1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Покажои, что р(г) есть первообразная функции )(г), т. е. не меняется. 4. Интеграл и первообразная. Пусть функция 1(г) определена в области )л, а функция Г(г) дифференцируема в этой области. Если р'(г) ~(г) для всех ежа, то функция р(г) называется первообраэной Яуннции /(г) в области Р. Теорема 5.
Если амуниция ~(г) диубуберенцируема в односвяэной области й, то она имеет в этой области первообраэную. Д он азат ельство. Рассмотрим функцию 9 9. Иптитвьпьнья теОРемА коши 81 Пусть г+ Лг — точка области Р, лежащая в достаточно малой окрестности точки г ж Р. Рассмотрим отношение .+ьо о о+До — = — ~ й1)й~ — ~й1).-1 = —,', ~ Ы)81. оо 'о (15) Покажем, что разность о = г(о+ ь.) — р() — 7 (г) стремится к нулю при Лг- О. *+о* Так как ) Ы~ = Лг ($5, пример 1), то *-оьо 1 т — 7'(г) й~ = 7' (г). (16) Используя независимость интегралов (15) и (16) от пути интегрирования, возьмем в качестве пути интегрирования отрезок, соединяющий точки г и г+ Ьг.
Тогда о-~-ьо о= "*+;*,)-"'-Иг) =-,' ~ (7(~)-~(г))й~, откуда о+ьо !о! ( — ) )7'(~) — 7(г) ! ! Ы~!. о В силу непрерывности функции 7'(г) в точке х для любого е) О найдется б=б(е)>О такое, что при )г — (! <б имеет место неравенство )Пь) — П )! <' (18) Так как в (17) ~ принадлежит отрезку (г, г+Ьг), то !г — ь! < < ! Лг! и, следовательно, неравенство (18) справедливо, если )Лг! <б.
Из (17) и (18) получаем )о)( — е!Лг), т. е. )О)< е, если )Лг)< б. Следовательно, существует р (о+ ьо) — р(о) ь о ьх т. е. У'(г) = ) (г) . Теорема доказана. Из доказательства теоремы 5 вытекает Следствие 3. Пусть функция )(г) непрерывна в области 7), и интеграл от втой функции по любой замкнутой кривой, ле- 6 ю. в. сидоров а ьо.
ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦНП хв есть первообразная функции 1(г). Заметим, что если Р(г) — первообразная функции ((г) в области Р, то функция Г(г)+С, где С вЂ” произвольная комплексная постоянная, также является первообразной функции ~(г) в области Р. Справедливо и обратное утверждение, а именно, имеет место следующая Т е о р е м а 6. Совокупность всех первообразных функции 1(г) в области Р определяется формулой Г,(г)+С, зде Р,(г)— какая-нибудь первообразная функции 1(г), а С вЂ” произвольная постоянная. Доказательство.
Пусть Р,(г) и Р,(г) — две первообразные функции Дг) в области Р. Тогда функция Г(г)=Г,(г)— — Г,(г) и+зо есть постоянная в области Р. Действительно, по условию Г'(г) = Рг(г) — Г,(г) =~(г) — 1(г) =0 для всех ди ди г юР. Отсюда следует ($7, формулы (8), (9) ), что ди ди = — = — =0 в области Р, и по известной теореме ив курса дх дд математического анализа получаем Р(г) -=сопзФ, т. е. Р,(г) =Р,(г)+ С, где С вЂ” комплексная постоянная.
Следствие 4. Нри условиях теоремы 5 любая первообразная Г(г) функции 7(г) выражается формулой Р(г) = ~)'($)ау, + С, (19) хз зде С вЂ” комплексная постоянная. Следствие 5. При условиях теоремы 5 имеет место формула Ньютона — Лейбница ) 7'(ь) И~ = Г (г,) — Г (г ). (20) Доказательство. Полагая в формуле (19) г = еп получаем С = Г(г,). Взяв, далее, в (19) г = г„находим зз х Г(гз) =) ~(Ь) аЬ+ С = ) 7'(Ь) Щ+ Р(г ), г~ хз откуда и вытекает равенство (20).
Следствие 8, Если функции 1(г) и д(г) удовлетворяют условиям теоремы 5, то справедлива формула интегрирования жащей в области Р, равен нулю. Уезда функция Г(г) = д 1(ь)аь з !З. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ по настал: (21» где интеграл берется по любой кривой, ле:кащей в области Р, является в силу теоремы 6 первообразной для функции у(г) и Г'(г)= 1/г. Однако, функция Ф(г) = — ) —, г~ Р, Гас 1 неоднозначна в области Р, так как ) — =2пгчьО. [) Г е~ 3 ~= р ! 3 10.
Интегральная формула Коши Из интегральной теоремы Коши вытекает одна из важнейших формул теории функций комплексного переменного — интегральная формула Коши. Теорема. Пусть функция !(г) дифференцируег!а в одно- связной области Р и пусть простая замкнутая кривая ( лежит в Р и ориентирована положительно. Тогда для любой точки г, св т ,~ Г(1) у'(ь) ~~=У(ь)у(ь)) ~.,' — 11'(ь) у(ь) дь.
