1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть функция и(г) = и(х, у), г = х+ гу, гармоническая в круге К: Ь вЂ” го! (Я, непрерывна е замкнутом круге К. Тогда и(г,) = — „) и(г, + Лгое) дгр, Р (6) о Доказательство. Пусть Дг) — регулярная в круге К функция такая, что Не~(г)= и(г). По теореме о среднем У(го) ' 2 ) У(го + Ргоо) а1Р О < Р <го' (Э о Отделяя н формуле (7) действительные части, имеем и(го) = у ) и(го+ Рсзо) ИЧ, у о откуда, переходя к пределу при р- В, получаем формулу (6). й 11.
Степенные ряды 1. Область еходимоети степенного ряда. Степсннйм рядом называется ряд вида „"", с„(г — а)" о о где а, с„(п О, 1, 2, ...) — заданные комплексные числа, г— комплексное переменное. При а О ряд (1) имеет вид СО ~Р его (2) о=о Очевидно, все свойства степеннйх рядов вида (2) справедливы и для рядов вида (1). Областью сходимости степенного ряда (2) называется мнот жество всех точек г, в которых ряд (2) сходится. Точка г=О всегда принадлежит области сходимости степеннбго ряда (2). Существуют с те пений е ряды, которые сходятся только при г = О (пример 3), Пример 1. Ряд 2„'( — 1)"г" сходится при Ы с1 и расо ходится при !г! > 1.
П 5 и. ствпкннын Ряды В7 ~Ч Пример 2. Ряд ~, сходится во всей комплексной плов н=а " скости, так как для любого г можно указать такое п„что при и) и, имеет место неравенство !г/п! < 1/2, т. е. Ь"/и"! (1/2", откуда вытекает сходимость ряда в точке г. ! ! СЮ Пример 3. Ряд ~ п"г" сходится лишь при г =О, так как о=О если г ФО, то при и > 1/!г! имеем !пг! ) 1 и !пг!" > 1 (не выполняется необходимое условие сходимости ряда). ( ! Теорема 1 (теорема Абеля), Если степенной ряд (2) сходится в точке г, тьО, то он абсолютно сходится в круге К,: !г! ( !г~!, а в любом меньшем круге К,: !г! ~ В, !г,! этот ряд сходится равномерно. Доказательство.
В силу сходимости ряда (2) в точке г, имеем 1пп с„г,", = Оп, следовательно, существует такая постоянная М ) О, что для всех п имеет место неравенство !с ге !(М, Пусть г — произвольная точка круга К,. Тогда !с„г"! = ~с„ге" 1~ — ~ (Мд", ! а (3) В =1/1, 1= 11ш)/!сз! (4) Доказательство формулы (4) см. в 111. где д = !г/г~! ( 1, н из (3) вытекает абсолютная сходимость ряда (2) в круге К,. Если гжКо то !с„г"!(М[г/г !" Му"„где о, В,/!г,! (1 не зависит от г, и по признаку Вейерштрасса ряд (2) сходится равномерно в круге Кь Пусть Л вЂ” точная верхняя грань расстояний от точки г О до точек г, в которых ряд (2) сходится.
Тогда при (г! ) В этот ряд расходится. Из теоремы Абеля вытекает Следствие 1. Ряд (2) сходится в круге К: Ы (В, а в любом меньшем круге !г! ( В, ( Х этот ряд сходится равномерно. Круг К называется кругом сходимости, а его радиус В— радиусом сходимости ряда (2). В точках окружности !г! = Л ряд (2) может как сходиться, так и расходиться. Если ряд (2) сходится только при г О, то его радиус сходимостн Л О, а если он сходится во всей комплексной плоскости, то В= Радиус сходимостн ряда (2) определяется формулой Коши— Адамара гл. и. гать лягныв Фгнкц|пг Рассмотрим ряд ;Е д~:пгч 1 а=г составленный из производных членов ряда (2). Так кан Пщ т и = 1, то из (4) вытекает ч аэ Следствие 2. Радиус сходияости ряда (5) равен радиусу сходииости ряда (2).
