смысл пгоизводнои Преобразование (1) есть суперпозиция преобразований ~сгггга г + Ь Поэтому преобразование пг аз+ 5 можно осуществить, выполнив в указанном порядке следующие преобразования: а) подобное растяжение плоскости г в ~а! раз (центр подобия — в точке з = О); =азии Рис. 34 б) поворот плоскости ь вокруг точки ь = О на угол сг = агяа; в) параллельный перенос (сдвиг) плоскости т на вектор Ь.
П Пример 2. Функция (5) отображает взаимно однозначно расширенную комплексную плоскость г на расширенную комплексную плоскость ю (обратная функция з = г/и однозначна). При этом точке с = О соответствует точка ю-, а точке з= — точка ю= О. Луч агяз=ф переходит при отображении (5) в луч агяго= — ф, окружность Ь! т — в окружность !и~! = Иг, круг !и! (  — на обласкав ~пг! )4/В. () Пример 3. Рассмотрим функцию иг зг. (6) Коли зг = зг, то либо з, = з„либо г г гг= гв (7) Две точки, связанные равенством (7), симметричны относительно начала координат. Следовательно, функция ю з', однолистна в области В в том и только в том случае, когда эта область не содержит ни одной пары точек, симметричных относительно точ5г ГЛ.
П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦПП кп О. В частности, функция (6) однолистна в верхней полу- плоскости 1ш х) О. Рассмотрим луч агях=а (0<а(п), лежащий в верхней полуплоскости (рис. 35). При отображении (6) этот луч переходит в луч агля = 2а. Будем вращать луч агяз = а, непрерывно увеличивая г«от 0 до я. Тогда луч агяш=2а, являющийся образом луча агля=а, будет поворачиваться против часовой иг=г» Рлс. 35 стрелки.
Если луч на плоскости з опишет верхнюю полуплоскость, то его образ опишет всю плоскость ш. При этом лучи агяз= 0 и агяз=я, образующие границу области 1шз-. О, перейдут соответственно в лучи агбю= 0 и агйи~= 2я. Геометрически зти лучи совпадают с положительной действительной полуосью на плоскости ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
