1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда 'й агяз=-Зя/2, так что Уо=з-а"и=-с'"~'. Ц Приведем еще одну формулу для функции г: 5. Пусть /(з) — элемент функции г" в точке г,~О, такой, что /(зо) = г,. Этот элемент разлагается в ряд Тейлора 5 гь СТЕПЕНН»Я ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 159 Действительно, по формуле Тейлора имеем ° у'ю(.) ~(г)=„"у о (г гз)» »=з Далее, из формулы (3') следует, что )'(г) аг /г, так что ~'ю(г) =рй Сагах-», н подставляя выражения для производных в формулу Тейлора, получаем соотношение (12). Заметим, что формула (12) имеет тот же вид, что н известная нз курса математического анализа формула Тейлора для стененнбй функции (при действительных г„ г, сз). Прк действителыюм и и лри положительных зь зз слраведлвво тождество )а „аа Аззлогзчзое соотеошевве )а заза (13) врв комплексных зь ззчьб врзходвтся трзвтсзать иначе ввиду много.
звачвостк фуввцик за. Соотвошевве (»3) понимается в гоы же смысле, что и зззлогвчлое сооткошезие ((5) т 2» для логарифма. Именно, если юь юз-кзкие-лабо значеквя функций з" в точват зь зз, то ю1юз — одно вз значений фующви за в точке з~зь Далее, есле юз-некоторое зззчевие фузнцзз г" з точке з,зь то существуют значения ю = з, ю = зз такие, что юз ю~юз. Доказательство следует вепосредстзевко из (6). 3. Характер неоднозначности степенной функции. Из определения степенной функции н из свойства 5 логарифма (т 21) вытекает следующее свойство степенной функции: 6. Пусть ~(г) — элемент функции г в некоторой точке г, Ф О, .
Тогда прн обходе вокруг точки г = 0 в положительном направлении этот элемент умножается на еа", т. е. Дг)- е"" Ди), (14) а при обходе в отрицательном направлении умножается на е ""', т. е. ((г) ~' е ~)(г). (14') В предыдущем параграфе было введепо понятие точки ветвления, Из свойства 6 вытекает, что точки г" О, являются точками ветвления функции г, если сз не является целым числом.
Введем следующую классификацию изолированных точек ветвления. Определение 1. Пусть функция Р(г) аналитична в кольце Х: О((г — а! ° р, и пусть в каждой точке этого кольца имеется ровно и > 2 различных элементов функции Р(г). Тогда точка а называется изолированной точкой ветвления порядка и функции Р(г). 160 Гл. гю многознАчные АнАлитические Функции Аналогично вводится порядок изолированной точки ветвления г Если и конечно, то точка а называется алгебраической точкой ветвления. Если и, то точка а называется точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления. Замечание 4.
Можно доказать ($26), что если в некоторой точке кольца К аналитическая в этом кольце функция г" (г) имеет ровно и различных элементов, то в любой точке этого кольца функция Р(г) также имеет ровно и различных элементов (случай и = также допускается). Пример 9. Точки О, ~ являются точками ветвления поо рядка и функции у г. В частности, точки О, являются точкамн ветвления второго порядка функции Уг. Действительно, пусть 1о (г) — какой-либо элемент функции у г в точке го«АО, . Тогда все элементы в этой точке имеют вид Уз(г)=си~'"Д(г), 3=0, 1, ..., и — 1, т.
е. их ровно и. П Пример 10. Функция Р(г)=1/Уг аналитична в кольце 0 < !г! (; точки О, являются точками ветвления второго порядка атой функции. () Замечание 5. Типичная ошибка при исследовании особых точек функции Р(г) 1/Уг такова: «Точка г 0 является по- люсом, так как11ш(1/~г) = оо.» Это утверждение неверно, так о- О как полюс — особая точка однозначного характера. Пример 11. Функция Р(г) = ~ — имеет две точки ~/ ветвления второго порядка: с=~1.
Точка г о не является особой точкой. Действительно, р() = ~аВ а(.) =,'— ",". Функция С(г) регулярна в точке г и с»(») 1~0; по тео- реме 2 функция Е(г) аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками ~1. ( ) В предыдущем параграфе было доказано, что в каждой одно- связной области, не содержащей точек О,, функция 1пг рас- падается на регулярные ветви.
Так как г = е""*, то в каждой такой области функция г также распадается на регулярные ветви. Любые две ветви отличаются множителем еи"", где й— целое число (см. (6)). Пример 12. Пусть Я вЂ” сектор 0( агяг(~)"--=2я. В этом секторе функция г' распадается на регулярные ветви. Одна из 5 гг. степеннАя Функция. точки ветвления 161 этих ветвей определяется (прн действительном а) формулой 1о(г)= (где""в* 0 <агиг<2Я. (15) Остальные ветви имеют внд 1,(г)= е""ов1,(г), (16) где й — лгобое целое число.
В частности, фУпкциЯ гг РаспаДаетсЯ на Две ветви: 1о(г) УТЛ е'"""'*, 1,(г) ии — 1о(г), где О < агя г < 2Я (ср. с $13). Рис. 6т Пусть а) О, 0 < аб < 2Я. Тогда ветвь ю = Д,(г) функции г' взаимно однозначно отображает сектор 3: 0 < агяг < р на сектор о: 0< агя и < ар в плоскости ю (рис. 61), т. е.
