1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Все они выражаются через логарифмическую функцию. З 2«. Регулягные ВетВи АИАлитических Функции 169 9 24, Регулярные ветви аналитических функций 1. Теорема о моиодромим. Покажем, что понятия «аналитическая однозначная функция» и «регулярная функция» тождественны. Пусть функция Р(г) регулярна в области Э. В каждой точке з,жВ естественным образом аадап элемент 1, (г), а именно, сама функция Р(г). Фиксируем точку г,ый и алемент ~,, (з) в этой точке. Если кривая ( соединяет точки г„г и лежит в области П, то элемент ~, (г) очевидным образом допускает аналитическое продолжение вдоль кривой (: в качестве элемента в точке гэ ж Т можно взять просто саму функцию Р(з). Если функция Р(г) аналитична в области Р и однозначна в этой области, то функция Р(г) регулярна в Р.
Действительно, в окрестности любой точки области значения функции Р(г) совпадают со значениями некоторого (и притом единственного) элемента, так что функция Р(г) регулярна в каждой точке области г). Исключительно важное значение в теории многозначных аналитических функций имеет следующая теорема. Теорема о монодромии. Пусть Р— односвязкая область расширенной комплексной плоскости и пусть элемент 1(з), заданный в точке г„допускает аналитическое продолжение по всем кривым, выходящим из точки г, и лежащим в области Р. Тогда аналитическая функция Р(г), полученная в результате аналитического продолжения элемента 1(г) по всем таким кривым, регулярна в области Р. В условиях этой теоремы элемент ~(г) порождает аналитическую в области г) функцию.
Поэтому теорему о монодромии можно сформулировать так: Функция, аналитическая в одкосвязной области, регулярна в втой области. Доказательство. Пусть („(,— кривые, ааданные уравнениями г = о, (г), г = о, (г), 0 ( г ( 1, лежат в области гт и соединяют точки г„г,. Покажем, что аналитическое продолжение элемента 1(г) вдоль кривых (,, т, приводит к одному и тому же элемепту в точке з,. Тем самым будет доказано, что аналитическая функция Р(г), порожденная элементом )(г), однозначна в области П; в силу сделанного выше замечания функция Р(г) регулярна в 'области П. Ограничимся, для простоты, случаем, когда Э вЂ” ограниченная область. Так как область Э одпосвягна, то кривые („"(, гомотопны в этой области, т. е. существует функция Ф(з, г), обладающая следующими свойствами (5 3): 1.
Функция Ф(з, г) определена и непрерывна в квадрате К: О» з, 1 ~ 1, и ее аначения лежат в области д. 11О гл, гу, многознАчные АИАлитические Функции 2. Ф(е, 0) г«, Ф(е, 1)=г, при всех е; Ф(0, «)=а«(«), Ф(1, 1) о,(1), При каждом фиксированном еы(0, 11 уравнение г Ф(е, 1), 0<1~1, определяет кривую (» которая лея«ит в области 1) и соединяет точки г, и г,. Если числа е, е'ы(0, 1) достаточно близки, то расстояние между кривыми уо у, мало, что следует из определения расстояния: р(шоу,.) = гаях ~Ф(е, 1) — Ф(е', 1)! ОЕ1«1 и равномерной непрерывности функции Ф в квадрате К.
Следовательно, по лемме 3 э 20 для любого е«я 1=(0, 1] существует б(е) 0 такое, что если е' лежит на интервале 1.=(е — б(е), е+б(е)), то аналитическое продолжение элемента Д(г) вдоль всех таких кривых у«~ приводит к одному и тому же элементу в точке г,. По лемме Гейне — Бореля можно выбрать конечное число интервалов 1«р 0 — е,<е,«... а„*=1, покрывающих отрезок 1, так, чтобы интервалы 1,, 1,,+,, 0<1<к — 1, имели непустое пересечение.
Если е ен 1, () 1... то аналитическое продолжение элемента 1(г) приводит к одному и тому же элементу в точке г,; то же самое верно при е аи 1., () 1,,и т. д. Продолжая эти рассуждения, получаем, что аналитическое продолжение элемента 1(г) вдоль любой кривой (о О ~ а<1, приводит к одному и тому же элементу в точке г,. Из доказательства этой теоремы вытекает следствие, которое также называется теоремой о монодромии. Теорема о монодромни (вторая формулировка).
Пусть элемент 1(г), заданный е точке г«, допускает аналитическое продоллсение по любым кривым, выходящим из точки г, и лежащим в области 1). Если кривые т„"(, выходят ие точки г, и еомотопны в области Р, то аналатическое продолжение элемента 1(г) вдоль кривых („т, приводит к одному и тому же элементу. Область Э может быть неодносвязной. 2.
