1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Значение А =0 функция е' ие принимает (такое значение называется исключительным для е*). Д 3 18. ОСОВЫЕ тоЧКН ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 135 Пример 17. Для функции ~(з)=э(пз точка з является существенно особой, и для каждого А уравнение 81пз А имеет бесчисленное множество решений: гь = — 1п(1А+ г'1 — А') + 2йя (й — любое целое). 1 Следовательно, функция 81п г не имеет исключительных значений.
П В заключение рассмотрим еще ряд примеров, связанных с определением типа изолированных особых точек. Пример 18. Пусть функции Дз) и я(з) регулярны в точке а, я(г)чьО. Тогда для функции Е(з) /(з)/б(з) точка з а является либо полюсом, либо точкой регулярности. В самом деле, если я(а) 8А О, то функция г (з) регулярна в точке а. Если точка а — нуль Функции б(з) порядка т и 1(а)8АО, то эта точка явлиется полюсом порядка т для функции г" (з).
Наконец, если точка а является нулем порядка я для ~(з) и нулем порядка т, для я(з), то при и ~ вг функция г'(з) регулярна в точке а, а при и ~ т точка а является полюсом порядка эз — я. В частности, функции 1яз регулярна во всей комплексной плоскости, кроме точек за= — + Йг (Й вЂ” целое), которые являются полюсами первого порядка. Аналогично, функция сад з пмеет полюсы первого порядка в точках У„ Ы (Й вЂ” целое) и не имеет других конечных особых точек.
() Р (8) Пример 19. Для рациональной функции В(з) = —, где 0 (8)' Р„(г) и 1,') (з) — многочлены степени п и т соответственно, не имеющие общих нулей, нули знаменателя () (г) и только зтн' точки являются полюсами. Других особых точек в конечной плоскости у функции Л(з) нет, Точка з= является особой, а именно полюсом порядка и — т, если и) я8, и точкой регулярности, если я ~ ш. '( ' Пример 20. Пусть х а — существенно особая точка для функции 1(з). Тогда дчя функции «(г) 111'(з) точка а является либо существенно особой, либо неизолированной особой (предельной точкой полюсов).
Действительно, если существует кольцо 0< Ь вЂ” а! (б, в котором 1(з)чьО, то точка а является изолированной особой точкой, а именно существенно особой для д(г) (прнмер: ~(з)=е"*, б(г)=е-"*, «=О). Если же в любой окрестности точки а имеются нули функции 1(з), то для функции д(з) зги точки являются полюсами и, следовательно, х = а— 1 предельная точка полюсов для функции д (з)(1(з) = 81п —, я(г) = =,1.(,Г =0) Б 13$ гл. нь Ряд лОРАнА. изОлиРОВАнные ОсОБые точки Пример 21. Для функции /(г) е""'' точки г„=йп (й О, ~1, ~2, ...) являются существенно особыми. В самом деле, гшг -( — 1)'(г — йл), г- йп. Пусть й — четное.
Тогда если г х- йп+О, то з!Лг- +О и /(г)- +, а если г х- йп — О, то В)пг- — 0 н /(г)- О, т. е. функция /(г) не имеет предела в точке г,. Аналогично рассматривается случай нечетного й. Других особых точек в конечной плоскости у функции /(г) нет. Точка г= является для функции /(г) предельной точкой существенно особых точек.
! ! Обобщим результат примера 21. Пример 22. Покажем, что если точка а является полюсом функции /(г), то для функции д(г)аае"*' зта точка является существенно особой. Пусть и — порядок полюса. Тогда по формуле (17) имеем /(г) А(г — а), АЧАО (г- а).
Полагая А !А!е'", г — а=геа, получаем /(г) - !А!г-"е" — '>. (27)' Рассмотрим луч 1,: г — а = ге'е1, где гр, яlи. Тогда из (27)' следует, что /(г)- !А!г " (г- О, гю1,), откуда Пш д(г) = оо. а ааи~ Аналогично, на луче г — а = ге, где ф, =(и+ л)/и, пме- М ем /(г) — — !А !г- и, следовательно, 11пп д(г) = О. Отсюда а аая1 следует, что функция я(г) не имеет предела при г- а, т. е. а— существенно особая точка для Ю(г). 5 3 Пример 23, Для функции/(г) = точки гь= — 1+ 61в— а+1 + я (й = ~ 1, ~ 2, ...) являются полюсами второго порядка, г — 1 есть предельная точка полюсов, а точка г 1 1 полюс пятого порядка: В)п — — —, /(г)- г' (г- ).
Других а+1 а' особых точек у функции /(г) нет. ! ! $19. Теорема Лиувилля Напомним, что функция /(г), регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой. Разложим целую функцию /(г) в ряд Тейлора 4а /(г) = ~ с г". (1) а-О Этот ряд сходится при всех г и, следовательно, является рядом Лорана для функции /(г) в окрестности бесконечно удаленной точки. 5 19. теОРемА лиувилля 137 Единственной особой точкой целой функции 7(г) в расширенной комплексной плоскости может быть точка г = . Если г= — полюс порядка и для целой функции 7'(г), то 7(г)— многочлен степени и.
