1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пример 4. Рассмотрим уравнение Эйлера: е, Ь и + — и + — ш=О, э з (7) где а, Ь вЂ” постоянные. Коэффициенты уравнения Эйлера регуляриы в комплекской плоскости с выколотой точной г = О. Будем искать частное решение уравнения (7) в виде ш=г'. Подставляя в уравнекие и деля его на г' ', получаем уравнение, из которого определяется Л: Л(Л вЂ” 1)+аЛ+ Ь =О.
(8) Если корни Л„ Л, этого уравнеиия различны, то функции Х1 ~э ш,(г) = г ', шз(г) = г ' образуют фуидамеитальную систему решений уравнения Эйлера. Если же корни совпадают: Л, =Л, =Л (т. е, если (а — 1)' — 4Ь=О), то уравнение (7) имеет решение го,(г)=г' и, кроме того, решение ш,(г)=г" 1пг; зта пара решений образует фундаментальную систему решений (ф.с.р.). Ц Рассмотрим уравнение (1) в окрестности бесконечно удалениой точки. Делая замену переменной г=1/~ и полагая Ф(ь) = ш(1/~), получаем уравнение ФСС+(~ г Р(~))ФС+ 4Ч®Ф=О (О) Всякое решение уравнения (9) регулярно в точке ~ =О, если функции 2ь ' — ь 'р( ь ), ь ~у( — ) регулярны в точке ~=О.
( ) Следовательно, всякое решение уравнения (1) регулярио в точ'ке г=, если функции 2г — г'р(г), г'д(г) регулярны в точке г 2. Особые точки уравнения. Особые точки коэффициентов уравиеиия (1) называются особыми точками этого уравнения. Особые точки уравнения являются, как правило, особыми точками для всех решений этого уравнения. Например, точка г=О 208 гл. н. многозньчныв аналитичвскив этнкции является особой точкой уравнения Эйлера (7). Если корни Х~, Х, уравнения (8) раазичны, то всякое решение уравнения Эйлера имеет внд в (х) С,х + Сгх, где С„С, — постоянные. Если А числа Хо Х, действительные и нецелые, или если 1шХ,ФО, 1шХ,ФО, то точка г=О является особой точкой для любого решения уравнения Эйлера (нсключение составляет только тривиальное решение в(г) з 0). Исследуем поведение решений уравнения (1) в окрестности точки г„которая является полюсом хотя бы для одного иэ коэффициентов уравнения.
Возьмем кольцо К: 0 с !г — х,! с г, в котором функции р(х), о(х) регулярны, и точку г ж К. Рассмотрим решения в,(г), в,(г) с данными Коши Р У в,(г) = а„в,(г) = а,; в,(г) = Ьз, в,(г) = Ь„(10) и выберем числа аь Ьз так, чтобы ь=);,"), о. Пусть 0 — круг с центром в точке г, лежащий в кольце К, По теореме 1 в этом круге существуют решения вз(г), вз(г) задач Коши (10), регулярные в круге У, н эти решения линейно независимы, так как Ь чь О. Пусть в, (г), в, (х) — аналитические функции, которые порождены элементами в,(х), в,(х),заданными в точке г, По теореме 3 функции в,(х), в,(г) аналитичны в кольце К и являются решениями уравнения (1), т.
е. любой их элемент удовлетворяет уравнению (1). Возьмем замкнутую кривую 7 с начальной точкой х, лежащую в кольце К, и продолжим аналитически элементы и4 (х), и4г) вдоль у. Тогда о( ) ь( ) о(г) вз(г) где и4(г), в,'(г)-регулярные в круге У функции. Кроме того, зги функции являются решениями уравнения (1) прн г в У. Так как решения и4,(г), вхз(г) по построению линейно независимы при х ж У, то существуют постоянные см такие, что о()+ о(),г)() о()+ о() Рассмотрим матрицу С: с- (,","), и пусть А„Х,— ее собственные значения, т.
е. корни уравнения 11 12 0 (12) з йь диФФВРенциАльные уРАВнения ВТОРОГО ИОРядкя 299 Теорема 4. 1. Если корни Х„Х, уравнения (12) различны, то уравнение (1) имеет два решения вида юй (г) = (г го) фй (г), юй (г) = (г — го) фй (г) (13) йяйой' еде 1~= е ' () =1, 2) и функции ф,(г), ф,(г) регулярны в кольце К. 2. Если корни уравнения (12) совпадают, Х, = Хй =Х, то уравнение (1) имеет два решения вида ю, (г) = (г — го) 'ф, (г), юй(г) = (г — г,)'ф,(г)+ а(г — го) оф,(г) 1Е(г — 2,). Здесь Х е'"", а — постоянная и функции ф,(г), ф,(г) регулярны в кольце К. Напомним, что К вЂ” кольцо вида О < )г — г,! <т и что коэффициенты уравнения (1) регулярны в К.
