1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для того чтобы отображение (6) было взаимно однозначным не только внутри области 1шг=.О, но и на ее границе, проведем в плоскости ж «разрез» по положительной части действительной оси и будем считать, что луч агя з = 0 (т. е. положительная полуось на плоскости а) отображается на верхний, а луч агав = и — на нижний берег этого разреза. Итак, функция и = »* однолистна в верхней полуплоскости и отображает эту область на плоскость ш с разрезом вдоль положительной деяствительной полуоси (рис. 35). Отметим еще, что при отображении ш= з' полуокружность г =ре", 0 ~ 6 ~ я перейдет в «незамкнутую» окружность !ю~ = р' (точки ю, =р' и и~,=р'е'"', являющиеся образами точек г, р и з,=ре" = — р, совпадают, но лежат на разных берегах указанного выше разреза).
Функция ш=з' является однолнстной и в нижней полуплоскости и отображает область 1п1«~ 0 на плоскость ш с разрезом вдоль положительной действительной полуоси (ряс.36). Прп этом отображении лучи агях =и и агяз =2к, образующие границу области 1шх(0, переходят соответственно в верхний и нижний берега разреза. В самом деле, луч агяз = я+6 (6>0, 6 — достаточно малб), который «примыкает» к лучу агяз= я, перехо- $8. гвомвтгичвскии смысл пгоиэводноя вэ дит в луч агля = 2п+ 2б, расположенный выше верхнего берега разреза. Аналогично, луч агля = 2я — б переходит в луч агни> 4п — 2б, примыкающий к нижнему берегу разреэа. ю=гг уя.гл гдю агсг=х э ~ агу~=эх-б Р .ЗЕ Отметим еще, что при отображении и =г' правая полуплоскость (Вез) 0) и левая полуплоскость (Вел< 0) переходят в плоскость с раэрезом по отрицательной действительной полуоси (рис.
37). Д Пример 4. Рассмотрим отображение (8) и е'. О Найдем условие, которому должна удовлетворять область П, чтобы отображение (8) было однолистным в этой области. Если е. с'1 *и= 1, то Ф (п.б, э 4) э, — гг = 2йти 7 ® (й О, ~1, ~2, ...). (9) Следовательно, для однолистности отображения (8) необхо- а димо и достаточно, чтобы область 17 не содержала никакой пары различных точен, удов- б г летворяющих условию (9) .
В частности, отображение й = е' является однолистным в горизонтальной полосе а < 1шз < Раа 37 <Ь, 0<Ь-а<2п. Рассмотрим полосу О,: 0 < 1шг<2п (рис, 38). При отображении (8) прямая з = х+ ~С (С вЂ” фиксировано, 0 < С < 2я; <х<+ ), параллельная действительной оси и лежащая в полосе .0„переходит в линию ю е*+"=э* е'с, т. е.
в луч агяв =С. Будем двигать прямую г=х+ ~С параллельно действительной оси, непрерывно увеличивая С от 0 до 2п. Тогда луч агяю=С, являющийся образом прямой г=х+ ~С, поворачиваясь против часовой стрелки, опишет всю плоскость ш. При этом прямые г=х( — <х< ) и г=х+1 2п, образующие границу ГЛ. Н. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ полосы Р„отобразятся соответственно на лучи агя и = 0 и агя ю = 2я. Таким образом, функция в е*, однолистная в полосе О < <1шз<2я, отображает эту полосу на плоскость с разрезом по лучу (О, + о) так, что нижний край полосы переходит в верхний берег разреза, а верхний край полосы — в нижний берег разреза. Заметим, что при отображении (8) отрезок и=С,+иу (С,— фиксировано, 0<у < 2я), лежащий в полосе Р, и параллельный Рзс.
38 мнимой оси, переходит в «незамкнутую» окружность ю = е ие" с ир (О < р ( 2я) радиуса с~и (точке з, = С, соответствует точка ири = е~и верхнего берега разреза, а точке г, С,+2яи — точка юр = ение~~*, лежащая на нижнем берегу разреза и совпадающая геометрически с точкой ир,). Аналогично можно показать, что полоса Р,: 2я<1шз < 4я отобразится функцией ю = е* на плоскость с разрезом по лучу '10, +с ) так, что нижний край полосы Р, перейдет в верхний берег разреза, а верхний край полосы — в нижний берег разреза. Точно так же можно установить, что функция ю = е* однолистна в полосе Р„: 2(к — 1)я <1шз<2)ия (й — целое) и отображает эту полосу на плоскость ю с разрезом по лучу 10, + ).
Д 3. Понятие коиформного отображения. 1. Сохранение угла между кривыми. Пусть функция ю =ДЕ) дифференцируема в некоторой окрестности точки з, и пусть 1'(х,)Ф О. Рассмотрим гладкую кривую т: и = о(и), а и= и~ р (рнс. 39), проходящую через точку з, а(1,), й,ж ж(а, р). Обозначим О угол, образуемый касательной к кривой т в точке г, и положительным направлением действительной оси (касательная считается направленной в ту же сторону, что и кривая). Тогда 0 = агяо' (й,). Пусть т' — образ кривой 1 при отображении ир=((з), т.