Целая функция, для которой точка г является существенно особой, называется целой трансцендентной (примеры: е*, з1п г, созе). Если целая функция 7(г) регулярна в точке г =, то 7(г)'= =с,=сонат. Таким образом, единственный класс аналитических функций, которые не имеют особых точек в расширенной комплексной плоскости — это константы. Теорема 1 (Лиувнлля). Пусть целая у7ункция СО 7(г) = ~ч.", с„гь г=в удовлетворяет в области 1г~ > В, неравенству 17'(г) ! ( М1г!, и Р- Π— целое.
(2) Тогда 7'(г) — многочлен степени не вы1ае и. Доказательство. Используя неравенства Коши (п. 4, $17), в силу (2) получаем при В)В, следующую оценку для козффицнентов ряда (1): МВ" ~с„1<МЛ =ЛХВ" ", й=1,2, ... (3) Если й) и, то нз (3) следует, что с,=О, так как В можно взять сколь угодно большим, а кооффицненты с, не зависят от В. Итак, с„, = с 1., =...=О, т. е. 7(г) — многочлен степени не выше и. Теорема доказана.
Следствие 1. Если целая у1ункция 7(г) ограничена во всей комплексной плоскости, то она есть постоянная: 7(г) сопз$. Дока1кем с помощью теоремы Лнувнлля, что справедлива Основная теорема алгебры. Всякий многочлен Р„(г)' = с,+ с,г+...+ с„г (с„ФО, и > 1) имеет по крайней мере один нуль. Доказательство. Пусть многочлен Р.(г) не имеет нулей. Тогда функция у(г)=1/Р.(г) является целой. Так как функция у(г)- О при г- (Р„(г) с г", г- ), то эта функция ограничена во всей комплексной плоскости, и в силу следствия из теоремы Лиувилля получаем у(г) сопз$, что противоречит определению функции у(г). Итак, многочлен Р„(г) имеет по крайней мере один нуль.
Более общим, чем класс целых функций, является класс мероморфных функций. Определение, Функция 7(г) называется мероморфной, если в каждой ограниченной части плоскости она регулярна, за исключением, быть может, конечного числа полюсов. ц8 гл. пл вяд ловлнл. изоли|овлннык осовык точки Во всей комплексной плоскости число полюсов мероморф- ной функции может быть и бесконечным (примеры: сьу г, г вше' ее — — Рациональная функция является мероморфной и имеет во всей расширенной комплексной плоскости лишь ко- нечное число полюсов.
Справедливо и обратное утверждение, т. е. имеет место Теорема 2. евероморфная функция г(г)', имеющая во всей расиалренной комплексной плоскости лииь конечное число по- люсов а„а„..., а, (точка г= также может быть полюсом)', является рациональной и представляется в виде ~(г) =А+1е(г)+ ~ Ь.(г), (4) ь-1 еде ~,(г) и Яг) — главные части ряда Лорана для функции Г(г) в окрестностях точки г = и а„соответственно, 4 = Пш У (г) — Уе (г)!. 1-» ОО Доказательство. Пусть «вь ~ь(г)=~ Ь" .
и /,(г)=Агг+ ... +А г ж~ ( ь)з — главные части ряда Лорана для функции Г(г] в точках а„и г соответственно. Тогда функции а у(г) = /(г) — Ь(г) — Х 1ь(г) ь=г регулярна во всей расширенной комплексной плоскости и, сле- довательно, у(г) А сопзь. Так как 1ь(г) - О при г — ь (й = 1, 2, ..., в), то А = Пш У(г) — ~, (г)).
а~а Замечание т. Формула (4) представляет собой известное из курса математического анализа разложение рациональной функции на сумму простейших дробей (А+ Яг) — целая часть). Теорема 2 дает простой вывод этой формулы. Замечание 2. Можно показать (см. [Ц)', что всякая мера. морфная функция представима в виде отношения двух целых функций. Для мероморфных функций справедлива Теорема Пикара. Иероморфная функция, отличная от постоянной, принимает все комплексные значения, за исключе- нием, быть может, двух. Те значения, которые мероморфная функция не принимает, неяываются пикаровскими исключительными значениями. Так, функция Где имеет два исключительных значения ) и — г, т. е.
1у г чь ь3 ни при каких г. Глава $У МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $20. Покатив аналитической функции 1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей. Понятие аналитического продолжения играет исключительно ваи~- ную роль в теории функций комплексного переменного.
Обобщение этого понятия приводит к обобщению понятия регулярной функции — а именно, к понятию многозначной аналитической функции. Пусть даны две области ЄЄи пусть их пересечение Р„ непусто и является областью (рис. 53), Пусть функции ~,(х), ~,(з) регулярны в областях Р„,Р, соответственно, и пусть зтя функции совпадают в области Р„, т. е. Из) А(з), Тогда функция ~,(з) называется непосредственным аналити веским вродолзвением функции 1,(х) из области Р, в область Р,. Зто продолжение единственно по теореме едннственности.
% Рва 53 Пусть дана цепочка областей Ре Р„..„Р таких, что все пересечения Р,ПЦ+о 0<у<в — 1 непусты и являются областями (рис. 54). Пусть существуют функции ~,(з), ~,(х)', ... ..., ~„(з) такие, что каждая последующая функция Д+,(г) лжи~- ется непосредственным аналитическим продолжением предыдущей функции Д(з) из области Р~ в область Р, Это означает, что функции Яз) регулярны в областях Рз н что Ь(з) ®Ьм(з), з ж РзйР~+ь 1«0 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