$0 *о До к а ватель с тв о. Интегрируя тождество ~у' =(!Е)'— — уф' и пользуясь формулой т ~ (ф)' д~ = ~(г,)у(г,) — 1(г,)д(~,) = [~(Дд(Ь)) [,', *о получаем равенство (21). Отметим, что интегралы от дифференцируемых элементар- ных функций комплексного переменного в односвязной области вычисляются с помощью тех же методов и формул, что и в слу- чае действительных функций. Так, например, 1 г гпт! ге+! е~д~ = е*ь — е*!; ~"аь = ' ' (и) 0 — целое). е! Пример 1. Функция ~(г)= 1/г днфференцируема в неод- носвязной области Р; О( Ь~ ('. Пусть Р— односвязная об- ласть и пусть Р != Р. Тогда функция Гв~ Р(г) = ) —, г~Р, 1 ГЛ.
П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 84 л = —, ) — г)" ь= Х, + 1 (г), 1 Г 1(Р (2) и позтому для доказательства формулы (1) достаточно устано- вить, что Х, = О. В силу непрерывности функции 1(ь) в точке г для любого е ) О найдется такое б = б(е)) О, что неравенство )1(Ь)— — 1(ег) ! < Е ВЫПОЛНЯЕТСЯ ПРИ (ь — г! < б. Следовательно, ! < 1 (' )1(~) — 1(г) ! ~~ < -2л,) )ь — г! с, < — — ) )д~)=е, 1 г 2л р ср если р ~ 6. Учитывая, что г', не зависит от р, получаем Хг О, т.
е. г 1(з)„Формула (1) доказана. Замечание 1. ПустьР— ограниченная односвязная обграницей Г и пусть функция 1(г) диф- Р и непрерывна вплоть до ее границы. г, лежащей внутри Р, имеет место Рвс. 48 ласть с кусочно гладкой ференцируема в области Тогда для любой точки лезсаи)ей внутри (, снраведлива формула (1) 7 Формула (1) называется интегральной формулой Кожи. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Функция 1(ь)l (ь — г) дифференцируема по ь в области Р с выколотой точкой г. Выберем р так, чтобы круг (~ — з! < р вместе с его границей С,: )ь — г! — р лежал внутри (. Тогда, используя следствие 2 из интегральной теоремы Коши (1 9, формула (13)), получаем (рис.
45) У = — — г!ь = — — аь = 1 Г((г) 1 Г уа) 2лг,! ~ — г 2лг,) ~ — г ср — 2лг .) 1 Г 1 (ь) — 1(г) + / (г) 1 Г аь гК Х + 1(г) —. ) —, 1 2лг,) à — гг ср ср где Х,= — ~ Гг Ф вЂ” 1(г) Г а~ 2лг,) ( — г сЦ. Так как — ) — = 1 (з 5, пример 2л1 .) ~ — г = ср ср 3), то Е 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ формула (4) = 2„) У (г, + Ре' ) й0р. 1 Г 0 Формула (5) доказана, (3) г Формула (3) доказывается так же, как и формула (1); при этом используется теорема 4 2 9. Эта формула остается в силе и в том случае, когда Р— многосвязная область. Доказательство формулы (3) для случая многосвязной области аналогично до- казательству формулы (12) $9. С помощью формулы (3) значение функции 1(г) внутри об- ласти выражается через ее значения на границе атой области.
Отметим частный случай формулы (3). Пусть функция Щ дифференцируема в области Р и пусть ( и (, — простые замк- нутые кривые ((, лежит внутри 7), образующие границу обла- сти Р, с Р (см. рис. 44). Тогда для любой точки г ев Р, спра- ведлива формула ~ (г) = — ) — аэ — — ) — с(Ь. 1 Г1(Р 1 Г1( — 2а1,) 4 — г 2а1 3 ~ —. 7 70 В формуле (4) кривые 7 и (, ориентированы положительно.
Замечание 2. Если в правой части формулы (3) г при- надлежит внешности кривой Г, т. е. г лежит вне,б, то подын- тегральная функция дифференцируема по ~ всюду в Р и по теореме Коши интеграл равен нулю. Таким образом (' 1(г) (1(г), ген Р, 1(), гвнеР. р а о среднем. Рус уун руема в крузе К: ~г — г,! (Л и непрерывна в замкнутом крузе К. Тогда значение этой 1дункции в центре круга равно средне- му ари4метическому ее значений на окружности, т. е. ~(г,) = — „) ~(г, + Леьт)йр.
(5) 0 Доказательство. Пусть в формуле (3) Г есть окруж- ность радиуса Л с центром в точке г,. Тогда ь = г, + Ле", О ~ ц < 2я, аь =1Ле"сйр, за Гу(Г1ВГ 1 Г 1(.,+псе) я000 у4г) = — ) — = — ) ',- дц = 0 2а1.) Ь вЂ” х 2к13 пеев г 0 0 ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 86 Теорема о среднем для гармоничесних функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
