1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В дальнейшем будут использоваться символы †, о, О. Зна-. чение этих символов разъясняется в приводимой ниже таблице, з гл. ь Вввдкннв где функции 1(х) и Е(г) определены на множестве Е, а — предельная точка множества Е. Формула 1(х) о(Е(г)) (г- а, гжЕ) означает, что функция 1(х) есть бесконечно малая по сравнению с функцией Е(г) при х- а, гзяЕ. В частности, запись 1(х) о(1) (г- а, гзнЕ) означает, что 1(г) — бесконечно малая при г- а, гшЕ. Аналогично, формула 1(г) 0(у(г)) (г- а, гзяЕ) означает, что функция 1(х) ограничена по сравнению с функцией Е(х) Феонтля Раэъяекекяе 11ш 1(з) з- е, ззнЕГ(О г (з) — г (з) (з-~-е, з онЕ) Ез) 1!ш — = О з-~ е, ззнЕг(~) 1(з) -о(г(з)) ( е Е) 7(з) 0(Г(з)) (зшЕ) Отношение 1 (з)/г (з) огравнчено на множестве Е: !1 (з) 9 (з) ! ( гг, х ш Е 1(з) 0(г(з)) (з-~е, зшЕ) Отношение 1 (з)/Г (з) ограничено в нересеченнн некоторой окрестной точки а с множеством Е при г- а, гжЕ.
В частности, запись 1(г)=0(1) (г- а, гшЕ) означает, что функция Дх) ограничена при г- а, гжЕ. Формулы вида 1(г)-Е(г) (х- а, гзяЕ) называются асимитотическими формулами, а формулы вида 1(г)=о(Е(г)) (г- а, г ш Е), 1(г) =0(Е(х) ) (г - а, гезЕ) называются асимптотическими оз1зиками.
Ясно, что свойства символов -, о, 0 для функций комплексного переменного такие же, как н для функций действительного переменного. Часто вместо записи (г- а, гжЕ) будем писать коротко (г — а). Пример 1. Пусть т и и — целые числа, причем лз)и. Тогда г"=о(х") (х- О); г"= о(г") (г- ); г" 0(г") (гшЕ, Е: !г! ~1). П Пример 2. Пусть Р„(г) =а,г" +а,х"-'+...+а„, 0 (г) =Ь,г +Ьзг '+...+Ь, причем а,чьО, Ь,т=О. Тогда Р„(х) -а,г" (г- ), 0 (г)- Ь,г" (г- ° ). При этом, если т) 11, то Р„(г) 10„(г) о(1) (г - ), а если т п, то Р„(г) Щ„(г) -а,/Ь, (г е ).
П З 4. ЛВПРЛРЫВЛЫИ ФУНКЦЛИ 2. Непрерывность функции на множестве. Пусть функция ~(г) определена на множестве Е и точка а принадлежит множеству К. Функция Дг) называется непрерывной е точке а, если для любого з )О существует такое 6) О, что для всех гыЕ, удовлетворяющих условию 1г — а1< 6, выполняется неравенство 1~(г) — ~(а) 1 < з. Если точка а является предельной точкой множества Е, то непрерывность функции )(г) в точке а означает, что Ивт~(г) = Да).
Это определение эквивалентно следующему: функция Дг)= =и(х, у)+зо(х, у) называется непрерывной в точке а =а+з(), если Функции и(х, у) и о(х, у) непрерывны в точке (а, 1)). Функция ~(г) называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого мложества. Ясно, что сумма, разность и произведение непрерывных функций комплексного переменного являются непрерывными фулкциями, а частное двух непрерывных функций ~(г) и й(г) является непрерывной фулкцией в тех точках, в которых знаменатель й(г) не равен нулю.
Имеет место также непрерывность суперпозиции непрерывных функций: если функция Дг) непрерывна в точке а и функция Р(~) непрерывна в точке (, =~(а), то функция РЩг)) непрерывна в точке а. Пример 3. Функции г, Нег, 1тпг, г, 1г1 непрерывны во всей комплексной плоскости. Д Пример 4. Многочлен Р(г) = аог" + а,г"-'+... + а„с комплексными коэффициентами является непрерывной функцией во всей комплексной плоскости. Ц Пример 5. Рациональная функция Е(г) = —,, где Р(г), р (г) 0 (г)' ч(г) — многочлены, непрерывна во всех точках комплексной плоо, в катар ~(г)~О. П Введем определелие: функция ~(г), определенная на множестве Е, называется разномерно непрерывной на множестве К, если для любого е ~ О существует такое 6 ~0, что 1Яг,) — ~(г,) 1 < е для любых г, ж К, г, ж Е, удовлетворяющих неравенству 1г; — г,1 < 6.
