1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если же аналитически продолжить элемент 1(з) только по части кривых, по которым такое продолнсение возможно, то мы получим ветвь )т,(з) аналитической функции г" (з). Иначе говоря, ветвью аналитической Функции называется связное подмножество элементов этой функции. Ветвь г,(з) аналитической функции может быть неоднозначной функцией з. Однозначная ветвь аналитической функции является регулярной функцией. Такие ветви рассматривались в 9 24; в настоящем параграфе рассматриваются многозначные ветви аналитических функций. Примером ветви аналитической функции служит аналитическая в некоторой области Р функция.
Напомним это понятие ($20). Пусть Р— область расширенной комплексной плоскости, ~(з) — элемент в точке з,~Р, и пусть этот элемент можно аналитически продолжить по любой кривой, лежащей в Р. Полученное в результате всех таких продолясений множество элементов нааывается аналитической в области .Р функцией г" (з). Определение 1.
Пусть функция г" (з) аналитична в проколотой окрестности точки а, но не является регулярной в точке а. Тогда точка а называется изолированной особой точкой функции г'(з). 5 2В. Осовык точки АнАлитичвских ФункциЙ 193 Эта функция Р(2), вообще говоря, является ветвью некоторой аналитической функции 6(2). Если точка а является особой для некоторой ветви аналитической функции, то она является особой точкой этой функции.
Если а — изолированная особая точка ветви г (2), то она либо является особой точкой одноаначного характера (полюс, существенная особая точка), либо является точкой ветвления. Пример 1. Пусть К вЂ” кольцо 0< Ь! сг, точка В,жК. Зададим в точке 2, элемент 1(2) функции 1п г и аналитически продолжим его по всем кривым, лежащим в кольце К. Тогда мы получим аналитическую в К функцию г',(2), которая является ветвью аналитической функции 1п 2.
Аналогично, по элементу Л(2) функции у' з, ааданному в точке 2, ж К, строится аналитическая в К ветвь 60(2) этой функции. Д Две аналитические функции, по определению $20, равны тогда и только тогда, когда их исходные элементы эквивалентны. Для ветвей удобнее ввести понятие равенства иначе. Именно, две ветви некоторой аналитической функции, пс определению, равны, если они состоят из одних и тех же элементов. С атой точки зрения в примере 1 существует ровно одна ветвь функции 1п 2, аналитическая в кольце К (аналогично для функций у'2, 2"). Пример 2. Точка 2 = 0 является логарифмической точкой ветвления для ветви Г,(2) логарифма, указанной в примере 1.
Точка 2 =0 является точкой ветвления порядка и для ветви б,(2) функции у~ 2, указанной в примере 1. Д Одна и та же точка комплексной плоскости может быть особой точкой для одних ветвей аналитической функции и не быть особой точкой для других. 1+ ~/Т Пример 3, Рассмотрим функцию г" (2) = . В окрестности точки 2 = 1 функция Уа распадается, по теореме о монодромии, на две регулярные ветви (,(2), ~,(2). Пусть 1,(1) =+1, ),(1) — 1. В той же окрестности функция 12(2) распадается на две одноаначные ветви РВ(2) =, ) — 1, 2.
1 + 1~ (а) Ветвь )г,(2) имеет в точке х 1 простой полюс, а ветвь Р,(2) регулярна в точке 2 = 1, так как 1+ Л(1) — О. Д Пр им е р 4. Аналитическая функция г" (2)' 2+ Уз' — 1 распадается на две регулярные ветви 1,(2), 1,(2) в плоскости с раареаом ( — 1, 1) ($24, пример 9). Пусть 1,(2) = 2+ УЗ, И Ю. В. СиаоРРВ а АР. 194 гл. 1ч. многознлчныи лнллитичвскив фтнкции Л(2) = 2 — 73; тогда А(г) 2з, Ы )-— 1 ($24, пример 26).
Следовательно, точка з= является полюсом первого порядка для ветви 7,(г) и нулем первого порядка для ветви 1,(г). () Ниже будет показано (пример 12), что точки г ~1 являются точками ветвления второго порядка функции Р(з). Во многих случаях характер точек ветвления можно установить с помощью следующей теоремы. Т е о р е м а 1. Пусть функция Р(з) аналитична в проколотой окрестности У точки а, функция 1(г)Ф О регулярна в атой окрестности и точка а является точкой ветвления порядка п функции Р(г) (здесь и< ). Тогда точка а является точкой ветвления порядка и аналитических в области У функций 1'(г) + Р(г), 1(г) Р(г), (в последнем случае требуется, чтобы Р(г) чь О при з ~н У)'.
Д о к а з а тельство. Рассмотрим аналитическую в области У функцию П(з)=1(з)+Р(з). Пусть г, ~к У, тогда, по усло. вию, в этой точке имеется ровно и различных элементов 1,(з), ~~(г), ... функции Р(г). Следовательно, в этой точке имеется ровно и различных элементов 1(г)+ ~,(г), 1(з)+1,(г), ... функции 6(г), так что точка а является точкой ветвления порядка и. Аналогично этот факт доказывается для функций 1(з) Р(з), Пг)/Р(з) . Пример 5. Точка з О является точкой ветвления второго 1 г— г— 1 г— порядка функций=, з у г, з+ у г,, у гз(пз (эти функции аналнтичны в проколотой окрестности точки з-О). В 1 Функции Уз+ з(пз, е'1з, —, аналитичны в проколо(/в 1 + ~(/в той окрестности точки з=, которая является точкой ветвления второго порядка для этих функций.
