1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Таким образом, каждое комплексное число (х, у) можно пред- ставить в виде х+1У. Запись комплексного числа в виде х+ 1у называется алгебраической формой комплексного числа. Комп- лексные числа вида (у называются чисто мнимыэ2и. В частности, число О, т. е. комплексное число (О, 0), является единственным числом, которое одновременно и действительное, и чисто мнимое.

С помощью алгебраической формы комплексного числа фор- мулы (1) — (3) записываются так: х,+1У2 =х,+1у, тогда и только тогда, когда (4) (5) (б) х,=х,иу, у,; (х!+ (У1)+ (г2+ 1У2) (х2+ х2)+ 1(У2+ У2)2 (Х2 + (У ) (Х2 + 1У2) = (Х2Х2 — У2У2) + 1(Х У + Х У2).

Комплексное число х+ 1у принято обозначать одной буквой з, т. е. з х+1у. Число х называется действительной частью, а число у — мнимой частью комш1експого числа з х+1у. Для этих чисел приняты следующие обозначения: х = Ке(х + 1У) = Ке г, у - 1ш(х+ 1У) 1ш з э). г = х + 1у = х — 1у. (7) Очевидно, (г) = г для любого комплексного числа з. Из (4) вытекает, что равенство г з имеет место в том и только в том случае, когда г — действительное число. Число гхх' -+ у2 называется модулем комплексного числа з=х+ 1У и обозначается )з): )г! )х+ 1у! = Ух*+ у'. (8) Очевидно, !г! >О, причем )з! =0 тогда и только тогда, когда з = О.

Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа. 2) Обозначения ке я 1ш являются сонращевмямя фраэцузсквх слов Кео) (действятельвьй) и 1шалшиге (мэимый). Здесь, как и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи з=х+)у предполагается, что х и у — действительные числа. Комплексное число х — 1У называется сопряженным с комплексным числом з = х+ 1у и обозначается г: % !. комплексные числА Отметим две формулы: Ь! =!21, 22 =!2Р, (9) (16) которые вытекают из (7), (8) и равенства 22 (х+зз)(х — зу)=х +У. Дальнейшие свойства, связанные с понятиями 2 и !2!, будут рассмотрены ниже.

2. Свойства операций. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами: 1. Коммутативности: г, + г, = г, + 2„2,2, = 2,2,. 2. Ассоциативности: (2, + 2,)+ 2, = 2, + (2, + 2,), (2 2,) зз — — 2, (2,2з). 3. Дистрибутивности: 2, (зз + зз) = 2,2з + зз2з. Докажем, например, коммутатявность сложения. Пусть 2, = Х, + Зу„зз = Х, + Зуз, ТОГда ПО фОрМуЛЕ (5) ИМЕЕМ 2, + 2, =- (Х, + Х,) + З (Уз+ Уз), 2з+ зз =(Хз+ Хз)+ З(уз+ уз). Но по свойству коммутативности сложения действительных чи- СЕЛ Х,+Х,=Х,+Х, И уз+уз = у, + у,.

СЛЕдОВатЕЛЬНО, 2,+22= = 2, + 2,. Аналогично проверяются остальные свойства 1 — 3. Из свойств 1 — 3 вытекает, что операции сложения и умножения над комплексными числами х+зу обладают формально такими же свойствами, как если бы число з было действительным. В частности, нет необходимости запоминать формулы (5) и (6), их можно получить по обычным правилам алгебры. Например, (6) вытекает иэ равенства (х,+ зУз) (х,+зУ,)=х,х,+ зхзУ,+Ах,уз+ ззУ,Уз 2+ 0 = 2, 2 1 = 2, В множестве комплексных чисел можно ввести операцию, обратную к операции сложения. Эта операция, как обычно, и равенства Р= — 1.

Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и в множестве действительных чисел. А именно, для любого комплексного числа г имеют место равенства Гл. ь Вввдение 19 называется вычитанием. Для любых двух комплексных чисел г, и г, существует, и притом только одно, число г, удовлетворяющее уравнению в+з, г,. (11) Это число называется разностью чисел г, и гг и обозначается г — г . В частности, разность 0 — з обозначается — г. Из (4), (5) вытекает, что для любых комплексных чисел г, х,+(у, и з,-х,+(у, уравнение (11) имеет единственное решение з = (х, — х,)+ 2 (у, — у,).