2. Почленное дифференцирование степенного ряда. Теорема 2. Пусть радиус сходииости степенного ряда 7'(г) = ~ с г" равен В (В ФО). Тогда гтот ряд можно почленно дифференцировать в круге Ь~ (В любое число рав. Получаемые при дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходииости, что и ряд (6). Доказательство.
Рассмотрим ряд Я(г) ~ пс г1-1 (7) в 1 (5) составленный из производных членов ряда (6). В силу следствия 2 ряд (7) сходится равномерно в круге К,: )г! -= В, (В и его сумма д(г) непрерывна в К,. Покажем, что функция )(г) дифференцируема в круге К, и К(г)- 1'( ). (8) Пусть 7 — произвольная кривая, лежащая в круге К, и соединяющая точки О и г. Тогда (3 9) к ~1'д1 = — „*"",. о висит от пути интегрирования, получаем со О ~ Я (~) <Ц = ~ ~ пс„~" 'еа, = ~~.", с„г". (10) Следовательно, ) по~~ д~=с„г", п=1,2, ...
(9) о Интегрируя почленно по кривой 7 (п. 2 З 5) равномерно сходящийся ряд (7) н учитывая, что интеграл ) Я(ь)аь ие аа- е $ !2. свойства Регулягных Фхпкции Из (10) и (6) находим 1 ) К(Рд~=1(г) — ' о (11) с =~(а), с = — (п=1,2, ...). лп~ (е) (13) Доказательство.
Применяя теорему 2 к степенному ряду (12), получаем ~'"'(г)= п|с„+(и+ 1)!с„,(г — а)+... (14) для всех э~К. Полагая в (14) и (12) э = а, приходим к формулам (13). Из формул (13) вытекает единственность разложения функции в степенной ряд. ~ч 1'"'(о) Степенной ряд т, — (г--а)" называется рядом Тейлора н! я=о функции Дг). Таким обрааом, всякий степенной ряд (12) в его круге сходимости есть ряд Тейлора суммы этого ряда. 5 12. Свойства регулярных функций Определение регулярной функции было дано в $7 (и.
4). Б этом параграфе будет доказана эквивалентность понятий дифференцируемости и регулярности в области и рассмотрены свойства регулярных функций. 1. Регулярность дпфференцвруемой в области функции. Теорема 1. Пели функция 1(г) дифференцируема е области Х), то она регулярна в этой области.
В силу следствия 3 $9 функция ) 8 (~) аь является первообо разной для функции о(г) и, следовательно, Я(г)= Г'(г). Таким образом, функция г'(г) дифференцируема в круге К, и имеет место равенство (Я), т. е. ряд (6) можно почленно дифференцировать в круге К,. Но радиус Л, круга К, можно взять сколь угодно близким к Л, н поэтому ряд (6) можно почленно дифференцировать в' круге К. Операцию почленного дифференцирования, очевидно, можно применить к ряду (6) любое число раз. Теорема доказана.
Следствие 3. Коэффициенты с„степенного ряда ОФ 1(г) =,г' с„(г — а)", (12) о сходягцегося в круге К: !г — а~ ( Н (Л ~ О), определяются формулами ГЛ. П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 90 Доказательство. Пусть г а — произвольная точка области Р. Рассмотрим круг К: !г — а) < р, р х О, лежащий в области Р вместе со своей границей (х: (э — а( = р. Пусть г— произвольная точка круга К. В силу интегральной формулы Коши ((г) = —. ) — д~. Г ( (4) (1) тр 1 Разложим функцию — в ряд (геометрическую прогрессию) по степеням г — а: 1 1 У (х — а)" 4 — х / х — ах ~й аа+х' (4 — а) ~1 —:~ а=р « вЂ” ') (2) Если ~ ж "(„то (ь — а(=р, ~ — ~= — х 1, (х — а( (х — а( и, следовательно, ряд (2) сходится равномерно по ~ на окруж- ности (, (признак Вейерштрасса).