Так как равномерная непрерывность 'на множестве Е функции Дг) и(х, у)+(о(х, у) равносильна равномерной непрерывности ла множестве,К двух функций и(х, у) и и(х, р), то из нурса математического анализа следует, что функция ~(г), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Е, равномер- ГЛ, 1. ВВЕДЕНИЕ но непрерывна на этом множестве. (Напомним, что множество Е наэывается эаминутым, если все предельные точки множества Е принадлежат этому множеству.) В дальнейшем часто будут рассматриваться функции, непрерывные в области и непрерывные в эамыиании области. Имеют место следующие утверждения: 1. Непрерывная в области Р функция равномерно непрерывна в любой ограниченной области Р„такой, что Р, ~Р. 2. Если функция ~(г) равномерно непрерывна в ограпичепной области Р, то ее можно доопределить в граничных точках области Р так, что получится функция, непрерывная в Б.
3. Последовательности и ряды. Последовательность (~„(г) ) наэывается равнаиерно сходящейся на множестве Е к Функции 1(г), если для любого в >О существует такой номер Ж, что неравенство !~„(г) — Яг)! (е выполняется для всех и >У и всех г1ВЕ. ОЭ Ряд,,"„уь(г) называется равномерно сходящимся на множе1=1 стве Е, если последовательность его частичных сумм Яг(г) = = ~ у (г) сходится равномерно иа множестве Е. Ь 1 Справедливы следующие утверждения: 1.
Критерий Коши (для последовательное т ей). Для того чтобы последовательность Ц„(г) ) равномерно сходилась на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е> О существовал такой номер У, чтобы длл всех п>У, т > У и всех г егЕ выполнялось неравенство ~/„(г) — Х„(г) ! < г. 2. Критерий Коши (для рядов). Для того чтобы рлд Х уь(г) сходилсз равномерно на множестве Е, необходимо и 1=1 достаточно, чтобы для любого в>О существовал такой номер У, чтобы длл всех п>Ж, т> п>)У и всех гвгЕ вьгполнллось неравенство Д йь(г) <е.
3. Приэнак Вейерштра с с а. Если члены ряда ~ у„(г) Ь 1 удовлетворяют оценке !уг(г)! <сг для всех ггяЕ, й=1, 2, ... 60 ОВ ..., а числовой рлд ~ сь сходится, то рлд ~~Р~ уь(г) сходится 1=1 Ь 1 равномерно на множестве Е, г а непгеРывные Функции 39 4. Пусть ~(г) = 11ш ~„(г), где ~„(г), к=1, 2, ...,— непрерывные функции на множестве Е. Если последовательность (~„(г)) сходится равномерно на множестве Е, то функция ~(г) также кепрерывна на множестве Е. 5.
Пусть у„(г), к. =1, 2, ...,— непрерывные функции на множестве Е. Если ряд ~ дь(г) сходится равномерно на множеь=т стве Е, то его сумма Я(г) = ~ у (г) также непрерывна на мноь=г жестве Е. 4. Непрерывность функции на кривой. Пусть дана кривая ц: г = о(1), сь < 1- .р, и пусть на отрезке и < 1< р задана комплексноэначная функция ю=ф(1). Эту функцию можно рассматривать как функцию на кривой ц: каждой точке г,=о(г) кривой ц поставлено в соответствие комплексное число ю =~у(г).
Таким образом, функция определена на кривой (, если задана пара функций: г = о(г), ю = ~р(г), и ( 1( р. (1) Если ц — простая незамкнутая кривая, то соотношения (1) определяют функцию ю =Де), однозначную на множестве М точек плоскости г = о(1), и ( 1 ( 'р, так что и~ = 1(о(г) ) = $(1), и<1<~ В общем случае соотношения (1) также определяют функцию и = 1(г), но, быть может, неоднозначную как функцию точки плоскости: если кривая ( имеет самопересечение о(й)= = о(Г2), Г1 ~ гм то в точке г = о($,) = о(т,) функция 1(г) может иметь два различных значения. Однако и в этом случае вместо записи (1) для краткости будем писать ю = ~(г) =~(о(1)), я ==1~ р.
