1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(12) 4. Если кривая 7 7,7, не проходит через точку г = О, то Л, агяг = Лт агяг+ Л агяг. (13) Эти свойства вытекают из формулы (6) и свойств интегралов (формулы (6) и (7) $5). 3. Непрерывные ветви функции агяг. Пусть Р— односвязная область, не содержащая точек г=О и г= . Зафиксируем точку г,виР и выберем агяг,— одно из значений аргумента г,. Положим агя г = агя г, + Лт агя г, (14) (15) где кривая 7 с началом в точке г, и концом в точке г лежит в области Р. По свойству 1 и. 2 приращение аргумента Л, агя г не зависит от кривой 7, так как в односвязяой области любые кривые с общим началом и общим концом можно непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь в области Р (и.
4 т 3). Следовательно, функция (14) однозначна в области Р. Эта функция непрерывна в области Р, так как ее можно записать в виде ( — у Ых+х ву агях = агяхв+ ) Х +у ~о Таким образом, функция (14) является однозначной ненрерывной ветвью мнововначной у7рннции агяг в области .Р. Очевидно, таких ветвей бесконечно много; (агях),=аглг,+Л„агях+2йн, 7с О, ~1, ~2, ..., (16) т. е. многозначная функция агяг в области Р распадается на однозначные непрерывные ветви (16). Отсюда следует, что непрерывная ветвь функции агяг в области Р полностью определяется своим значением в одной точке г, си Р.
Пример 3. Пусть Р,— вся комплексная плоскость с разрезом'по лучу ( —, 01. Положим г, 1, агй1 О. Тогда агйг=Л,агйг, (17) где кривая 7 с началом в точке г, = 1 и концом в точке г лежит в области Р, (рис. 29) . Очевидно, функция (17) совпадает 55 6 6. егпкция агз а с функцией ~р(з), рассмотренной в п. 1. В частности, имеем: агля = О, если и О, агя(гу) = —, если у) О, агп((у) = — —, если у(0 и т. д. П В формуле (14) точка з, может быть граничной точкой области Р. Рис. 29 Рис. ЗО Пример 4.
Пусть Р, — вся комплексная плоскость с разрезом по лучу (О, + ). Пусть г, = 1 — точка верхнего берега разреза, агу з, агя 1 — О. Тогда аг0 з = Л, ага з, (18) где кривая 7 с началом в точке гс = 1 и концом в точке г лежит в области Р, (рис, 30). В частности, имеем: агу(гу) = —, если у) О, агув = я, если л(0, агя(~у) = —, если у(0 Зя и т. д.
(ср. пример 3). Найдем значения функции (18) на верхнем и нижнем берегах разреза. Прй я) 0 нмеемагя(х+ Ю) = 11ш агу(и+ ~у) = О, з. +о аналогично агя(в — 10) = йя. Следовательно, функцию (18) нельзя «склеить» вдоль луча (О, + ) так, чтобы эта функция осталась непрерывной. (Функцию (17) также нельзя сялеить непрерывно вдоль луча ( — с, 0).) Отсюда, в частности, следует, что в области 0< Ь1<о нельзя выделить непрерывную ветвь функции агах.
П Из формулы (14) видно, что для того, чтобы функция (14) была однозначна в области Р, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента Л,агав не зависело от кривой 7, т. е. чтобы для любой замкнутой кривой 7, лежащей в области Р, гл. г. ввкдзнив имело место равенство Л,агйз = О. Другими словами, в области Р не должно быть простых замкнутых кривых, содержащих внутри себя точку з=О, т.
е. нужно, чтобы в области Р нельзя было обойти вокруг точки з = О (одяовременно вокруг точки г ). Такой областью является, например, вся комплексная плоскость с разрезом по неограниченной кривой, соединяющей гвс. 3$ точки с=О и з= . В такой области и в любой ее подобласти многозначная функция агя з допускает выделение однозначных непрерывных ветвей. Заметим, что значения функции (17) изменяются в пределах от — и до и: — и< агязсп, хе Р„а значения функции (18) — от О до 2пп О(агбз<2л, х~Р,. Но в случае произвольной области непрерывная ветвь функции агля может меняться в любых пределах.
Пример 5. Пусть Р,— вся комплексная плоскость с раа- г ревом по кривой г = — „е", О ~ г ( . Положим агя 5 = 2а. Тогда ага з = 2л+ Ь, агй г, где кривая 7 с началом в точке з,=5 и концом в точке з лежит в области Р, (рис. 31). В частности, вычисляя значения приращения аргумента, находим: агя ( — 6) = Зп, агя 7 = 4а„ агй ( — 4) — и, агя 3 = О, агя ( — 2) = -и, агя 1 = — 2а и т. д, ( ) Глава 11 РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ в 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана 1. Производная.
