1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Формула Р(г) 1п/(г) сама по себе еще не определяет аналитической функции; необ- ходимо указать исходный элемент, или, в силу свойств лога- рифма, значение функции в некоторой точке (см. также при- мер 4 2 22). Формула Р(г) = 1п /(г), Г(г,) — в„ где в, — одно иа значений 1п/(г,), полностью определяет ана- литическую функцию Р(г). Пример 6. Пусть функция /(г) регулярна н отлична от нуля в односвяаной области Р.
Тогда функция Р(г) 1п/(г), Г(г,) и>, регулярна в области Р. Здесь е е = /(га). Действительно, функция Р(г) аналитична в области Р (теорема 2 3 22), и по теореме о монодромии ата функция регулярна в области Р. Функция Р(г) однозначно определяется соотношениями ем*> = /(г); Р(г,) в, и требованием регулярности в области Р. Значения функции Р(г) вычисляются по формуле Р(г) = 1п Ц (г) ! + Ц1ш во + Л> агя /(г) ). (1) Кривая 7 лежит в области Р и соединяет точки г„ г. П Пример 7. Пусть функция /(г) регулярна и отлична от нуля в односвяаной области Р. Тогда функция Р(г) >'/(г), Р(г,) = в„ где в~~ =/(г,), регулярна в области Р. П г га РеГуляРные Ветви АнАлитических Функции (73 Рассмотрим функциональные соотношения для логарифмической и степеннбй функций.
Пусть функции 7,(г), 72(г) Роту" лярны и отличны от нуля в односвязной области Р. Тогда функции (4) где Г,(2) =7)1(х)1,(г), Г,(г,) ш,; Г7 (2) = Я (2) ~ Г~ (хх) = шя и выполнено условие иъ ш,иъ. 2, Г ,(г) 1п(,(2), Г,(г,) = ш,; Г,(г)=1п),(г), Г,(г,)=ш,; Г,(г) = 1п(,(х)(х(г) ), Г,(г,) ш,, регулярпы в области 1) (пример 6). Лемма 1.
Если ш, = ш,+ ш„то в области 0 Г,(2) и Г,(х) + Г,(г). (2) Доказательство. Функция Г(2)=Г,(г)+Г,(г) регуляр- на в области Р и е"'о =),(2)),(г), Г(г,)= и,. Эти условия определяют единственную регулярную з области 0 функцию (пример 6). Так как функция Г~(г) также удовлетворяет этим условиям, т. е. е е* =7,(х)72(х); Гс(г,) =шз, то Г(2) Г,(г) в области.0. Формально равенство (2) можно записать в виде 1п(),(х)7,(г))=1п~,(г)+1п)д(г), 2~0. (3) Точный смысл равенства (3) указан в лемме 1. Аналотично соотношению (3) доказываются равенства 7, (х) 1п †' = 1п ~х (2) — 1п 7" (2), )х (.) )т 7', (2) ~2 (г) = )т )'х (2) )l )2 (2), 7,() Ъ 1,() 72(2) у 7' (х) (), (2) ~~ (2) ) ' = (у~ (2) ) и ()х (2) ) Здесь ),(2), 7;(2) — ретулярные и отличные от нуля в односвяз- ной области Р функции, равенства (4) справедливы прн 2 ~я 0.
Точный смысл равенств (4) следующий: в левой и правой частях равенства стоят регулярные в области В функции,и зна- чения левой и правой частей совпадают в некоторой точке г, ж ж В. Рассмотрим, например, второе из равенств (4). Это равен- ство понимается в следующем смысле: Г,(г) = Г,(2)Г,(г), 174 гл. гч. многознлчнык лнллнтичкскик функции Из формул (3), (4) вытекают важные формулы для аргумента произведения и частного функций. Следствие. Пусть функции ),(г), ~,(г) регулярны и отличны от нуля в области Х>, кривая 7 леясит в области .О. Тогда Л„агб У, (г) ~, (г)) = Л агй ~, (г) + Л.;агй ), (г), (5) ('у,() ) Лтагк [ — ') = Лтагй~,(г) — Лтагй7,(г).
