1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 17
Текст из файла (страница 17)
5. Нули регулярной функции. Точка г а называется нулем регулярной функции ~(г), если 1(а) = О. Полученный ряд ~(г) = ~ Ь„]Ь(г) — Ь]" = ~ сь (г — а)" й е ь=з заведомо сходится в круге ]г — а! < В„ где Л, выбирается так, чтобы прн ]г — а! < В, выполнялось условие ! и — Ы = = ]Ь(г) — Ь! <В.
5. Переразложение степенного ряда. Отметим следующий частный случай подстановки ряда в ряд. Пусть ряд ФО 1 (г) =,')"„с„(г — а)" сходится в круге К: ]г — а! <В и пусть Ь вЂ” некоторая точка, лежащая в круге К. Представим г — а в виде г — а =(Ь вЂ” а)+(г — Ь). (30) 9 $г. сВОйстВА РБГуляРных Функций 99 1. Пусть а ~ — нуль функции /(г). Рассмотрим разложение функции /(г) в степенной ряд в окрестности точки г=а: Ы / (г) = ~~~ с (г — а)". (33) Так как точка г а — нуль функции /(г), то с, = /(а) = О. Пусть в формуле (33) с — первый отличный от нуля коэффициент разложения (с,= с, =...
с„, =О, с„~ О)„т. е. /(г)= с„(г — а) + с +,(г — а)"+'+..., с Ф О. (34) где ряд Ь(г)= с„+ с э,(г — а)+... сходится в том же круге, что и ряд (34). Следовательно, функция Ь(г) регулярна в точке г а, причем Ь(а)- с„чь О. Итак, если г = а — нуль порядка т функции /(г), то справедлива формула /(г) (г — а) Ь(г), Ь(а)чьО, (36) где функция Ь(г) регулярна в точке г = а. Обратно, если функция /(г) представляется в виде (36), где функция Ь(г) регулярна в точке г=а, то имеют место формулы (35) и (34), т. е. точка г = а является нулем порядка т функции /(г). 2.
Пусть г = сс — нуль функции /(г). Так как функция /(г) регулярна в точке г = ° (и. 4 9 7), то ° 0 /()=.+ Х вЂ” „". И=1 (37) По условию, с, =/( )=О. Пусть с — первый отличнъ»й от нуля коэффициент ряда (37), т. е. с, = с, =... = с, = О, по с чь 0 (число т нааывается порядком нуля г = фуякции /(г) ). Тогда с„1 / с /(г) = ~~ — „= — ~с + — + ...), с. с» с" г (38) откуда /(г) = г "»г(г), 1Р(<~») = с» чь О» где функция $(г) регулярна в точке г = 7с (39) Тогда число т называется порядком (или кратностью) нуля г =а функции /(г). Так как с, /<"1(а)/(Ь)) (Ь = $, 2, ...), то порядок нуля г а функции /(г) равен наименыпему порядку производной этой функции, отличной от нуля в точке г = а. Равенство (34) можно записать в виде /(г)=(г — а)"(с„+ с„+,(г — а)+...1, ГЛ.
11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 100 Обратно, если функция 1(г) представляется в виде (39), где т > 1 — целое, а $(з) — регулярная в точке х функция, то имеет место формула (38), т. е. точка г является нулем порядка т функции 1(г). Таким образом, доказана Теорема 6. Точка аФ тогда и только тогда является нулем порядка 1п функции 1(г), когда эта функция представляется в виде 1(г) (г — а) Ь(х), где функция Ь(г) регулярна в точке а и Ь(а)~ О, Аналогично, представление функции ~(х) в виде 1(з) = = г-"10 (г), где 10(г) — регулярная в точке з функция, 1Р( )чьО, т>1 — целое, является необходимым и достаточным для того, чтобы точка г = была нулем порядка т функции 1(з). Следствие 6.
Если точка а является нулем порядка т для функции ~(г), то для функции у(г) ()(х))Р (р>1 — целое) вта точка является нулем порядка рт. Замечание 4. Вытекающая из равенства (36) асимптотическая формула 1(з) с„(г — а) ", с ~ О (з - а) (40) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы регулярная в точке а чь» функция дз) имела в атой точке нуль порядка т. Аналогично, функция г(з), регулярная в точке з = , имеет в атой точке нуль порядка т в том н только в том случае, когда ~(г) —, А~О (г — 1 оо).
(41) Формулы (40) и (41) можно принять в качестве определения порядка нуля соответственно в точке з а (аФ о) и в точке г= Пример 5. Функция ~(з) = зш — имеет нули первого порядка в точках хь= — (Ь= ~1, ~2...,) и в точке з= оо. П 1 Ьл Пример 6. Функция Яз)=(в*+1)* имеет нули третьего порядка в точках з, (2Ь+1)яг, Ь О, ~1, ~2, ... Д Пример 7. Функция 1(з) = е1М имеет нули шесто(,Р+'1) ( 1+4)11 го порядка в точках зг е1"+с"о*, Ь О, 1, 2; точка з является для етой функции нулем четвертого порядка: 16 т ~(з) -~- етм — (з-1- оо) П г г 4 Декан<ем следующую теорему о нулях регулярной функции: Теорема 7. Пусть функция 1(з) регулярна е точке а и 1(а)=0.