Пусть функция 1(г) определена в некоторой окрестности точки г,. Если существует конечный предел отно- шения ( о ' ( о при Ла — О, то этот предел называется Ьг производной функции 1(а) в точке а, и обозначается 1'(ао), а функция ((г) называется дифференцируемой в точке а,. Таким образом, о ( ) Пш ~(о+~) ~(о) (1) ьо- о Ьг Функция 1(г) яазывается дифференцируегоой в области, если оиа дифференцируема в каждой точке этой области.
Пусть гг1=1(а,+ Ьг) — 1(го). Тогда соотношение (1) примет внд Пш — = 1' (а,). (2) ь~-»о ~а Это означает, что для любого е) 0 существует б = б(з)) 0 такое, что неравенство — ~' (ао) ~ <- з имеет место, если 0 < 1ггг! < б. Из (2) следует, что Л( г'(го)Ьг+о(йа) (г1а- 0). Обратно, если прпращепие гг1 функции 1'(г) представляется в виде Ь/ Айа+ о(йг), (3) где А — комплексная постоянная, не зависящая от Ла, то функция Дг) дифференцируема в точке з, и А =1'(ао). Таким образом, равенство (3) является необходимым и достаточным условием дифференцируемостн функции 1(а) в точке ГЛ. 11.
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ г,. Из (3), в частности, следует, что функция, дифференцируемая в точке г„непрерывна в этой точке. Пример 1. Функция 1(г) = г" (и Р- 1 — целое) дкфференцируема во всей комплексной плоскости, так как 1иа ' = 1иа (1+ Л11" — г" . пг" 1Лг+ о(Лг] = пг'-1. (4) д* о д» о Лг Следовательно, (г") = пг"-'. ( ) (5) Из определения производной и свойств пределов вытекает, что на функции комплексного переменного распространяются известные из курса математического аналива правила днфферен- цирования. 1. Если функции 1(г) и у(г) дифференцируемы в точке г, то их сумма, разность, произведение и частное (при у(г)те 0) так- же дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства () ~ у) ' = 1' ~ д', (с~) ' = с/' (с = совз1), М'=Ге+И' ( —,) = ', '.
(6) 2. Если функция 1(г) дифференцируема в точке г, а функ- ция Г (и) дифференцируема в точке ю = 1(г), то функция Ф(г)=Р(1(г)) днфференцируема в точке г, причем Ф'( )=Р'( )1'( ). (7) Пример 2. Из формул (5) и (6) следует, что а) функция 1(г)=г, где т(0 — целое, дифференцируема во всей комплексной плоскости, кроме точки г=О, и (г")'= =тг" '; в частности, (г-1)' = ( —,) = — —,; б) многочлен Р„(г) = а,г" + а,г"-'+...
+ а„,г+ а„— диффе- ренцируемая во всей комплексной плоскости функция и Р„(г) = па,г' — 1 + (и — 1) а,г"-г + ... + 2а„гг + а Р 00 в) рациональная функция А(г) = ч имеет производную 0 () во всех точках, где Ч„(г)те О, причем формула для Л'(г)' имеет тот же вид, что и соответствующая формула для действитель- ных л. П В определении производной содержится требование, чтобы предел (1) не зависел от способа стремления Лг к нулю.
Это накладывает на дифференцируемую функцию комплексного пе- ременного аначительно более сильные ограничения, чем на диф- г ь условия кОши — РимАнА ференцируемую функцию действительного переменного. В 1 12 будет доказано, что функция комплексного переменного, дифференцируемая в области, обладает производными всех порядков в этой области. В 1 4 было отмечено, что непрерывность функции комплексного переменного ~(г) = и(х, у)+ (о(х, у) в точке г = х+ (у равносильна непрерывности функций и и о в точке (х, у). Аналогичное утверждение не имеет места для дифференцируемости. Именно, требование дифференцируемости функции )(г) и+(о налагает дополнительные условия на частные производные функций иио, 2.