(6) Доказательство. Докажем формулу (5). Пусть область Э односвяэна, кривая 7 соединяет точки г„г и пусть Г~(г), ) = О, 1, 2 — те же функции, что и в лемме 1. Тогда при г ж 0 имеем Р~(г) = )н )Л(г)! + ( [1ш и;+ Л, агй ~, (г) ), у = 1, 2, г",(г) = 1п )р,(г)),(г) ) + ([1шш, + Л, агд(),(г)(,(г))). Подставляя эти выражения в (2) и учитывая, что шо и',+ иь, получаем фоРмулу (5) ° Пусть Р— неодяосвязкая область.
Покроем кривую 7 конечным чив: лоы лежащих з области Р кругов К„Кь ..., К, центры которых хе гь ..., г расположены в последовательных точках кривой т. Здесь ы— начальная, я„= х — кояечяая точка кривой 7. Разобьем кривую т иа дуги т„"~„..., 7, где дуга 7~ лежит внутри круга Кь твя что т = Твэ...Т,-т(. тогда равенство (б) справедливо дяя каждой иэ дтг ъ яо доказанному выше. Так как приращение аргумента вдоль кривой 7 Равно сУмме пРиРаЩений аРгУмента по ДУгам ть ть °, Тж то Равенство (б) докааано. Равенство (6) доказывается аналогично, с помощью первой из формул (4). Так как равенство двух аналитических функций — это равенство их исходных элементов, то формулы типа (2), (3) остаются в силе и для аналитических функций. Пусть, для простоты, функции 7,(г) Л(г) регулярны и отличны от нуля в области Ю.
Фиксируем точку г, ш)); тогда (пример 7) в некоторой ее окреетности П регулярны функции Кэ(г)~= Ц~(г), К~(г,) шь ) = 1, 2, б. (г) = 77",(г)1,(г), у,(г,) = ш,. Пусть ш, таковы, что и>, = и,и~,; тогда по доказанному выше у,(г) К,(г)у,(г), г ~и П. (7) Если г";(г) — аналитическая функция, порожденная элементом Кэ(г), заданным в точке г„) — О, 1, 2, то в силу (7) Р,(г) = р,(г)р,(г)„ (8) где равенство понимается в смысле равенства аналитических 5 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ ЛНЛЛНТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ттб функций. Коротко равенство (8) принято записывать так: я(г)~,(г) у,(г) у~,(г); точный смысл этого равенства указан выше.
Аналогично интерпретируются остальные равенства (3), (4). 3. Регулярные ветви аналитических функций в неодносвязных областях. Теорема о монодромии не позволяет решить вопрос о выделении регулярной ветви функции г" (г), аналитической в неодпосвязной области О. Эта задача исследуется так, Пусть Дг) — какой-либо элемент функции Е(г) в точке г,~ЕЮ и замкнутая кривая с началом в точке г„лежащая в области В. Аналитически продолжив элемент 1(г) по кривой (, получим элемент у(г) в точке г,. Условимся коротко записывать зту процедуру так: прк обходе по кривой т ~(г)- у(г). Лемма 2. Если при обходе по любой такой кривой Т ~(г) -~- ~(г), то элемент ~(г) порождает регулярную в области И ветвь функции Р(г). Иными словами, существует регулярная в области И функция р,(г) такая, что Е,(г)чч ~(г) в окрестности точки г,. С интуитивной точки зрения зта лемма вполне очевидна.
Строгое доказательство см. 124]. Если же при обходе по некоторой замкнутой кривой ( ~(г) - у(г), где элемент у(г)чь)(г), то функция Е(г) не допускает выделения регулярной в 1Э ветви. Такова процедура выделения регулярных ветвей в общем случае. Применительно к таким аналитическим функциям, как У~(г), 1в~(г), (~(г))', где Дг) — регулярная в некоторой области Ь функция, эту процедуру можно значительно упростить. Дело в том, что перечисленные функции обладают тем же свойством, что и функции 1пг, г (тз 2$, 22): любой элемент функции 1п1(г) (и аналогично для функции Ц(г) )'*) в любой точке полностью определяется заданием своего значения в этой точке.