Тогда либо )(з) 0 в некоторой окрестности точки а, г 13. ОВРАтнАя Функция 5 13. Обратная функция 1. Теорема об обратной функции. Термин «обратная функция» был введен в п. 1 $8. Дадим болев подробное определение обратной функции. Пусть функция «о=1(г) определена на множестве Е и пусть Е' — множество значений этой функции (рис. 46). Тогда для каждого значения «о «и шЕ' имеется одно или несколько значений гш ® 1 О ш Е таких, что 1(г) = = «о, т. е. для каждого «=гач «ею Е' уравнение 1(г) «о (1) имеет одно или несколько решений гш Е.
«=а«ч Эти решения определяют на множестве Е' функцию г = Ь ( и1 ), которая называется обратной к функции «о=((г). Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции «о = ~(г), нужно для каждого и1 ~ Е' найти все решения уравнения (1). Из определения обратной функции следует, что на множестве Е' имеет место тождество Рис. 46 ДЬ(«о)) = й. Приведем достаточные условия, при которых обратная функция регулярна. Теорема об обратной функции. Пусть функция ю = 1(г) регулярна е точке г, и пусть 1'(г»)Ф О.
Тогда либо существует такая окрестность точки а, е которой нет нулей функции ~(г), отличных от а. Доказательство. Возможны два случая: 1) все коэффициенты ряда (ЗЗ) равны нулю, тогда ~(г)= О в некоторой окрестности точки а; 2) существует такое число т>1, что с, = =с, ...=с, О,нос ФО. Во втором случае точка а является нулем порядка т функции 1(г) и, следовательно, по теореме 6, ~(г)=(г — а)"Ь(г), где Ь(г) — регулярная в точке а функция, Ь(а)ФО. В силу непрерывности функции Ь(г) из условия Ь(а)ФО следует, что Ь(г)чь -т-О в некоторой окрестности точки а.
Итак, существует окрестность точки а, в которой нет нулей фун»щии ((г), отличных от а. Следовательно, нули регулярной функции изолированы. 102 ГЛ, П, РЕГУЧЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 1) существуют круг К: (г — г,(<р и круг К': (ш — ш,(.=р', ш, = 1(г,), такие, что для каждого ш ~ К' уравнение (1) имеет единственное решение г=й(ш), еде г>НК; 2) функция г Ь(ш), обратная к функции ш=((г), регу- лярна в точке ш;, 3) в некоторой окрестности точки ш, имеет место формула й'(ш) =- —, 1 1 1' (>) 1' (з (а ) Г (2) Доказательство.
Полагая г=х+>у, ш и+(о, заме- ним уравнение (1) эквивалентной системой уравнений и(х, у) и, о(х, у) о. (3) Якобиан г(х, у)=*г(г) отображения (3), равный )1'(г) Р в силу формулы (14) т 8, по условию отличен от нуля в точке г,= х,+>у, и, следовательно, отличен от нуля в некоторой окре- с,тности этой точки. В силу известной теоремы из курса математического анализа (см. (О)) в некоторой окрестности точки ш, и,+(о, существу- ет однозначное непрерывное отображение х х(и, о), у = = у(и, о), обратное к отображению (3). Это означает, что су- ществует круг К'> (ш — ш,! ( р' такой, что для каждого шшК' уравнение (1) имеет единственное решение г = х (и, о)+ >у(и, о) = й(ш), такое, что гюК и г Ь(ш) — непрерывная функция. Остается доказать, что функция й(и>) регулярна в точке ш,.
Пусть шшК' и ш+Лш~и К'. Рассмотрим отношение Лг/Лш, где Лш~О, а Лг Ь(ш+Лш) — Ь(ш). Заметим, что если ЛшчьО, то ЛЕ~О, так как функция ш=1(г) взаимно однозначно отображает достаточно малую окрестность точки г, на окрестность точки и>,. Рассмотрим тождество д' = 1й. (4) Пусть Лш- О; тогда в силу непрерывности функции Ь(ш) имеем Лг- О. Перейдем к пределу ври Лг- О в правой части равенства (4). Этот предел существует прн любом способе стремления к нулю величины Лг, так как функция ш =1(г) дифференцируема в окрестности точки г„и равен —,. Следователь- 1' (г)' но, существует предел левой части равенства (4) при Лш- О и имеет место формула (2). Теорема доказана. 2.
Функция 1'г. Рассмотрим функцию ш=г'. Для нахождения обратной функции нужно решить уравнение (б) г 13. ОБРАтнАя Функция относительно г. Уравнепие (5), как известно (и. 5 $1), при вФО имеет два решения. Если одно из решений уравнения (5) обозначить через Уи, то другое решение есть — Уи. Таким образом, функция г= Ь(ш), обратная к функции и= г', является двузначной. Заметим, что функция и =с* определена во всей комплексной плоскости г и множество ее значений совпадает со всей комплексной плоскостью ю. Естественно поставить вопрос о существовании и способе построения однозначной непрерывной функции такой, чтобы ее значение в каждой точке области Х> совпадало с одним из значений двузначной функции, обратной к функции и = г'. Будем, как обычно, обозначать независимое переменное г, а функцию ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