Доказательство. Введя вектор-функции /в~~ (й) й ~-, ) запишем соотношение (11) в виде ю'(г) = Сюо(г). (15) Пусть Т вЂ” невырожденная квадратная матрица второго порядка. Положим ~о (г) — т о (г) Тогда после обхода вдоль 7 Ы'(г)- ш'(г) = Тю'(г), и соотношение (15) примет вид ю'(г) = ТСТ 'ш'(2).
(16) (17) ТСТ '=Л= Нри таком выборе матрицы Т соотношение (17) принимает вид ю,(г) = Х,юй(г), юй(г) = Х~ю~(г). (18) йяйо, Выберем р, так, чтобы е ' = Х„и рассмотрим функцию ф (г) = (г — го) 'юй(г). 14 ЗЗ. В. СЗДОРОВ и ЛР. 1. Пусть собственные значения А„ьй матрицы С различны. Тогда существует матрица Т, приводящая матрицу С к диагональному виду: 210 Гл.
17. мнОГОзнАчные Аньлитичкскик Функции При обходе вдоль т имеем -Р ОРОР— Р1 (г — в,) ' 0- е ' (в — еа) так что -ОШР, Р1 О 1р1(г) -э- е ' (г — ЕО) 1).11Р1 (г) = - ), ' ( - ао) ") 1 (г — Оо)"Ч 1 (е) = р1 (в). Следовательно, аналитическая функция 1р,(г) однозначна, а стало быть, и регулярна в кольце К. Таким образом, уравнение (1) имеет решение 1Р1 (г) — (г — З ) '1Р1 (г) и, аналогично, решение 1Р (г) (г — г ) 0910 (З).
Тем самым утверждение 1 теоремы доказано. 2. Пусть Л, =11=1. Тогда существует матрица Т, приводящая матрицу С а) либо к жордановой нормальной форме; б) либо к диагональному виду. В случае а) имеем тст-'- ~", „'), так что вместо (18) получаем соотношение 1(О) 3 0 ($) 1Р3 (3) Х1РО ( ) + 1РО ($).
(19) при обходе вдоль т. Следовательно ($21, Замечание 2), функция ОР (а) — 2†,,„ 1п (з — ЕО) = 910 (з) 1 регулярна в кольце К, и для решения 1РО(з), порожденного эле- ментом и4(в)1 получаем представление (141. Для решения 1Р1(г), порожденного злементом 1Р1(а), снова получаем представление вида (13).
Поделив второе из равенств (19) на первое, получаем Щ1( ) „,0 (0) 0 1„1 ЩО (О) так что функция 1(1(г) ° =' обладает следующим свойством: ДО (0) 1)1(г)-Ьф(З) +— 5 гь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ втОРОго ПОРЯДКА г72 В случае б) имеем ТСТ = ~ ц, так что соотношение тл от (18) имеет вид вг (г) = Ли~,' (г), и, (г) = Лва (з) ° а решения в,(з) имеют вид иц(г)=(г — г,)'ф7(г), 1=1, 2, где ф7(г) — регулярные в кольце К функции. Теорема докаэана. Следствие 1. Пусть коэффициентьг уравнения (1) регулярны или имеют полюс в точке г =, Тогда уравнение (1) либо имеет два решения вида и (з) = г 'ф (г), в, (г) = г 'фг (г), (20) либо два решения вида в,(г) Фр,(г), вг(г)= з'фг(г) + аг'ф,(з)1пз, (21)' где функции ф,(г), фг(г) регулярны в проколотой окрестности точки г = Действительно, замена переменной з ° 1/ь приводит уравнение (1) к виду (9) „'коэффициенты последнего уравнения либо регулярны, либо имеют полюс в точке ~ = О.
3. Регулярные особые точки. Пусть гг — полюс или точка регулярности коэффициентов уравнения (Ц. Тогда имеются две воэможности: а) точка г, является полюсом илн точкой регулярности для обе~к функций ф,(г), ф*(з), в*едящих в формул~ (13), (14); б) точка г, является сугцественно особой точкой хотя бы для одной нэ функций ф, (г), ф,(г). В случае а) точка г, называется регулярной особой точкой уравнения (1), в случае б) — иррегулярной особой точкой уравнения (1). Эти определения распространяются и на точку г = оь. Регулярные особые точки являются наиболее простыми особыми точками и хорошо исследованы. Структура решений в окрестности иррегулярной особой точки весьма сложна, и мы не будем их рассматривать; по этому поводу см.