е. 1". ил = ю(И)=й[о(Х)], а < й < р, а точка ир, — образ точки з з. уеометвичкскиФ смысл пуоивводнои з,(ю, )(о(г,)) )(г,)). По правилу дифференцирования сложной функции й" (г.) - 1'(з.) о'(г.) (10) Так как по условию ('(х,)чьО и о'(Г,]чьО (см. $3), то и'(Ф,)Ф чьО, т. е. кривая Т' имеет касательную в точке ю,. Пусть агу и~'(г.) 0'.
Тогда из (10) находим 8' = агу ит'(г,) = агу)'(гс)+ агу о'(гю), т. е. 0' = 0 + агу )'(зо). (11) Величина а=0' — 0 называется умом поворота кривой Т в точке з, при отображении в=((з). Иа формулы (11) следует, в=У(г) Рис. 39 и~=У(г> Рис. 40 что если ('(г,)чьО, то угол поворота в точке з, не зависит от кривой и равен а = агу('(з,), т. е.
все кривые, проходящие через точку г„поворачиваются при отображении и~=Дх) ()'(г,)тьО) на один и тот зке угол, равный аргументу производной в точке х,. Таким образом, отображение и )'(з), где 1(г) — дифференцируемая в окрестности точки г, функция и )'(г,)'Ф О, сохраняет ГЛ. П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ рави мезгду кривыми, проходящими через точку х,, не только по величине, но и по направлению отсчета (рис. 40)'. Пример 5. Найдем угол поворота а при отображении ж 1(ъ) в точке х,.
а) Пусть 1(х) = =", где 1шъ = уз з.О. Тогда ъ ъ У ()=:-„У (;)= ъо ъв ~ 1 (ъ ъ-)з' о 21 1ш ъ 2З ' а = агя ~' (ъ ) = — —. 2' б) Пусть 1(х) ==в, где !ъ,!~1. Тогда 1 ъъв ъъоl и = агя 1' (ъ ) = О. П 2. Постоянство растяжений. Пусть функция в=1(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х, и 1'(ъ,)ч" О. Рассмотрим произвольную точку ъ кривой (, расположенную достаточно близко к точке г, (рис. 41). Обозначим Лъ-х — х„ сО=УФ,~ Рзс. 41 Лш ~(ъ) — 1(ъ,) = ит — 1о,. Из определения производной /'(х,) следует, что — = 1' (г,) + е (Лъ), где е (Лг) -~- 0 при Лъ -~ О, откуда получаем или !Ли~! = !1'(х,) ! !Лъ!+ о(!Лх!). (12) Пусть !ъ — х,! = !Лъ! =р, где р достаточно мало, тогда из формулы (12) находим, что окружность !г — х,! р переходит з з. гкомктгичкскин смысл пгоизводнон прн отображении й=((х) в кривую, которая мало отличается от окружности !й — й,! =р!У'(х,)!.
Иначе говоря, отображение й Яг) с точностью до малых более высокого порядка, чем Ьх, растягивает круг !Ьх! (р в !~'(х,)! раэ, Величина Пш — = й называется линейным растяжением !аи! д* е!ах! кривой ( в точке г, при отображении й=~(х). Следовательно, линейное растяжение в точке х, не еаеисит от вида и направле- ния кривой и равно й = !1'(х,) !. 3.
Определение конформного отображения. Пусть функция )(х) определена в некоторой окрестности точ- ки ху. Определение 2. Отображение й ~(х) называется кон- у1ормным е точке х,, если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке х,. Из полученных результатов вытекает, что если функция ((х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х, (регулярна в точке х,) и ('(х,)чиО, то отображение й=~(х) является кон- формным в точке х,.
Замечание 1. Условие ('(х,)тиО означает, что якобиаи отображения й =~(х) в точке х, отличен от нуля. В самом деле, отображение й = ~(х) = и+ ре эквивалентно отображению и=и(х, у), и=о(х, у). (13) Якобиан У отображения (13) равен ди ди дх ду ди ди ди ду ди ди ди ди де ду дх ду ' Используя условии Коши — Римана (т 7, формулы (8)), по- лучаем Так как 1' (х) = — + с —, то ди .ди дх дх' у !у~(х) !а (141 Таким образом, если ~'(х,) чи О, то якобиан У(х,) Ф О. Определение 3.
Пусть функция ((х) однолистна в области П и пусть отображение й=~(х) является конформным в каждой точке области В. Тогда это отображение называется кону1ормным. ГЛ. П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ Из определений 1 — 2 и свойств производной вытекает, что если функция 1(г) 1) дифференцируема в области Р, 2) однолистна в области Р, 3) ее нроизводная отлична от нуля в этой области, то отображение ж 1(г) является конформным.
Заметим, что условие 3) вытекает из условий 1) и 2) (см. $31). Примеры конформных отображений приведены в и. 2. Линейное отображение ю=ах+ Ь (аФО) является конформным во всей комплексной плоскости. далее, функция и гв осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости 1тг) 0 на плоскость с раэреэом (О, + ). Наконец, отображение и е* является конформпым в полосе 0<1шг(2п. Более подробно конформные отображения будут изучены в 'главе т'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