( ) Пример 6. Точки О, являются точками ветвления порядка и аналитических функций — т/г + е', „, 1/з з1пг. П т/г 1+ у/г Пример 7. Точки О, являются логарифмическими точ- ками ветвления аналитических функций г+ 1пз, 1пг 1 1 г — 1' 1пзт 1вг+1 ' е 1пз, З 26. ОСОВЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 195 Пример 8. Пусть функция 1(з)Ф О и регулярна в проколотой окрестности точки а, Тогда точка а является точкой ветвления порядка п для функций — гг — Г (г) 1 г — а+ 1(г), у г — а((г), г — а и точкой ветвления бесконечного порядка для функций 1п(з — а) + ((з), 1(г) 1п(з — а), 1(г) аналитических в некоторой проколотой окрестности точки а. Ц 1 Прим е р 9.
Исследуем особые точки функции г"' (г) = (+ 7г Эта функция аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками О, 1, гг. Точки О, » являются точками ветвления второго порядка (пример 5). В малой окрестности г1 точки г 1 функция г'г РаспаДаетсЯ на Две РегУлЯРные ветви ),(г), 1г(г) по теоРеме о монодромии; пусть ~г(1) 1, тогда 1г(1) — 1. Соответственно 1 функция Р(г) распадается на две ветви г",(г) = +, 1 1, (+1;(г)' 2, при г гн г7„Ветвь Р*,(г) регулярна в точке г = 1, ветвь Р,(з) имеет простой полюс в этой точке, так как (3 22, (12)) в окрестности точки а = 1.
~ ) П р и м е р 10. Исследуем особые точки функции Р(г) 1в г — которая аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками О, 1, . Точки О, являются логарифмическими точками ветвления (пример 7). В малой окрестности точки г = 1 функция 1п г по теореме о монодромии распадается на регулярные ветви 1г(г), )г = О, ~1, ~2, пусть )г(1)= 2яг)г. Точка г = 1 является простым полюсом для ветвей )г„(г) —, й Ф О, и точкои регулярности ветви 1А (г) :1' Рг(г), Д 2.
Суперпоэиции корня, логарифма и регулярных функций (особые точки). Пусть функция 1(г) регулярна и отлична от нуля в области О. Рассмотрим аналитическую в области А) функцию (3 24) Р(х) 1п ) (г), Р(г,) = агг, )Зг 1ЗЗ гл, гт. Многознлчныв лнллитичвскнв Функции гДе гзян1), е в=1(г) (т. е. ю, — оДно из значений логаРифма).
Значения функции Р(г) при г ~в Р вычисляются по формуле (1) т 24: Р(х)=1п Щг) ! + Ц1ш ю, + Лт агу ~(г)]. (2) Здесь кривая т лежит в ХЭ и соединяет точки г„ х; значение Р(х) зависит не только от точки г,но н от кривой т. Аналогично, рассмотрим аналитическую в области ,Р функцию 6(г) = у ~( ), П(гз) = ь = рзе ' где г,~ О, ~"= 1(г). Значения этой функции при гыд вы- числяются по формуле 6(г) = ~~/1(г) ~ е ', ~р = Лтагй1(г).
(4) (.,+Ь) В частности, если функция 1(г)чз О регулярна в точке а или а имеет полюс в этой точке, то функции 1п 1(х), т' 1(г) аналитич- ны в некоторой проколотой окрестности точки а, Напомним важное свойство функций 1п1(г), ~/7(х): для того чтобы задать элемент такой функции в точке г„достаточно за- дать его значение в этой точке. Теорема 2. Пусть функция 1(г)зе О либо регулярна в точ- ке а и 1(а) = О, либо имеет полюс в точке а.
Тогда 1) точка а является логарифмической точкой ветвления функции 1п 1(г); 2) если а — простой нуль или простой ло.гюс функции 1(г), то точка а является точкой ветвления порядка и Функции у'~(х), Доказательство. Если 11 — достаточно малая проколо- тая окрестность точки а, то 1(г)=(г — а)'" й(г), я~11, где т т'= Π— целое число, функция н(х) регулярна и отлична от нуля в области Р, Х> 0 (а) (т 12, т 18).
Пусть т — простая замкнутая кривая с начальной точкой г„которая лежит в В, содержит точку а внутри себя и ориентирована положительно. Тогда Ь, ага 1(г) тЛ, ага(х — а)+ Л, агу й(г) = 2ят, так как Л, агу й(г) О. Действительно, Лтагуй(г) = ~с(агйй(г) = 1ш ) — „, Их= О, Гь (з) так как функция )1'(г)УЬ(г) регулярна в односвязной области з ге.
Осовын тОчки Аналитических Функции 197 .Р,. Следовательно, й„»ага 1(г) = 2ийт, где [" 11 ... т (й раа). Так как любая замкнутая кривая с на- чальной точкой г„которая лежит в Р, гомотопна кривой '1" (й— целое число), то все значения функций Р(з)= 1п~(г), 6(г) = о = у'1(з) в точке г, даются формулами: Р»(зо) = 1п[1(го) !+ 1[1шюо+ 2йит), бо (зо) = ~ у'1 (зо) !е о( +-' ооо ) й О, М, ~2, ... Следовательно, Р(з) — бесконечнозначная в П функция, так что а — логарифмическая точка ветвления фунт~- ции Р(з). Пусть т = ~1; тогда в точке г, имеется ровно и различных значений»»»(г,), Оа;й(и — 1 функции о»(г), а стало быть, ровно и различных элементов в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