Условия Коши — Римана. Теорема 1. Для того чтобы функция )(г) и(х, у)+ +(о(х, у) была дифу)еренцируеиа в точке г х+еу, необходиио и достаточно, чтобы 1) (дункции и(х, у) и о(х, у) были ди1)4еренцируеиы в точке (х, у); 2) в точке (х, у) выполнялись условия Коши — Римана ди ди ди ди (8) дх ду ду дх Для производной )'(г) справедлива формула ди . ди ди ди Г (г)= — +( — = — — ( —. дх дх ду ду (9) Доказательство. Необходимость. Пусть функция ) (г) днфференцируема в точке г. Тогда в силу (3) имеем Ь| )'(г) Ьг+ е(р), (10)' где е (р) = о(р) при р - О. Здесь обозначено р = (Лг( = У(Лх)'+(Лу)'. Функция е(р) комплекснозначная, представим ее в виде е(р)= е,(р)+(е,(р), где функции е,(р), е,(р) принимают действительные значения.
Так как — -иО при р-э.О, то е (р) е, (р) е, (р) — -в.О, — '-э.О при р-е О, и поэтому р ' р е,(р) о(р), е,(р) о(р) (р- 0). (11)' Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые части, получаем Ли АЛх — ВЛу+е„ЛР=ВЛх+АЬу+е,. (13) Обозначим Ь| Ли+(Ло, )'(г)=А+(В и подставим в (10), тогда получим Ьи+(Ло=(А+(В)(Ьх+(Лу)+е,+(е.. (12) гл. и. Рвгйлягные Фйннции Тем самым доказано, что функции и, о дифференцируемы в точке (х, у). Из равенств (13) находим откуда следуют условия Коши — Ркмана и формула (9), так как ~'(г) А + ~В. Достаточность.
Пусть функции и(х, у) и в(х, у) дифференцируемы в точке (х, у) и пусть выполняются условия (8). Тогда имеют место равенства (13), где е, о(р), е,=о(р). Умножая второе из этих равенств на й и складывая с первым, получаем йи + 1Ло = АЛх — ВЛу + 1(Вох+ АЛу)+ е, + )е„ или о| =(А + )В) (Ьх+ зйу)+ з, + и„ Ь~=(А+ )В)М+ з(р), где е(р)= о(р), откуда в силу (3) вытекает дифференцируемость функции ~(г) в точке г. Теорема доказана. П р и и е р 3.
а) Функция е* = с* сов у + $е* зш у дифференцируема во всей комплексной плоскости, так как ди „ ди ди х . ди — = е" соз у = — — = — е" зш у = — —. ди дд ' дг дг' По формуле (9) находим ди . ди (е*)' = — + à — = е" сову+ и"'з1пу = е*, дх дх т. е.
(е*) ' е*. (14) б) Функции з1пг, созг, зЬг, сЬг дифференцируемы во всей комплексной плоскости, и их производные вычисляются по формулам (зшг) ' = соз г, (соз г) ' — з1п г, '(15) (гЬг)'=сЬг, (сЬг)'-зЬг. '(16) в) Рассмотрим функцию г х' — у — 12ху.
Имеем — = 2х, и ди ди ди ди — = — 2у, — = — 2у, — = — 2х, Условия (8)' выполняются ду ' де ' дд только при х у О, следовательно, функция ги дифференцируема только в точке г= О. () Пусть г=геи, тогда Дг) и(г, ф)+$и(г, ф), и условия Коши — Римана в полярных координатах имеют вид ди 1 ди ди 1 ди дг г дф' дг г дф' $ Ь УСЛОВИЯ КОШИ вЂ” РИМАНА Следовательно, (18) Пример 4. Пусть .Р— плоскость г с разрееом вдоль положительной действительной полуоси. а) Функция Ух= Уге"", где г ге"', 0«р(2п, удовлетворяет условиям (17) и поэтому Уг — дифференцируемая в обла-г-ю 1 сти Р функция.
По формулам (18) находим ( 'г г) = 2 ~/иеии г т. е. 2 х 2 у'х (19) б) Функция 1пг=1пг+йр (в=ге", 0(~р(2н)' удовлетворяет условиям (17) и (1п г)' = —. П (20) Складывая ди ди — и— ду дх дх ду эти равенства и учитывая, что проиаводные в силу их непрерывности равны, находим дги дги —, + —, = О. дх ду (21) Аналогично получаем д~и о~и —, + —, = О. дх ду~ Действительная функция и(х, у), имеющая в области Р непрерывные частные проиеводные второго порядка и удовлетворяющая уравнению (21), наэывается гармонической в области Р, а уравнение (21) — уравнением Лапласа, Выше было указано, что диффвренцируемая в области Р функция имеет производные любого порядка в этой области и, следовательно, обладает непрерывными частными проиэводными любого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