Выделение регулярных ветвей. Регулярной ееоыью аналитической функции нааывается любой ее элемент. Теорема о монодромии позволяет построить простой и удобный алгоритм, с помощью которого многозначную аналитическую функцию можно «разрезатьэ на регулярные ветви. Именно, пусть функция с'(г) аналитична в конечносвяэной области В. Проведем разрезы, превращающие зту область в односвязную область В; это делается так же, как и в 5 9 (рис. 43).
Фиксируем элемент 1,(г) в точке г,«к.0. По теореме о монодромии атот элемент порождает регулярную в области Ю функцию Р;(г), которая является регулярной ветвью функции р(г). Различные элементы в точке г, порождают различные регулярные ветви функции р(г); таким образом, в области .6 функция Р(г) распадается на регулярные ветви. Заметим, что разрезы, превращающие область Э $ з«. РегуляРные ВетВи АнАлитических Функции 171 в односвязную, можно проводить по-разному; так что можно по-разному «разрезать» многозначную аналитическую функцию на регулярные ветви. Приведем примеры на выделение регулярных ветвей аналитических функций.
П р и м е р 1. Проведем в комплексной плоскости разрез вдоль простой кривой 7, соединяющей точки 0 и ~. Полученная область Р односвяэпа. Покажем, что функция 1пг распадается в области Р на регулярные ветви. Фиксируем точку г,ж Р и элемент логарифма Дз) в этой точке. Так как этот элемент допускает аналитическое продолжение по любой кривой, не проходящей через точки О,, то, по теореме о монодромии, этот элемент порождает регулярную в области Р ветвь логарифма. В область Р функция 1пз распадается на бесконечное число регулярных ветвей. Если 7',(з), 7»(з) — две регулярные ветви логарифма, то 7',(з) — 7»(з) 2лпс при зснР, где й — целое число (п.
2 т 21). Аналогично,. функция з распадается в области Р па регулярные ветви. Если а — действительное иррациональное число или если 1п»сст«0, то регулярных ветвей бесконечно много; если а =р/д, где р, с7 — взаимно простые целые числа, с) > 1, то имеется ровно е различных регулярных ветвей (т 22). В частности, функция г'з распадается в области Р на и регулярных ветвей.
Если 7',(з), (,(з) — две различные регулярные ветви функции з в области Р, то 7»(з)==е'» с ),(г), где ЙчьΠ— целое число (з 22, свойство 2). Д Пример 2. Пусть 7'(г) — регулярная ветвь функции 1пз в области Р (рис. 31), такая, что 7(1)=0. Вычислим значения 7'( — 2), 7(3), 7( — 4).
По формуле (5) т 21 имеем при з~Р )с(г)=1п !з!+ Ы,агяг, где кривая 7 соединяет точки 1, з н лежит в области .Р. Следовательно, ~( — 2)=)п2+пс, ~(З) 1ВЗ+2лс, Л вЂ” 4) 1п4+Злс. Д Пример 3. Разлонсим регулярную функцию 7(з) пэ примера 2 в ряд Тейлора по степеням з — 3. По формуле (10) з 21 имеем Ю ~(г)=1ВЗ+2я»+,~' ) ( ! . Д ьз» Пример 4. В области Р: 0( !з! ( нельзя выделять ре- п гулярные ветви функции 1и з, у' з (и) 1). Это следует иэ своиств 5 5 21 и б ~ 22. Д 172 гл. 1т. многоаначеьгн Аналитические Фрикции Пример 5. Пусть Є— плоскость с разрезом по лучу в=ге"', 0<г<; 0<>а<2я. Тогда, по теореме о монодро- мии, в области Р, функция Уг распадается на две регулярные ветви. Нормируем ветвь / (г) условием / (1)=1 и вычислим /,(1) (а.-ь я/2). Имеем /„(>) = е~~', >р = Л> агя г, где кривая 7 лежит в области Р„и соединяет точки $, й п/2 <>к<2л.
В этом случае в качестве 7 можно взять отрезок (1, 1), так что >р = я/2, / (>) = е ". 2. 0 < а <я/2. В атом случае в качестве 7 можно взять дугу окружности г е ", 0<за Зя/2, так что >р= — Зл/2, / (>)= — е'"". П Прежде чем перейти к следующим примерам, приведем не- которые пояснения по поводу выражений типа 1п/(г), >'/(г), (/(г))", где /(г) — регулярная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
