1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Гт. ИНОГОзнАчные АнАлитическин Функции Тогда функция Х„(з) называется аналитическим продолжением Яункции Д,(х) вдоль цепочки областей Р.. Ро ..., Р„. Это продолжение единственно. Полученный набор регулярных функций (), («), Х, (г), ..., Х,(з)) определяет некоторую функцию Р(е). Ее значения даются формулой Г (з) = )~(г), з Й Рь Заметим, что «функция» г"(з) может оказаться неоднозначной! Действительно, цепочка областей Р„РО ..., Х1„может замкнуться, т.
е. область Р, может пересечься с областью Р„. Значения же функций Х,(з) и Х (з) в пересечении Р, й Р„не обязаны совпадать. Неоднозначность функдс ции г"(г) может возникнуть уже на первом шаге, если Р, й Р, состоит более чем из одной области. На о Ю р, рис. 55 изображен случай, когда 0 Р, й Р, состоит из области Рм и за- штрихованной области Юи.
Если Рис. 55 пРи гжРИ фУнкции Х,(е) и Х,(з) совпадают, то прн еж Р„зтифункции не обязаны совпадать, так что при зжРи либо г"(з)= Хс(з), либо Р(г) Л(з), и функция Р(г), вообще говоря, двузначна. Многозначная (вообще говоря) функция 7(з) по построению «составлена» или «склеена» нз однозначных элементов — регулярных функций Х«(з), Х,(з), „Х„(з).
Аналитической Функцией г"'(з) называется набор таких элементов, полученных из исходного элемента Х,(г) аналитическим продолжением по всем цепочкам областей, по которым продолжение возможно. Таким образом, аналитическая функции склеена из регулярных элементов (илн, как их еще называют, регулярных ветвей). Существенно, что по исходному элементу однозначно строится аналитическая фуНКЦИЯ. Более удобным понятием, чем понятие аналитического продолжения вдоль цепочки областей, является понятие аналитического продолжения вдоль кривой.
2. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Элементом в точке з«будем нааывать функцию Цз), регулярную в некоторой окрестности этой . точки. Два элемента называются эквивалентными, если они заданы в одной н той же точке и совпадают в некоторой окрестности этой точки. Отношение эквивалентности элементов транзитивно. В дальнейшем всякий элемент рассматривается с точностью до эквивалентности. Введем понятие аналитического продолжения элемента вдоль 'кривой. 5 20, пОнятие АНАлитическои Функции 141 О п р е д е л е н и е 1. Пусть на кривой т задана непрерывная функция «р(г), в каждой точке 4, кривой т задан элемент )«(г) и этот элемент совпадает с «р(г) на некоторой дуге (открытой, если ь — внутренняя точка т) кривой т, содержащей точку ь.
Тогда элемент 5,,(г) в конечной точке г, кривой т назы- вается аналитическим продолжением вдоль кривой Т элемента 1, (г), заданного в начальной точке г, кривой т. В этом случае говорят также, что элемент 1, (г) ан литиче- ски продолжен вдоль кривой (, или что этот элемент допускает аналитическое продолжение вдоль кривой (, Замечание 1. Функция, заданная на кривой (, является однозначной функцией от точек кривой "( (2 4). Именно, если кривая т задана уравнением 2 = о(т), и~1< р, то каждой точ- ке г, = о(1) кривой Т отвечает одно число р(г«) — значение функции «р в точке г«кривой "(.
Однако функция «р(г) как функ- ция от точек плоскости г может не быть однозначной, если кривая т имеет самопересечения. Замечание 2. Если влемент 1,,(г) можно аналитически продолжить вдоль кривой т, то его можно аналитически продол- жить вдоль некоторой цепочки областей, покрываютцей кривую "(. Далее, элемент 1,,(г) можно аналитически продолжить вдоль любой кривоп "(', достаточно близкой к кривой ( и имеющей те же концы. Зти факты будут доказаны в п. 5 (леммы 2, 3).
На- оборот, если данный элемент можно аналитически продолжить вдоль цепочки областей, то нетрудно показать, что его можно аналитически продолжить вдоль любой кривой, содержащейся в этой цепочке. Важнейшим свойством аналитического продолжения вдоль кривой является его единственность. Т е о р е и а.
Аналитическое продолжение данного элел«ента вдоль данной кривой единственно. Доказательство. Пусть дана кривая (: г=о(1), 0-= ~1(1, и пусть элемент 1,(г), заданный в начальной точке г,=о(О) этой кривой, можно аналитически продолжить вдоль кривой т. Тогда в каждой точке г,=о(1) задан элемент т',(г), и функция «р(1) т«(г,), 0 (1~ 1, непрерывна.