(18), Замечание 1. Пусть г, — регулярная особая точка, в,(г)— решение вида (13). Тогда ф7(з)=(г — г,)"ф,(г), где гп — целое цисло, фующия ф7(г) регулярна и отлична от нуля в точке з,. Заменяя р, на р, ° р, + т, получаем в,(г) = (г — г,) 'ф,(г), гк7гг Отметим, что Л2 в 14г 2(2 ГЛ.
«Ч, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУШ«ЦИИ Поэтому в случае регулярной особой точки можно считать, по функции «р (г), «р,(г) регулярны в точке г, н что «р«(г«)чьО, Ф,(г«)т'* О. Приведенное выше определение регулярной особой точки но- сит косвенный характер, так как оно сформулировано в терми- нах свойств решений, а не свойств коэффициентов. Покажем, как по свойствам коэффициентов можно установить, является ли Особая точка уравнения регулярной или иррегулярной. Будем для простоты, считать, что особой точкой является точка г О.
Лемма. Для того чтобы точка э=О была регулярной осо- бой точкой или точкой регулярности уравнения (1), необходимо, чтобы в точке г 0: 1) Функция р(г) имела полюс первого порядка или была ре- еулярна, 2) у«ункция д(г) имела полюс не выше второго порядка или была регулярна. Д ока за т ель от в о. Ограничимся для простоты случаем, когда корни уравнения (12) различны.
Имеем — „+ р(г) — + о(г) =О. (22) Далее, «о, (г) = г '«р, (г), Х, = е ', «р, (0) вь 0 (см. замечание 1). Подставляя «о«(г) в соотношение (22), получаем р,(р,-() Ео«э,(в) т,(в) в «в (в) Фх (в) т',(е) + — 'р(г) + — 'р(г) + о(г) — О. (23) Аналогично, решение иъ(г) можно представить в виде (13)', где функция «р,(г) регулярна и отлична от нуля в точке г О, так что ра (р — т)1 зр «(«в (в) «(«в (в) У ° ~(0 Ч«| + + ~в р(г) + ~ р(г) + д(г)= О.
(24) т,'( ) Ч) (е) р) (е) Функции —, —, )«1, 2, регулярны в точке г О, так 'Рэ' Об как «р«, в(0) ть О. Вычитая равенство (24) иэ равенства (23), получаем (р« — рв+ге(г)]р(г) г 'Ь(г), (25) где функции а(г), Ь(г) регулярны в точке г = О. Так как Х«ть)«««, то р«'В'" р, и иэ (25) следует, что функция р(г) либо регулярна в точке г О, либо имеет полюс первого порядка в этой точке. Но тогда нз соотношения (23) следует, что в точке г=О функ- хзч, ДнФФБРенЦНАльные РРАВнения ВГОРОГО пОРЯДкА 213 ция д(г) либо регулярна, либо имеет полюс не выше второго порядка.
Таким образом, если 2-0 является регулярной особой точкой уравнения (1), то зто уравнение имеет вид и" + — и' + — 2 и = О, а (2) , Ь (2) (26) где функции а(г), Ь(г) регулярны в точке 2=0. Л. Фукс доказал (18), что условие (26) является достаточным, т. е. справедлива Те о р е и а 5. Для того чтобы особая точка г = О была регулярной особой точкой уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело вид (26), где функции а(г)', Ь(х) регулярны в точке г = О. Следствие 2. Для того чтобы особая точка г была регулярной особой точкой уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело вид (26), гдв функции а(х)', Ь(г) регулярны в точке г= Пример 5. Уравнение Эйлера (7) имеет две особые точки О и . Обе онн являются регулярными особыми точками.
) ) Пример 6. Уравнение Бесселя г'и +ги +(г' — ч')и=О (27) (т — постоянная) имеет две особые точки: О и . Точка г О— регулярная, точка г = — иррегулярная. () Пример 7. Гипергеометрическое уравнение г(1 — г) и" + [7 -(сг+ 6 + 1) г) и' — Осби О (28)' '(сг, (), 7 — постоянные) имеет три особые точки: О, 1, . Все они являются регулярными особыми точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