Таким образом, з, — г, =(х,+ (у ) — (х,+ (у,)=(х, — х,)+1(у, — у ). (12) Введем операцию деления комплексных чисел. Операция, обратная умножению, называется делением, а частным двух чисел з, и г, называется такое число г, которое удовлетворяет уравнению (13) гг,=г„ г и обозначается з,: г, или —. Докажем, что уравнение (13) имеет единственное решение для любых комплексных чисел г, и гз, если г,члО. Умножая обе части уравнения (13) на число з, и используя формулу (10), получаем г(г,! г,гн откуда умножением на число — находим 2 4 е г г= —. Таким образом, !"!' г1 атея л122 — — — г ныл. (14) гг !з( Если г,=х,+(уо г,=х,+(у„то формулу (14) можно за- писать в виде *~ + % (*~ + ("г) (гг ("и) '~*г + "Рг *Ф~ еРе + ( Эту формулу можно не запоминать — достаточно помнить, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

11ример 1. 2 — 3( (2 — 30 (3 — 40 6 — 8~ — 9~+ (2( 3+ 4( (3+4() (3 — 40 3г ( 4г — — — 5 — (т ю' д 25 25 25 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. 6 а комплкксныи числА Комплексное число х=х+1у изображается точкой плоскости с координатами (х, у), и эта точка обозначается той жв буквой г (рис. 1). Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости, очевидно, является взаимно однозначным.

При етом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексныв числа, называется комплексной плоскостью, Ясно, что точки г и — г симметричны относительно точки О, а точки г и У симметричны относительно действительной оси, так как, если х = х + Ху, то -х =( — х)+ Ю ( — у), а й = х+8 ( — у) (рис. 1). Ряс. 2 Рпс. 1 Комплексное число г изображается также вектором с началом в точке О и концом в точке х (рис. 1).

Таков соответствие между комплексными числами и векторами комплексной плоскости с началом в точке О также является взаимно однозначным. Позтому вектор, изображающий комплексное число х, обозначается той же буквой г. Из формулы (8) и рис. 1 видно, что длина вектора г равна Ь! и имеют место нвравеяства !Йвх! ( Ь1, Ппьх! < Ь!.

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сложение и вычитание комплексных чисел. Из формулы (5) вытекает, что число х, + г, изображается вектором, построенным по обычному правилу сложения векторов г, и х,' (рис. 2). Вектор г~ — хз строится как сумма векторов г1 и -хг (рис. 2). ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ 11х,! — 1х,11 ~ !х, + г,! ~ 1х,! + !г,!. (15) Доказательство.

Длины сторон треугольника с вершинами в точках О, г„г, + г, равны 1х,1, !г,! и !а~+в,! (рис. 2). Следовательно, неравенства (15) являются нзввстнымн нз элементарной геометрии неравенствами для длин сторон треугольника. Следствие. Длк любых комплексных чисел го хи ..., г„имеет место нера- венство ! ч ! в ~~э~ гь~ ( ~ ! гь!.

(16) Ряс. 3 4. Тригонометрическая н показательная формы комплексного числа. Положение точки г =а+ 1у на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами х, у, но и полярными координатами т, 1р (рис. 3), где т= 1г! — расстояние от точки О до точки г, а ~р — угол между действительной осью и вектором х, отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то ввличнна угла считается положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной. Этот угол йазызается аргументом комплексного числа г (гчьО) и обозна- Из рис. 2 видно, что расстояние мвхвду точками г, и г, равно длине вектора г — гь т.

в. равно 1х — г,!. Пример 2. Множество точек г, удовлетворяющих уравнению !г — х,! =тг, есть окружность радиуса В с центром в точке г„так как 1х — г,! — расстояние между точками г н г,. ~~~ П р и м е р 3. Множество точек г, удовлетворяющих уравнению !г — г,1=!в — х,1, есть множество точек, равноудаленных от точек г, и х,. Следовательно, это уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки х„г„и проведенной через его середину. Пример 4. а) Множество точек г, удовлетворяющих уравнению 1х — х,1 +1х — г,! = 2а, где аз» вЂ” 1х, — г,!, есть эллипс с фокусами в точках г„г, н с большой полуосью, равной а, так как 1г — г,1+!в — х,! — сумма расстояний от точки х до точек г, и г,. б) Аналогично, уравнение !1г — г,! — 1х — г,1! = 2а, где 1 а( — !г, — г,~, является уравнением гиперболы с фокусами в точках г„г, и с действительной полуосью, равной а. ~ 1 Н е р а в е н с т в а т р е у г о л ь н и к а.

Для любых комплексных чисел г, и х„имеют место неравенства Ф «. комплкксныв числа чается так; ф = агяг*). Для числа г = О аргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что г ФО. Из рис. 3 видно, что х=гсозф, у гзшф. (17) Следовательно, любое комплексное число гФ О можно предста- вить в виде г = г(соз «р+ (зшф). (18) Запись комплексного числа в виде (18) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул (17) вытекает, что если г=х+ 1у, ф агйг, то сов ф =, з1я ф = я е )~ х'+ у" ««х +«« (19) Из системы (19) вытекает, что аргумент ф комплексного числа г = х+ «у удовлетворяет уравнению 19ф =+ (21) Следует иметь в виду, что не все решения уравнения (21) являются решениями системы (19).

Характеристики

Список файлов книги