разворачивает сектор о в а раз. Действительно, нз (6) следует, что если и~=ре", г =ге" (0<~р<р), то р=г", вр=а<р, так что точки и заполняют сектор о (рис. 61). П П р и м е р 13. Пусть Р— плоскость с разрезом по полуоси [О, +оо) (рис. 47). Функция и (г)=Й распадается в области Р па две регулярные ветви 1,(г), 1,(й): 1,(ге"'') =Уге"'*, 1в(г)и— и — 1,(г). Здесь г=гее, 0 < гр < 2я. Функция и = 1,(г) взаимно однозначно и конформно отображает область Р на верхнюю полуплоскость 1ши~)0, фУнкциЯ в 1в(г) — на нижнюю полуплоскость (см. рис.
47). Пусть г =х+ Ю, х)0 (т. е. точка г лежит на верхнем берегу разреза). Тогда /,(х+Ю)=Ух-.О. Если же г — х— о — $0 (т. е. точка г лежит на нижнем берегу разреза), то 1,(х-10)= — 1'х. '() 4. Риманова поверхность функции г, Рис, 62 Если а таково, что г" — бесконечнозначная функция, то ее рнманова поверхность будет точно такой же, как и риманова поверхность логарифма. Новый тип рнмановой поверхности возникает в случае, когда функция го является конечнозначной. 11 Ю. В. Сидоров и др.
162 ГЛ. П'. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Построим риманову поверхность функции Уз. Пусть Р— плоскость с разрезом по лучу ( — ~, 0). Тогда функция Уз распадается в Р на две однозначные ветви 1г(з), Дг(з), такие, что 1,(1) 1, 1«(з) — 1г(з), Возьмем два экземпляра Р,, Р, области Р и будем считать, что функция 1«(з) определена в области Р„. Тогда при зглР, 1«,«(гег«) Маваг«"г, — и ( ~р ~ я. Пусть 1« — разрез на листе Р„, а 1«и 1А — соответственно верх- ний и нижний берега разреза. Так как гр = ~п на 1~~, то У (з) 1, ,+ = У« (з) !, , — У (з) ! , — = У« (з) (, ,+. Позтому для того, чтобы получить поверхность, на которой функция Уз однозначна, необходимо склеить верхний берег разреза 1+ с нижним берегом разреза 1, и, аналогично, склеить 1, с 1+ (крест-накрест).
Получится риманова поверхность функции Уз (рис. 62), имеющая самопересечение. гг Аналогично строится риманова поверхность функции у' з. Возьмем п зкземпляров Р,, ..., Р„, области Р (плоскость с разрезом по лучу (-, О!). В области Р„рассмотрим регулярную функцию УА(з) = р~ гегяггкт+«ьз!, з га«в, — я(гр«" и. Тогда 1„(з)! « =~А+,(г)1 . Склеим берег 1«+ с берегом гн 1~ *н 1« затем 1+ с 1«и т. д., н, наконец, 1„:, с 1«+.
Тогда мы получим риманову поверхность функции уз, которая имеет самопересечения. Заметим, что риманова поверхность функции Уг з при любом целом п односвяана. 5. Примеры. В определении точки ветвления порядка п требуется, чтобы в каждой точке кольца 0( !г — а! <г имелось ровно н рааличных элементов (а не значений!) аналитической функции г(з).
Приведем примеры, которые показывают, что это требование нельзя заменить условием «в каждой точке имеется ровно и различных значений«. Пример 14, Функция г"(з) Узз!Ез имеет ровно две особые точки: О,, которые являются точками ветвления второго порядка. Однако в точках з« лн, 1=~1, ~2, ... Зта фупкция принимает только одно аначение: г(з,) О. ! ) 2 22.
степеннья Фгнкция. точки ВетВления 163 Пример 15. Рассмотрим функцию и"(г)=2*= е*"'. Все значения атой функции в точке г = 1/и (и ) 0 — целое) даются формулой р ~ — ~ — ем"и/» г 1 (,и~ »,— г п й=0, 1, ...,и — 1. Пример 16. Вычислим 11, т. е. найдем все значения функции г* в точке й Из формулы (17) следует, что 1'=е 2, й=О, ~1,~2, Заметим, что все значения ю' — действительные. ~ Приведем еще примеры типа примера 4. Пример 17. Выражение г*(г)=Уз» определяет две аналитические функции: г",(г)=г, Р,(г)= — г.
(! Примеры 4, 17 показывают, что нужно с осторожностью относиться к формально написанным многозначным функциям. Операции над аналитическими функциями были корректно определены в начале этого параграфа. С другой стороны, как показывают приведенные ниже примеры, не всякое выражение, содержащее знак корня или логарифма, является многозначной функцией. Пример 18. Функция г'(г)= сов уз аналитична в области О < !г! <, по теореме 2. Покажем, что эта функция однозначна. Фиксируем точку г, и любой элемент ~(г) функции Уг в этой точке, и совершим обход вокруг точки г = О. Тогда 7(г)- -Дг), а в силу четности косинуса соз((г)- сов)(г), так что функция сов Уг однозпачна. Точка 2=0 является устранимой особой точкой; следовательно, соз Уг — целая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
