1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Проекцией окрестностя П. на комплексную плоскость является круг (г — з,! ( е. Замечание 1. С теорией римановых поверхностей и с более глубоким понятием римановой поверхности читатель может познакомиться ло книгам (6), (19], [24!. Риманова поверхность связна, так как любые два элемента аналитической функции моГут быть получены друг из друга аналитическим продолжением. Риманову поверхность можно наглядно представить как поверхность в трехмерном пространстве. В К 21, 22 были поз.— строены римановы поверхности функций 1п з, »' з.
Замечание 2. С помо1цью римановой поверхности можно наглядно представить, что такое ветвь аналитической функции. Именно, ветви отвечает связный «кусок» римаиовой поверхности '(и обратно). Утверждение «функция Р(з) распадается в обле~- сти П на и» аналитических ветвей» в терминах рнмановой поверхности В означает, что часть В, которая проектируется на Э, состоит иэ' щ связиь1х кусков.
2 зь диФФеген»п«Альньге РРАВыения ВТОРОРО пОРядкА 3)3 С аналитической функцией Р(г) можно связать еще один объект — «график» этой функции. Так как функция ю =Р(г) принимает комплексные значения, то ее график лежит в пространстве (г, 2Р), где г, ю — комплексные числа, т. е. в четырехмерном пространстве. Графином аналитической функции Р(г) называется множество всех пар (г, Р(г)), где Р(г) — все значения функции Р(г) в точке г. Этот график является, вообще говоря, двумерной поверхностью в четырехмерном пространстве (г, и).
Эта поверхность не может иметь самопересечений по «кризым», по теореме единственности; однако в изолированных точках различные «куски» атой поверхности могут склеиваться. Например, если Р(г) (г — 1)1пг, то в точке с координатами г 1, 2Р = О склеивается бесконечно много «кусков» графика втой функции. э 27.
Аналитическая теория обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка 1. Уравнения е регулярными коэффициентами. Многие задачи математической физики приводятся к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка: у" +р(х)у'+ д(х)у О. Прн этом коэффициенты р(х), д(х) являются аналитическими функциями, а в большинстве случаев даже рациональными функциями. Поэтому естественно исследовать решения уравнения вида «Р" (г)+ р(г) и'(г)+ д(г) ю(г) О (1) с точки зрения аналитических функций. Такой подход, или, как еще говорят, «выход в комплексную плоскость», позволяет использовать мощные средства теории аналитических функций и получить важные результаты о структуре решений уравнения (1).
Именно, оказывается, что если р(г), д(г) — рациональные функции, то любое решение уравнения (1) является аналитической во всей комплексной плоскости функцией, за исключением, быть может, полюсов коэффициентов р(г), д(г). Полюсы функций р(г), д(г) являются, как правило, особыми точками для всех решений уравнения (1) — а именно, точками ветвления. Более того, удается исследовать структуру решений в окрестности этих особых точек. В этом разделе мы рассмотрим уравнение (1), коэффициенты р(г), д(г) которого регулярны в некоторой области О комплексной плоскости г.
Поставим задачу Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и (г,) «Р„2Р'(г,) = «ио (2) где г, «« Г», а и2с ю2 — заданные числа. кй Гл. Гч. ИногознАчнык Анелнтичкскив Функции Теорема 1. Пусть коэффициенты р(г), д(г) уравнения (1) регулярны в круге К: !г — г,! (В. Тогда существует решение й(г) вада«и Коши (1) — (2), регулярное в круге К. Докаэательство см.
[21), [18). Покажем, как найти решение й(г)' гадачн Коши (1)' — (21, нспольэуя теорему 1. Решение й(г) разлагается в степенной ряд, сходящийся в круге К: О й(г) = ~ й„(г — гэ)". Первые два коэффициента раэложения известны иэ данных Коши: йО й (го) й1 = й (гэ) ° Далее, функции р(г), д(г) по условию также разлагаются в ряды Тейлора: ° О СО р (г) = ~ч.", р„ (г — г,)", д (г) = ~~.", д„ (г — г ) ", (4) сходящиеся в круге К. Подставим ряды (3), (4) и ряды для й', й в уравнение (1)1 О тогда получим ряд Тейлора Хс (г — г,)", тождественно равный нулю в круге К.
Поэтому с„= О прн всех п = О, 1, 2, ... Отсюда получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов йэ, й„... Проделаем соответствующие выкладки, предполагая для простоты, что г, =О. Имеем й'+ р(г)й'+ д(г)й ФВ СО О' Ф О п(н — 1) й„г" '+ ~ нй„г" ~ ~~ р„,г~+ ~ й„~",~" д„г~= г 1 в=э и э в=о = ~ с„г" = О. Уравнение с О имеет вид (и + 2) (к + 1) й„+, = э+1 е = — ~ йр„А+„йА — ~ д„ьйА, и 0,1,2,... (5) А-А А 0 Коэффициент й„+, выражается черве коэффициенты й„й„... ..., и +,.
Так как й., й, иэвестны, то ив уравнений (5) последо. вателъно определяются коэффициенты иь, й„... Пример 1. Рассмотрим уравнение й -гй О. $ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 263 Это уравнение называется уравнением Эйри, В данном случае р(х)~ О, д(г) -г, так что коэффициенты уравнения регулярны во всей комплексной плоскости. В силу теоремы 4 всякое решение уравнения Эйри является целой функцией. Решим уравнение Эйри.