Допустим, что зто продолжение не единственно; тогда существует другое мно- жестзо элементов ~,(г) в точках г, кривой т, функция «р(1)= =7,(г,), 0 <1(1, также непрерывна, но элементы 1,(г), т (г) в конечной точке кривой не эквивалеитяы. Докажем, что «р(2) = «р(1) прн О < 1 ~ 1; тем самым теорема будет доказана. Действительно, элементы Л(г), ~«(г) совпадают на некоторой дуге кривой т, содержащей точку г„так как по определению эти элементы совпадают с функциями р и «р соответственно на не- которой дуге; по теореме единственности эти элементы тожде ственно равны в некоторой окрестности точки г,. $42 Гл.
Тт. мнОГОзнАчные АИАлитические Фэнкции Пусть М вЂ” множество всех таких г, что «р(г) у(8). Это множество содержит отрезок [О, 6), если 6 ) 0 достаточно мало. Действительно, элементы ~,(г), ~,(г) в точке г, эквивалентны и потому совпадают в некоторой окрестности этой точки, а стало быть, и на некоторой дуге т: г а(г), 0< 2~6, кривой (. Допустим, что М ть [О, Ц. Тогда существует гэ ) 0 такое, что у(г) «р(г), 0~8<ге, но в любой окрестности точки г* имеются точки, не принадлежащие множеству М. Из непрерывности функций <р, ~р следует, что ~р(ге)=~р(г*), так что г*жМ, и если Ге г, то теорема доказана. Пусть ге(1. Функции ~р(г), <р(г)' совпадают при Г~ге по условию; элементы ~~э(г), ~~*(г) совпадают с функциями у и ~р соответственно на некоторон дуге кривой т, содержащей точку гм по опведелению аналитического продолжения.
Следовательно, ~,е(г)=(~е(г) на некоторой дуге вида г а(г), г — а~ Г< гэ, и по теореме единственности эти элементы тождественно равны в некоторой окрестности точки г, . Поэтому множество М содержит некоторый отрезок вида [ге, ге+се), что противоречит определению числа г*. 3. Определение аналитической функции. Пусть в точке г, задан элемент ~(г). Продолн<им его аналитически по всем кривым с началом в точке г„по которым такое продолжение возможно; полученное множество элементов называется аналитической Яунниией, порожденной элементом ~(г). Множество всех таких кривых назовем множестеом допустимых кривых. Это определение аналитической функции принадлежит К.
Вейерштрассу. Две аналитические функции по определению равны тогда и только тогда, когда их исходные элементы эквивалентны. В силу теоремы из п, 2 существует только одна аналитическая функции, порожденная данным элементом. Этот элемент называется также ростком аналитической функции. Эквивалентные элементы порождают одну и ту же аналитическую функцию. Множество значений, которые прннимает аналитическая фуниция Р(г) в точке г, совпадает с множеством тех значений, которые принимают все ее элементы в этой точке.
Дальнейшие свойства аналитических функций будут установлены в 5 24; к тому времени уже будет рассмотрено достаточно много примеров аналитических функций. 4. Аналитическое продолжение етепевнйх рядов. До сих пор ничего не говорилось о том, как вменно осуществлять аналитическое продолжение элемента вдоль кривой. Приведем алгоритм аналитического продолжения, основанный на переразложении степенных рядов. Рассмотрим ряд а зо. понятия янялитичкскон эункции 143 имеющий конечный радиус сходимости В,)0. Функция 1,(г) РегУлЯРна в кРУге К,: 1г — а! «В„так что 1т(г) — алемент в точке а.
Возьмем точку Ь он К, н разложим 1т(г) в ряд по степеням г — Ь. Имеем (г — а)" [(г — Ь) + (Ь вЂ” а))" = ~ Со(Ь вЂ” а)" з(г — Ь)з. о=о Подставляя зто выражение в ряд (1) и собирая вместе слагаемые, содержащие одинаковые степени г — Ь, получаем ряд ОО ~ (г) = ~ Н„(г — Ь)н. (2) Пусть В, — радиус сходимости ряда (2), К, — круг 1г — Ь! « «В„. тогда В, ~Во — !Ь вЂ” а1, так как В, ве меньше, чем расстояние от точки Ь до границы круга К, (2 12). Если В, В,— — 1Ь вЂ” а1, то круг К, содержится в круге К„и аналитического продолжения не получается. Пусть В, ) ) В, — !Ь вЂ” а1; тогда круг Х, не содержится з круге К, (рис.
