1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. Ц(г) ! <М, 0<!г — а! <р. (11). Если 0<р, < рт то из (11) в силу неравенств Копди ($17, формула (24)) имеем ~с„~~ М/р"д и= О, ~1, ~.:-2д (12) 9 Ю. В. Сгаогоо и яе. 130 гл. 111. Ряд ЛОРАНА. изОлиРОВАнные ОсОБые точки Так как в неравенствах (12) р~ можно взять сколь угодно малым, а коэффициенты с„не зависят от р„то с 0 при н ° = — 1, — 2, ..., т. е. главная часть ряда Лорана для фунлции 1(з1 в окрестности точки а тождественно равна нулю. Достаточность.
Если главная часть ряда Лорана для функции ((х) в окресткости точки а тождественно равна кулю, то 1(з) = с, + с, (з — а) + сг (з - а) ' +..., (131 где ряд (13) сходится в некотором кольце 0 ~ (з — а! ( р. Но степенной ряд (13) сходится во всем круге Ь вЂ” а! ~ р и, следовательно, существует, 11га у (з) с„т. е, а — устранимая осог-фа бая точка.
Из доказательства теоремы 1 вытекает, что условие '(10) можно заменить условием (11), т. е. справедлива следующая Теорема 2. Двя того чтобы изолированная особая точка а была устранииой особой точкой для 1бункуии 1(х), необходимо и достаточно, чтобы 4ункция 1(з) была регулярна и ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а. Замечание 2. Продолжив по непрерывности функцию 1(х), В ТОЧКУ а(1(а) =,'ИШ1(З) = Са), ПОЛУЧИМ РЕГУЛЯРНУЮ В ТОЧКЕ а а-~а функцию: 1(х) = ~~.", еа(з — а)", ) х — а) (р.
Этим оправдан термин «устранииая особая точка». В дальнейшем поэтому нередко устранимые особые точки будем рассматривать как точки регулярности. (е' — 1)' П р и м е р 10. Функция 1 (з) 1 регулярна в точке х =О, так как зта функция регулярна в проколотой окрестности точки з 0 и при з- 0 имеем в'- 1 х, (е* — 1)' х*, 1- соз х - х»/2, откуда следует, что 1ип т (х) = 2 (~(0) = 2). Д а Фв 1 Пример 11. Функция 1(х) =с1ух — —, регулярна в точке в=О, так как » 1 — — +... 'БГ+ '" где у(з) — регулярная в точке х О функции. П $ ПЬ ОСОНЫВ ТОЧКИ ОДПОЗПАЧНОГО ХАРАКТЕРА (31 4.
Полюс. Теорема 3. Для того чтобы точка ать была полюсом функции /(х), необходимо и достаточно, чтобы гта функция пред- ставлялась в виде /(г) (г — а) ф(г), ф(а) чь О, (14); где ц(х) — функция, регулярная в точке а, таз 1 — целое. Это число т называется порядком полюса а функции /(х). Аналогично, точка г является полюсом функции Цх) тогда и только тогда, когда /(х) «"Ь(г), Ь( ) т.
О, (15)' где Ь(г) — функция, регулярная в точке г дд, т~ 1 — целое (т — порядок полюса «=од функции /(х)). Доказательство. Пусть агь — полюс для Ях). Тогда функция /(х) регулярна в некоторой проколотой окрестности точки а и 11га/(г) оо, откуда следует, что )/(г)! ~ 1 (16) в некотором кольце К: О < )«вЂ а! < р (р выберем так, чтобы функция /(х) была регулярна в К). Рассмотрим функцию у(г) 1//(х). Эта функция регулярна в К, так как /(х) регулярна в К и не обращается в нуль в атом кольце в силу 'неравенства (16). Следовательно, а — изолиро- ванная особая точка для у(г).
Иэ (16) следует, что )у(х)! <1 в К, и по теореме 2 получаем, что а — устраннмая особая точка для у(х). Полагая у(а) = 1йп — = О, 1 г.,д У(г) получаем, что у(г) регулярна в круге (г — а! < р и точка а явля- ется ее нулем. Пусть гп — порядок нуля функции у(х). По теореме 6 1 12 (формула (36) ) имеем у(г) (г — а) "Ь(г), где функция Ь(х) регулярна в точке а, Ь(а)*гьО.
Отсюда получаем /(г) = — = (г — а) — ф(г), грб где ~р(х) 1/Ь(г) — регулярнал в точке а функция, $(а) = ° 1/Ь(а) ч~ О. Обратно, ие равенства (14) следует, что функция /(х)' реЮ- лярна в проколотой окрестности точки а и что 11ш/(х) = оо, д-~ д т. е. г а — полюс для /(х). Пусть г=д — полкю функции /(х). «(ак и в случае конеч- ной точки, точка х является нулем для функции у(г) 1//(х). Для еавершения доказательства достаточно применить теорему 6 $12 (формула (39)). яд 132 Гл.
Пь Ряд лОРАнА. изОлиРОВАнные ОсОБые точки Следствие 1. Иголировассная особая точка аФ является полюсом порядка та длл функции /(г) в том и только е том случае, когда имеет место асииптотическал форму,аа /(г)-А(з-а), АЧАО, з- а. (17), Аналогичная формула справедлива и в случае, когда полюсом порядка т для функции /(з) являетсн бесконечно удаленная точка: /(г) Вз, ВЧАО, г- (18) Из определений порядка нуля и порядка полюса (или иа формул (17), (18) и формул (40), (41) $ 12) вытекает, что полюс порядка пг можно рассматривать как нуль отрицательного порядка — и.