Ряд — = .т, (г — а)", ( (4) '~ ( (4) 4 — х гхх (4 а)а+х полученный из ряда (2) умножением на )(~), также сходится равномерно на у„так как функция )(9) непрерывна и, следова- тельно, ограничена на (х. Интегрируя почленно по (, ряд (3), в силу равенства (1) получаем 1(г) = ~ с„(г — а)", (4) где 2ах 0 (4 ~)а+х (5) (1-а!=р Ряд (4) сходится в круге К: (г — а) ( р, а это означает, что функция 1(г) регулярна в точке а. Так как а — произвольная точка области Р, то функция )(г) регулярна в области Р.
Теорема доказана, Из теоремы 1 и теоремы 4 9 7 вытекает Следствие 1. Для того чтобы (дуннция )(г) была регулярна в области Р, необходимо и достаточно, чтобы она была диЯференуируема в этой области. Таким образом, в области .Р понятия дифференцируемости и регулярности эквивалентны. Отсюда и из свойств дифференци- 91 я гз. сВОйстВА РБГуляРных Функции руемых функций (9 7), в частности, вытекает, что если функции 1(з) и у(з) регулярны в области Р, то их сумма, произведение и частное (при условии у(з)~ О) также регулярны в областиР. Аналогично, если функция ~(з) регулярна в области Р, а функция Р(й) регулярна в области С и если множество значений функции и~ = 1(з) (з ~.0) принадлежит области 6, то функция Ф(з) Р(1(з)|регулярна в Р. Из доказательства теоремы 1 вытекает Следствие 2. Ряд (4) заведомо сходится в круге )з — а! ( (Ио где И, — расстояние от точки з =а до границы области Р, в которой функция 1(з) дифференцируема.
Поэтому радиус сходимости степенного ряда (4) не мепыпе, чем Ио Следствие 3. Если функция ~(з) регулярна в круге К: (з — а! (И, то она представляется рядом Тейлора 1(з) = лт, (з — а)", 1'"'( ) сходящимся во всем круге К. С л е д с т в и е 4. Если функция 1(з) регулярна в точке з а, то она регулярна в некоторой окрестности этой точки. Доказательство. Регулярная функция 1(з) представляется в некотором круге К: )з — а! ( р сходящимся рядом (4) и, следовательно, дифференцируема в атом круге (9 11, теорема 2). Но по теореме 1 функция 1(з) регулярна в круге К.
Это означает, что если з, ~я К, то п)=Х .( —.)". в=о Полученный ряд сходится в некотором круге )з — з,! (р„ р, >а, где а' — расстояние от точки з, до границы круга К. Замечание 1. Функция, дифференцируемая в точке з а, не обязана быть регулярной в атой точке, так как регулярная в точке з — а функция дифференцируема не только в самой точке в=а, но и в некоторой ее окрестности. Так, функция Яз)=з дифференцируема только при в=О (9 7, пример З,в) и поэтому не является регулярной в точке з = О. 2. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции. Теорема 2. Если функция 1(з) дифференцируема в области Р, то она бесконечно дифференцируема в этой области.
Имеет место формула (6) тр где 7,— граница круга )ь — з! (р, лежащего в области Р. гл. Хг. Ркгулягные Фгнкцггп Доказательство. По теореме 1 функция ((г) регулярна в области Р. Пусть г = а он Р. Так как функция Дг) регулярна в точке г = а, то О ~(г) = ~ с„(г — а)", (7) о=о где ряд (7) сходится в некотором круге )г — а) ( р (р ) О). Согласно теореме 2 5 11 ряд (7) моягно почленно дифференцировать в круге )г — а( ( р любое число раэ н, в частности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