56). В силу теоремы единственности а' д Кт 1,(г) 1т(г), гон К, 0 К,. (3) следовательно, ряд 1,(г)является непосредственным аналитическим продолжением ря- Ркс. 56 да 1,(г) (из круга Ко в круг К,). Допустим, что существует последовательность элементов (степенвйх рядов) 1,(г), 1,(г), ..., 1 (г) таких, что алемент Д,(г)' является непосредственным аналитическим продолжением алемента Л,(г), 1 «у «и. Пусть Х,, К„..., ʄ— круги сходимости РЯДов 1т(г), 1,(г), ..., 1„(г) с ЦентРами в точках г„г„..., г . Тогда злемент 1„(г) является аналитическим продолжением элемента 1,(г) вдоль цепочки кругов К,, К„..., К . Аналитическое продолжение с помощью переразложения степеннбго ряда мавозффективно.
При продолжении конкретных функций удобнее использовать другие приемы. Главным из них является использование интегрального представления функции. 5. Некоторые свойстве еналкткчсского продолжения вдоль крввой. Результаты этого раздела будут попользовали в 1 24. Пусть злемспт В(я) аналитически продолжен вдоль кривой т: з = ° о(г), 0«ге,1, к пусть 1т (з) — соответегпующкй элемент в точке ° гт а(г) кривой (. В кзчестве злемекте 1т(з) возьмем степенной ряд Уг(3) =,'Е о (г) (3 — я,)".
я о Лемм з 1, Радиус оходимости т(т) ряда 1т(я) либо нри всех Г розен бесконечности, либо яолнзтсл нснрсрыоноа отуннциоа Л 144 Гл. п7. мнОГОзнАчные АнАлитические Функции Доказательство. Пусть г(с,) (оо для некоторого ьь Возьмем 1~ такое, что точка в ! лежит в круге сходимости элемента Гт (з) и ! с 1 1 — з, ~~ 2 г(с ).
Тогда радиус сходимости ряда Г (з) ие меиьще, чэм расстояние от точки з до границы круга сходнмости ряда 1 (з) ($12), 1 се так что г(с ) г(! ) — )с — с !. 'Гочка с лежит в круге сходимости е !те т!. те ряда 1 (с); следовательно, г(с ) ) г(с ) — )с! — з !. Таким образом, '1 / г (го) — г (11) [ ~ ! г! — ес ~ = / о (!е) — о (11) [, и г(г) является непрерывной функцией а Лемм а 2. Аналитическое продолжение елемента вдоль кривой мож- но заменить аналитическим продолжением вдоль конечной цепочки кругов. Доказательство. 'Гак как радиус сходимости г(с) является не- прерывной положительной функцией с при 0(с(1, то г(г) >б>0 при сщ [О, 1).
Выберем последовательность значений 0< се< ц с ... ...(1„1 так, чтобы [и (Пес) — с (В) [ ~ б при 1=0, 1, ..., и — 1. Тогда круги' К: )з — з,~~ г(г ), ) =О, 1, ..., и, образуют конечную цепочку, а элементы Г (с), 1 (з), ..., Г (е) образуют аналитическое про- должение вдоль этой цепочки. Лемма 3. Коли элемент можно аналитически .продолжить вдоль не- которой кривой, то еео можно аналитически продолжить вдоль любой достаточно близкой кривой, имвюи!ей те же копим. При атон в конечной точке получатся одинаковые алементы.
Близость кривых понимается в следующем смысла Рассмотрим кри- вые т~.' с = а! (1), 0 < С(1; ) = 1, 2. Расстоянием между этими кривы- ми называется величина шах [ о1(1) — о (1) [. Кривые называются близок«1 кими, если расстояние между ними мало. Доказательство. Пусть элемент Ге(с) в начальной точке се —— = о(О), кривой В с = о(!), 0 < г ( 1, аналитически продолжен вдоль этой кривой. Возьмем последовательность 0 = се ( с~(... ~ с„= 1 такую, что [о(с) — о(П,) [ < б)4 при 11-з ~( с ( сь ) = 1, 2, ..., и, где б > 0 — то тке, что и в доказательстве леммы 2. Тогда по доказанному з лемме 2 але- мент 1е(с) можно аналитически продолжить вдоль цепочки кругов Кп Кь ..., К; центр круга К! расположен в точке с,, а радиус равен б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