Теорема 4. Для тово чтобы изолированном особая точка а была полюсом для функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы главназ часть ряда Лорана для функции /(з) е окрестности точки а содержала лишь конечное число членов. Доказательство. Пусть точка ачьо — полюс порядка вз для функции /(г). Тогда имеет место формула (14). Разлагая функцию сг(г) в ряд Тейлора в окрестности точки а, получаем ряд Лорана для функции /(г) в окрестности точки а: с с 1 /(г)==+ ... + +с +с,(г — а)+ ...
(19) (г — а)"' с „ Его главная часть /1(г) = т „содержит лишь конечное (г — а)" число (не более пг) членов, причем с чьО, где пг — порядок полюса а. Обратно, нз равенства (19) вытекает формула (14)' и, следовательно, а — полюс для /(г) порядка пг. Теорема доказана для случая конечного полюса. Если полюсом функции /(з) является точка з, для доказательства теоремы следует использовать формулу (15).
Пример 12. Для функции /(г) = 1/з(п (1/г) точки з, 1/(йн) (/с ~1, ~2, ...) являются полюсами первого порядка, так как функция у(г) 1//(з) з1п(1/г) регулярна при ге" О, а точки г, являются ее нулями первого порядка (у'(зг)чьО). Следовательно, точка з О является неизолированной особой точкой (пре« дельной точкой или точкой накопления полюсов). Точка г = с— полюс первого порядка для Дз), так как /(з) - г (г - са).
( ) Пример 13. Для функции /(г)=(1 — созз)/(е* — 1)' точка з Π— полюс первого порядка, так как функции гр(г) 1 — соз г и гг(г) (е' — 1)' регулярны в окрестности точки г О и при г- О имеем 1 — созг- г/2, (е* — 1)' г', т, е.
/(г)-1/(2г). Точки гг=2)снс ()с=~1, ~2, ...) — полюсы третьего порядка г 1в. осовыи точки однозначного хияктква 1ЗЗ для Яг), так как зги точки являются нулями третьего порядка для функции ф(г), а <р(г,)чьО. Точка г ь является неизолированной особой точкой (предельной точкой полюсов) для функции /(г). Д 5. Существенно особаи точка. Теорема 5. Для того чтобы изолированная особая точка а была существенно особой точкой для функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки а содержала бесконечное число членов. Доказательство следует нз теорем 1 н 4. Пример 14.
Точка г=О является существенно особой для функции ОЭ /(г) = енг = 7, — „, чс~ 1 я!Р так как главная часть ряда Лорана дия е"' содержит бесконечное число членов. () Пример 15. Точка г ° является существенно особой для функции ге /(г) = соз г = ~е ( — 1)" — * ь о так как главная часть ряда Лорана для /(г) в окрестности точки г = содержит бесконечное число членов. () Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризует Теорема 6 (Сохоцкого), Пусть а — существенно особая точка для функции /(г). Тогда для любого комплексного числа А найдется последовательность точек (г„), сходящлгкся к точке а и такая, что 11гп/(г ) = А. ь~ ОО Доказательство. 1.
А = . Заметим, что функция /(г) не ограничена ни в какой окрестности точки а, так как в противном случае по теореме 2 точка а была бы устранимой особой точкой. Отсюда следует, что для каждого натурального и в кольце Х„: О<!г — а! <1/и найдется точка г„такая, что Щг„)! >и, т. е, г„ ~- а и /(га) -'- ~~ (и -~ ~~).
2. Ачь . Заметим, что если для любого е>О и для любого 6 > О существует точка гг (О < Ьг — а! < 6) такая, что 1/(гг) — А! <е, то теорема доказана (достаточно взять е=1/и, 6=1/и, к=1, 2, ...). Пусть указанное утверждение не выполняется. Тогда существуют числа г, > О и 6, > О такие, что дчя всех 134 гл. ив вяд ловлнл. изолнвовлннык осовык точки »: 0( !» — а! (6, имеет место неравенство !1(») — А! ~ с,.
Рассмотрим функцию (20) 1 1(Π— л' (21) Из (21) в силу (20) имеем ! д(») ! ( —, 0 ( !» — а ! ( 6,. г (22) Так как а — изолированная особая точка для 1(»)', то а является изолированной особой точкой н для у(») (у(»)чьО в кольце 0( !» — а! ( 6е в силу неравенства (20) ). По теореме 2 точка а является устранимой особой точкой для функции у(») н, следовательно, существует Пш у(») = В. (23) Иа (21) имеем г(») =А+ ~г, 0(!» — а!ч 6, (24) а из (23) и (24) получаем, что существует Пш1(») (конечный а прн Вчь 0 и бесконечный, если В=О), т. е. либо а — устраннмая особая точка для 1(»), либо а — полюс, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Приведем формулировку более глубокой теоремы, характеризующей поведение функции в окрестности существенно особой точки. Те о р е м а 7 (П и к а р а) . В любой окрестности существенно особой точки у)ункбия принимает, и притом бесконечное число раг, любое значение, кроме, быть может, одного. Проиллюстрируем теорему Пикара на двух примерах. Пример 16. Точка» с является существенно особой для функции 1(») е* (пример 3). Рассмотрим уравнение е* А, А'Ф'О. (25) Это уравнение имеет следующие решения: », 1п !А! +1(агдА+ 2йп)', (26)' где агяА — фиксированное значение аргумента числа А, й=О, М, ж2, ... Из (25) н (26) следует, что в любой окрестности точки» ь имеется бесчисленное множество точек х„в которых функция е* принимает значение, равное А (А чьО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