Система (5) в данном случае имеет вид (и+2)(н+4)в„+, в„„п $, 2, ... В частности, в, О, откуда следует, что в, вв =. ° ° = в1+м' ° ° О, Далее нз этой системы находим в Ю (2 3) (6 6) ... [( н — 1) Зв) ' З~+~ (3.4) 7) ... (Зв (Зн+ 1)) ' Пусть в,(г) — решение с данными Коши в,(0)= $, в,(0) О и вз(г) — решение с данными Коши вз(0) О, и,(0) = 4.
Тогда в,(г) = з в ев + 2 з+ (2 3) (6.6) + + (2 з) (6 6) ... Кзя — 4) з ) + " ' ° з(г) = в 7 за+1 3 4 (3 4) (6 7) ' ' ' (3 4) (6 7) ... (Зв (Зн+ 4) Всякое решение уравнения Эйри является линейной комбинацией решений в,(г), в,(г). В частности, решение в (в) в Об А4(х) = 3''1(3) 3' Г(3) называется у)уннцивй Эйри. ( ) Пример 2. в'равнение в +(а+ Ьсоех)в=О, где а, Ь вЂ” постоянные, называется уравнением Матье. В силу теоремы 4 всякое решение уравнения Матье является целой функцией х.
'() П р им е р 3. Всякое решение уравнения Вебера в" (г) — (гз — а*) в(х) 0 (а — постоянная) является целой функцией г, ( ) В теореме 4 предполагалось, что коэффициенты уравнения регулярны в круге Х. С помощью аналитического продолжения можно доказать аналог теоремы $ в случае, когда коэффициенты уравнения (4) регулярны в односвяаной области. Основной теоремой для уравнений вида (й) с регулярными коэффициентами является следующая Н1В ГЛ. 1И МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛ1ПИЧЕСПИЕ ФУНКЦИИ Теорема 2 (теорема существования и единственности).
Пусть коэарарициенты р(г), д(г) резулярны е односвязной области Р, точка г, ав Р. Тогда 1) существует регулярное в области Р решение и(г) задачи Коши (1) — (2), 2) это решение единственно, т. е. если и,(г), иа(г) — регулярные в области Р решения задачи Коши (1) — (2), то и,(г) и,(г) в области Р. Доказательство. Докажем сначала единственность регулярного в области Р решения и(г) задачи Коши (1) — (2). По условию и(го) = ио, и (га) = иа. ИЗ УРЗВНЕНИЯ (1) НЗХОДИМ ЗНЗЧЕНИЕ И (го) = Р (га) Иа Ч (го) Иа Дифференцируя уравнение (1), получаем и"' = — (р(г) в') ' — (д(г) и) ', откуда находим и"'(г,).
Дифференцируя полученное уравнение далее, находим и"'(г,), ии'(га) и т. д, Следовательно, по данным Коши однозначно определяются все производные и'"'(г,), что и доказывает единственность. Докажем первое утверждение теоремы. В силу теоремы 1 существует решение и,(г) задачи Коши (1) — (2), регулярное в круге К: )г — г,) ~В, где  — расстояние от точки г, до границы области Р. Тем самым в точке г, задан элемент и,(г). Покажем, что этот элемент допускает аналитическое продолжение по любой кривой (, лежащей в .Р, с начальной точкой г,. Пусть р— расстояние между кривой ( и границей области Р, тогда р-.О.
Покроем кривую ц конечной цепочкой кругов К„ К„ ..., К„ радиуса р. Центры кругов К, лежат в последовательных точках г„ ..., г„ кривой ( (г — конец кривой (), и центр г; круга К, лежит внутри круга Ка, при 1 = 1, 2, ..., и. В точке г, зададим такие данные Коши, которые совпадают со значениями решения и,(г) и его производной, т. е. и (га) = ио, и (га) = Й1аа о где йа= иа(г,), и, = иа(г,).
По теореме 1 существует регулярное в круге К, решепие этой задачи и,(г); по доказанному выше и,(г) и,(г), гжКа П К,. Аналогично, существует регулярное в круге К, решение иа(г) задачи Коши и(г,) = и, (г,), и' (г,) = и, (г,), и это решение совпадает с и,(г) при г ш К, П К,. Продолжая этот процесс, получаем, что элемент и,(г) аналитически продолжен 1 ге диФФеРенциАльные уРАВнения ВТОРОРО пОРядкА Ест вдоль цепочки кругов К„..., К; при этом все элементы ш,(г), ш„(г) являются решениями уравнения (1).
Таюзм образом, элемент оэ,(г) порождает аналитическую в области )л функцию ш(г), все элементы которой удовлетворяют уравнению (1). Так как 0 — односвязиая область, то по теореме о мояодромии функция в(г) регулярна в области Ю. Теорема доказаиа. Из доказательства теоремы 2 вытекает Теорема 3. Пусть коэффициенты р(г), д(г) уравнения (1)' регулярны в области В, Тогда всякое решение уравнения (1) является аналитической в )7 функцией. Если Π— иеодносвязиая область, то решение уравнения (1)' может быть многозначной аналитической функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