Поэтому справедлива следующая Лемма 3. Пусть функция Дг) реэулярна и отлична от нуля в области Ю, ан литическая функция Р(г)=1п~(г) порождена элементом Е,(г) в точке г,шР, Если все значения г"(г,), полученные в результате обходов по всем замкнутым кривым т 176 гл. гт.
мнОГОзнАчные Аньлитическив Функции (с начальной точкой г,), лежащим в Р, совпадают с Р,(г,), то аналитическая функция Р(г) регулярна в области Р. Такое же утверждение справедливо для функции (> (г) )'. Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть т — замкнутая кривая с начальной точкой г„лежащая в Р. Тогда Р,(г)- Р,(г) при обходе вдоль у, где Р,(г) — элемент в точке г,. По условию леммы, Р,(г,)= Р,(г,). Так как любой элемент функции Р(г) 1п>'(г) в точке г, однозначно определяется заданием своего значения в атой точке, то Р,(г)=Р,(г).
В силу леммы 2 элемент Р,(г) порождает регулярную в области Р функцию. Аналогично доказывается второе утверждение. Пример 8. Покажем, что ана- литическая функция Р(г) = Уг' — 1 у распадается на две регулярные вет- ви в области Р„где Р, — компРио. 64 лвксная плоскость с разрезами (-, — 1) и (1, + ). Так как г' — 1чь О в Р„то по теореме 2 з 22 функция Р(г) аналитична в области Р,.
Поскольку область Р, односвяэка, то по теореме о монодромии функция Р(г) распадается на регулярные ветви в области Р,. Регулярная ветвь полпостью определяется заданием ее значения в некоторой точке г, шР,: Р,(г) Уг' — 1, Р,(г,) = и>„ где и~о = г,' — 1 (т. е.
>о — одно из значений У го —,1). Регулярных в области Р, ветвей ровно двв, и они связаны соотношением Р,(г) — Р,(г), гоиР,. о — 1 Аналогично, функция б (г) = )и + распадается ка регулярные ветви в области Х>,; этих ветвей бесконечно много, каждая ветвь однозначно определяется заданием своего значения в некоторой точке г, онР. Например, можно описать все ветви бо(г) следующими формулами: ~о(г) = 1п 1 ~о (О) = к11 о — 1 о+ 1' бо(г)вибо(г)+2йл1 (й= О, ~1, ~2 ) Б Пример 9. Пусть Р— плоскость (не расширенная) с разрезом по отрезку 1 — 1, 11 (рис. 64).
Покажем, что аналитическая функция Р(г)=Уз' — 1 распадается в области Р на две регулярные ветви. Заметим, что область Р неодкосвязна. Доказательство 1. Пусть исходный элемент Р,(г) функции Р(г) задан в точке г, >яР и пусть у — простая замкну- г го.
РБГуляРные ВетВи АнАлитическпх Функций 177 тая кривая с началом в точке г„лежа«цая в 1Х Значение Г(г,), полученное при обходе вдоль 7, равно Г(г,) = Г, (г,) е«', где «р А,атя(г* — 1). Так как г' — 1=(г — 1)(г+1), то «р«+ «рм «р А«абай(г — 1), «ро А, атл(г+ 1).
1) Если отрезок 1 — 1, 11 не лежит внутри кривой 7, то «р, «р, О, так что Г(г,)=Г,(г,). 2) Если отрезок 1-1, 11 лежит внутри кривой 7 (рнс. 64) и эта кривая ориептнрована положительно, то «р, = «р, 2Я, так что «р=4л и снова Г(г,)=Г,(г,). Если 7 ориентирована отри- цательно, то «р — 4я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