Введем определение: функция ю=~у(г), а(т( р, называется непрерывной на кривой ц: г = о(~), сь~ г~ р, если функция ю=ц(1) непрерывна на отрезке к~1 ~ (), причем, если кривая ( замкнутая, должно выполняться равенство ф(а) = $(р). Имеют место следующие утверждения: 1. Если функция Дг) непрерывна в области Р, то она непрерывна на каждой кривой, лежащей в области Р. 2.
Если функция ~(г) определена в области Р и непрерывна на каждой кривой, лежащей в области Р, то функция ~(г) непрерывна в области Р. 5. Непрерывность фуниции в области вплоть до границы. Пусть а и Ь вЂ” внутренние или граничные точки области Р. Расстоянием мелсду точками а и Ь по области Р называется величина рр (а, Ь) = 1п11(у), 40 ГЛ.
Ь ВВЕДЕНИЕ где 1(7) — длина кривой 7, а нижняя грань берется по всем кривым 7, соединяющим точки а, Ь и лежащим в области Р. Ясно, что ра(а, Ь)Р-1а — Ь! и р (а, Ъ) =!а — Ь(, если отрезок [а, Ь) принадлежит области Р. 3 а м е ч а н и е. Существенно, что если а и Ь вЂ” различные точки граничной кривой области Р, то р (а, Ь))0 даже в том случае, когда а и Ь совпадают как точки плоскости. Пример 6. Пусть Р— круг ~г! (2 с разрезом по отрезку [О, 2) (рис.
23). Тогда р„( — 1, 1)=2, р„(1 — 1, 1+() = 272. Если а =1 — точг ка верхнего берега разреза, а Ь=1— точка нижнего берега разреза (рис. 23), то ра(а, Ь)=2, рв(а1 0)=1, рв(а, 1— -З вЂ” () = 1+ У2. [ ( (7 Ь=У Рассмотрим ограниченную область Р, граница которой Г состоит из ° ' конечного числа замкнутых кривых ÄÄ..., Г„. Пусть функция ((г) определена в области .Р и на каждой граничной кривой Г„, й=1, 2, ..., и. Введем О п р е д е л е н и е. Функция 1(г) называется непрерывной в области Р вплоть до ее границы Г, если для каждой точки а, принадлежащей области Р или границе Г, имеет место равенство 1пп 1(г) = 1 (а). Рр(На~~а Заметим, что если граничная точка а не является точкой самопересечения граничной кривой, или если а — внутренняя точка области Р, то 11ш 1(г) = 1пп 1 (г).
Рр(ьа)-~0 г алнр Пример 7. В обозначениях примера 6 имеем: 11ш 1 (г) = 11ш 1 (г), Рр(нгя-~0 0->0(,аир 1( ) = 11 7(г). и РР(ьо)- 0 * о,аНР Таким образом, если граница Г области Р состоит из прасос т ы х замкнутых кривых, то непрерывность функции в области Р вплоть до границы Г равносильна непрерывности атой функции в П. Но если граничная кривая области Р не является простой кривой, то из непрерывности функции в области Р вплоть до границы, вообще говоря, не следует непрерывность втой функции в Р. 5 $, нвпгвгывнын Фъ'нкции П р и м е р 8, В области П примера 6 (рис.
23) рассмотрим функцию Дв) Ух =гп»е'"', где в ге", 0«р(2я, доопределенную в каждой граничной точке а этой области по формуле у (а) = 1(ш ~ (в). Зта функция Дв) является непрерывной в Рв(ью» области .0 вплоть до границы. В частности, если точка в = х ) 0 принадлежит верхнему берегу разреза, то 1пп ~(в) = 1!ш ((в) = ~(х+ 10) = г' х. Рфг,м)-~0 г х, »ш х)» Аналогично, для точки в х)0, принадлежащей нижнему берегу разреза, имеем 1(х — Ю) = — Ух. Следовательно, функция ~(г) не является непрерывной в П вЂ” зту функцию нельзя «склеить» вдоль разреза так, чтобы она осталась непрерывной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
