1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 19
Текст из файла (страница 19)
109 я 15. Ан*литнчкснок пРОдОлжение Чаще всего будет использоваться следующий, ослабленный вариант теоремы единственности: Следствие 3. Пусть функция 1(з) регулярна е области Р и 1(з) О на некоторой кривой у, лежащей в Р, или е некотором круге К ~= Р. Тогда 1(г) = О е области Р. Теорема единственности является одним из важнейших свойств регулярных функций и лишний раз показывает, сколь сильно отличаются свойства диффвренцирувмых функций комплексного переменного от свойств диффервнцируемых функций действительного переменного. Пусть, например, функция 1(х) на некотором отрезке 1 действительной оси непрерывно дифференцируема, или дважды непрерывно диффервнцируема, или и раз непрерывно дифференцируема, или бесконечно диффвренцируема.
Пусть 1, <=1 — меньший отрезок, и на пем задана функция у(х), обладающая теми же дифференциальными свойствами, что и 1(х). Тогда существует бесконечно много функций 1(х), имеющих указанные дифференциальные свойства при х~1 и совпадающих с у(х) при х~1ь й 15. Аналитическое продолжение 1. Определение и основные свойства. Определение 1.
Пусть выполнены следующие условия: 1) функция 1(г) определена на множестве Е; 2) функция г" (г) регулярна в области Р, содержащей множество Е; 3) Р (г) = 1'(г) при г ы Е. Тогда функция Р(г) называется аналитическим продолжением функции 1(х) (с множества Е в область Р). Важнейшим свойством аналитического продолягения является его единственность. Теорема 1 (принцип аналитического продолжения). Пусть множество Е имеет предельную точку а, принадлежащую области Р. Тогда аналитическое продолжение с множества Е е область Р единственно. Доказательство.
Допустим, что функция 1(г), определенная на Е, имеет два аналитических продолжения г",(г), Р,(г) в область Р. Так как Г,(г) Р,(г) при в~Е, то, по теореме единственности, Р,(з)= Р (г) в области Р. В частности, если Š— кривая, лежащая в области Р, или Š— подобласть области Р, то существует не болев одного аналитического продолжения функции 1(г) в область .Р. Пример 1. Найдем аналитическое продолжение функции 00 1(г) = ч~~~ з". а=о ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ Этот ряд сходится н является регулярной функцией в круге К: )г! (1. Имеем Дг) 1/(1 — г), (г! (1.
Функция Р(г) 1/(1 — г) регулярна в области Р (это расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой 9=1) и 1т(г)= ~(г) при (г! ~ 1. Следовательно, функция г'(г) является (единственным) аналитическим продолжением функции ((г) с множества К в область Р. ( ! 2. Аналитическое продолжение экспоненты, тригонометрических и гиперболических функций. Функции е*, зшг, созг были введены в г 4. Покажем, что эти функции можно определить как аналитическое продолжение функций е*, зшх, созх.
Положим,по определению, 8Ш 8 (дг = —, СО89 ' 1Ьг = —, 9Ь г сЬ9 ~ 808 8 с(яг = —, 8(аз ' сЬ8 с(Ьг = —. 9Ь 8 и е* = л) и 8 Ряд в правой части сходится при всех г, поэтому сумма ряда регулярна прн всех г (2 12). Функция е* при действительных г=х совпадает с известной из анализа функцией е*. Следовательно, функция е* является аналитическим продолжением функции е" с действительной оси па всю комплексную плоскость. Введем следующее Определение 2. Фупкцня, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией. В частности, полиномы и е* — целые функции. Т е о р е м а 2. Пусть 1(г), у(г) — цель1е функции.
Тогда )(г) Е у(г), )(г)у(г), ((у(г)) — целые функции. Доказательство следует из определения 2 н свойств регулярных функций ($12). Введем функции зш г, соз г, 8Ьг, сЬг, определив нх как суммы степенных рядов: ОО 00 ( — 1]п 999+1 'ч,9 ( — 1)п гтп лй~ (28+ 1)( ' 49 (29)) 99+1 899 Так как все эти ряды сходятся при любых г, то функции 9!их, соз г, 8Ь г, сЬ г — целые. Кроме того, эти функции являются аналитическим продолжением функций з(пх, созх, зЬх, сЬх с действительной оск в комплексную плоскость. Введем функции гйг, с2йг, Фг, с$Ьг, полагая по опреде- лению в иь интвггллы, злвисящив от плглмктгл ш Функция 1я х регулярна при всех х Ф, при которых сов х Ф яьО, т.
е. при х~ — + кя, й = О, ~1, ~2, ... Функция с1ях регулярна при х чь Йя, функция 1й х — при х 4= 1( — + Йн), функция сВпх — при хчь уйя, где й= О, ~1, ~2, ... Иэ курса математического анализа и из элементарной тригонометрии известны теоремы сложения и ряд тождеств для тригонометрических и гиперболических функций при действительных значениях аргумента. Можно показать, что эти формулы остаются справедливыми и для комплексных значений аргумента.
П р и м е р 2. Покажем„что в(п' х + соз' х = 1 при всех х. По теореме 2 функция /(х)= в1в'в+сов'х — 1 — целая, так как в1пх, сов х — целые функции. Пользуясь тем, что ((х)= — О при действительных х, по теореме единственности получаем, что у(х)~О при всех х. П Пример 3. Покажем, что е'1+'г = в*~в*и (1) при любых комплексных х„х,. При действительных х„х, формула (1) справедлива. Пусть х, действительно и фиксировано, тогда левая и правая части равенства (1) — целые функции от переменного х,.
При действительных х, эти целые функции совпадают, следовательно, по теореме единственности, зги функции совпадают при всех комплексных х,. Итак, формула (1) верна при любых комплексных х, и при любых действительных х,. Пусть теперь х, комплексно и фиксировано. Тогда левая и правая части равенства (1) — целые функции от х,. Так как они совпадают при любых действительных х„то они совпадают при любых комплексных х,. Тем самым формула (1) доказана при любых комплексных х, и х~.
П $16. Интегралы, зависящие от параметра 1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра. Рассмотрим интеграл р(х) = ~ ~(ь, х) аь. (1) Т е о р е м а 1. Пусть выполнены условия: 1) "( — конечная кусочно гладкая кривая; 2) функция Я, х) непрерывна по (~, х) при ~ я у, хыР, где Р— область в комплексной плоскости; 3 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 11З 2. Аналитические свойства интегралызых преобразований. Наиболее употребительными в математической физике интегральными преобразованиями являются преобрааования Лапласа, Фурье и Меллина.
Пусть функция 1(1) определена на полуоси г> О. Ее преобразованием Лапласа называется функция Г(г) = ~в *11(г) аг (4) о Теорема 3. Пусть функция ~(г) непрерывна при 1~0 и удовлетворяет оценке ! У(г) ! < Се", 1> О. (б) Тогда ее преобразование Лапласа Р(г) есть функция, регулярная в полуплоскости Вез) а. Доказательство.
Воспользуемся следствием $ из теоремы $. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть 6~0, Вег> ~ се + б, г ) О. Тогда )~(г)е '~! < Се(а-ио о' < Се м Так как ~ Се е' с1г сходится, то, по признаку Вейерштрасса, е интеграл (4) сходится равномерно по г при Ве г > се+ 6 и функция Р(г) регулярна в втой полуплоскости. В силу произвольности 6 >0 функция Р(г) регулярна при Кег>сг. Преобразованием Фурье функции /(г), определенной на действительной оси, называется функция Р(г) = ) ем1~(8) бг.
(6) Теорема 4. Пусть функция Щ непрерывна при — < < г < и удовлетворяет оценкам )1(1)! <С1е-", г>0; )ф)! <С,е" г(0, (7) зде а) О, р ) О. Тогда ее преобразование Фурье Р(г) есть функция, регулярная в полосе -а < 1пт г < р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьем интеграл (6) на два интеграла: оо е р(г) = ~ е"1 7'(1) Иг + ~ ен1 ~ (г) бг ие рг (г) + г" (г). е СО В силу условия (7) и теоремы 3 функция Р,(г) регулярна в полуплоскости Ве( — ьг)) — а, а функция Р,(г) — в полуплоскости Ве(ьг) ) — р, что и доказывает теорему.
8 ю. в сидоров и др. гл, и. Регулягньте Функции В частности, если функция Яг) фннитна, т. е. ~(1) 0 при Ш > Т, и непрерывна при Ы «Т, то ее преобразование Фурье является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае т Е (г) = ~ е«»« ~ (~) ««». -т Преобразованием Меллима функции ~(«), определенной на полуоси с ~ О, называется функция р(г) =) с «(с)««с. (8) о Здесь 1* е*"', с>0, Теорема 5. Пусть у«ункция )(1) непрерывна при с>0 и удовлетворяет оценкам: 1У(г) ! С,г", О< г«1, Ц(г)1«с,гг, 1 г<, (8) где «с> р.
Тогда ее преобразование Меллина является «дункцией, регулярной в полосе — сс(Вез< — р. Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два интеграла с (г) = ) «' ' ~ («) «1» + ) с' ' ~ ('«) ««» — = р, (г) + р~ (г). е 1 Пусть 0(с«1, Вес>-а+6 и 6>0; тогда ~г» «»(») ! «с 1«-« 1 Так как) с~ 'д» сходится при 6>0, то, по признаку Вейеро штрасса, интеграл Е»(г) сходится равномерно по г при Вез> Рь — «х+ 6. В силу следствия 2 функция Р«(х) регулярна в полу- плоскости Ве х > — а, Далее, при гРь1, Вехе= — р — 6 и 6>0 имеем И -~1(«)! ( С,«-6-'. Из сходимости интеграла ) с ~д1 н следствия 1 вытекает, 1 что функция Р,(г) регулярна в полуплоскостн Вег( — р. Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соотношением: (М(~(1) )](г) = (Р(Де«) ))( — (г), (10) где (М(«р(Г)))(х) — преобразование Меллина, а («т(«р(1))3(х)— преобразование Фурье функции «р(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
