1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 33
Текст из файла (страница 33)
() Пример 16. Пусть Р— плоскость с разрезом 10, 11 Аналитическая функция гав г" (г) = ~— распадается в области Р на три регулярные ветви. Доказьгвается этот факт точно так же, как и в примере 15. Пусть 1(г) — регулярная в Р ветвь функции г'(г), положительная на верхнем берегу разреза.
Разложим 1(г) в ряд Лора- $ зз. Регулягные ВетВи Аналитических Фтнкций 183 на в окрестности точки г = . Имеем при г зн Р з— ((г) = 1~ — ~ е т, ф = фз — фз, где фз й,агав, фз Азам(1 — г), кривая ( лежит в области 1 Р и соединяет точку г = —, + 89 (лелзащую на верхнем берегу з разреза) с точкой г.
Пусть г=.х>1; тогда ф,=О, фз -я, зГ так что ~(х) = )/ — е'"~'. Следовательно, 1(~~) = 11ш 1(х) =е'х~з Х~+сх Имеем в окрестности точки г 1 ~-Пз 1— 3 где значение корня в точке г = равно 1. Следовательно, искомое разложение имеет впд 1(г) = е~~ Х С" и ( — 1)"г ". Ц Пример 19. Пусть Р„(г) — полипом степени и: Р„(г)= а(г — г,) (г — г,)...(г — г„), а за О, где г„..., г — различные комплексные числа, и В~ шах) гз)з зхзхх т.
е. все нули полинома Р„(г) лежат в круге )г! ( В. Покажем, что аналитическая функция Г(г),'=1'Р„(г) распадается на и регулярных ветвей в кольце Р: В ~ )г! < м. Пусть исходный элемент Г,(г) функции Р(г) задан в точке г, и ( — простая замкнутая кривая с началом в точке г„лежа- щая в области Р. Полученное в результате обхода по кривой ( значение Р(г,) равно Р(г,) Р,(г,)е"", ф = Ь„агцР„(г). Далее, ф = ф,+фз+... + ф, ф = Л,агя(г — гз). Если внутренность кривой Т лежит в области Р, то все фз О, так что ф= О и Г(г,) Гз(г,).
Пусть круг 1г! ~В лежит внутри (, н эта кривая ориентирована против часовой стрелки. Тогда все ф, 2к, так что <р/и =2н и снова Р(г,)=Г,(г,). По лемме 3 функция Р(г) распадается в области Р на регулярные 'ветви. Если рз(г) — одна из этих ветвей, то все остальные регу- лярные ветви имеют внд гз(г)= еа""'"~ (г) Й 1, 2, ..., и — 1. Отметим, что ((г) = )ГР„(г) у а г (г — ~ оо), где у' а — некоторое значение корня (свое для каждой ветви).
164 гл. 1т. многоанАчныв АнАлитическив Функции Приведем другое докааательстео. Имеем Р(х) = хб(х), 6(г) = где г,С(г«) Р,(г,). Функция «'(г) аналитична в односвяаной области Ю =Р О(г = «) и, по теореме о монодромнн, регулярна в этой области. Так как Х~ =~ Р, то функция 0(г) регулярна в Р. П Пример 20. Пусть Р(х) — функция иа примера 19, Фиксируем точку х„соединим ее отрезками со всеми точками гь 1 ~ ~1~ и, и пусть Р— внешность полученной гзвезды> (рис.
66). Точно так же, как н в примере 19, можно показать, что функция Р(г) распадается в области Р на и регуг« лярных ветвей. ( ) Рис. 67 Рис. 66 Пример 21. Функция Р(г)= у(г' — 1) (г' — 4) распада- ется на две регулярные ветви в области Р, где Р— плоскость с разреаами но отрезкам ( — 2, — 1] и 11, 21 (рис. 67). Пусть нсходнь«й элемент Р,(х) функции Р(г) аадан в точке х,«нР, и Т вЂ” простая замкнутая кривая с началом в точке х„ лежащая в Р. После обхода по ( получаем значение Р(г,) Р,(х,)е' ", «р Ь«аг91(х« — 1) (г' — 4)1. Далее, ф = «р«+ ф«+ «рз+ «р«, ф« = Ат агй(х — г;), где г, -2, 㫠— 1, х, =1, г,=2. Если разрезы не лежат внутри («то все ф« = О, так что Р(г,) = Р,(х,). Если внутри кривой Т лежит только отреаок 1 — 2, — 11, то ф« = «р,=О, «р, = «р, 2я (если т ориентирована положительно), так что «р = 4я и снова Р(х«)=Р,(г,).
Аналогично, Р(г,) Р,(х,), если ( содер'- З ге РегуляРные ВетВи АнАлитических Функций 135 жит внутри себя отрезок 11, 21. По лемме 3 функция Дг) У (г' — 1) (г' — 4), г ы Р; 1(ге) = Го (го) регулярна в области Р. Ц Пример 22. Пусть гк гг, ..., гг.— различные комплексные числа, Г(г) У(г — г,) (г — г,)...(г — г,„). Сделаем разрезы вдоль простых непересекающихся кривых 1ь соединяющих точки гп „ гя, 1 < 1 < я.
Тогда в полученной области функция Г(г) распадается на две регулярные ветви; доказательство точно такое же, как и в примере 21.() Пример 23. Пусть Р„(г) — полипом степени л, Р„(г) = а(г — г,) (г — г,)... (г — г„), а Ф О, все нули которого лежат в круге (г! <В. Выясним, при каких целых значениях т в области .Р: Л .
(г) < можно выделить регулярную ветвь функции Г(г) = у' Г„(г) . Пусть исходный злемент Г,(г) функции Г(г) задан в точке г, и ( — простая замкнутая кривая с началом в точке г„лежащая в Р. После обхода вдоль ( получаем значение Г(г,)=Г,(г)е"', ф=ф,+ф,+...+ф„, фз = йт агк(г — г,). Если внутренность кривой ( лежит в области Р, то все ф~ = О. Пусть ( ориентирована положительно н содержит внутри себя круг (г( < Л.
Тогда все ф~ 2я, так что ф = 2пл. Следовательно, функция Г(г) допускает выделение регуляр- ной ветви в области Р тогда и только тогда, когда е"""'" = 1, т. е. когда и делится на т. )) Пример 24. Функция Г(г) = 1п . з),+2), Г(0)= и~„ (г — 1)(г + 4] где и,— одно из значений 1пг(, „, аналитична в области Р,— расширенной комплексной плоскости с проколами в точках — 4, — 2, 1, 3. Действительно, функция ) (г) = + регу(г — 1) (г + 4) лярна и отлична от нуля в области Р„так что функция Г(г) = 1п) (г), Г(0) = и, аналитична в Р, по теореме 2 з 22.
Приведем примеры обла- стей, в которых можно выделять регулярную ветвь функции Г(г). 1. Проведем разрезы вдоль непересекающихся лучей, выхо- дящих из точек — 4, — 2, 1, 3. Полученная область .Р, односвяз- на, и по теореме о монодромии (см. также пример 6) функция Г(г) распадается на регулярные ветви в области Р,. 186 гл. ву.
многозначныв авьвлитичкскик эвикции 2. Проведем разрезы '( — о, — 4), [ — 2, 1), [3, ) и покажем, что в этой области Р, функция г"(з) также распадается на регулярные ветви. Действительно, если 7 — простая замкнутая кривая, которая лежит в области Р, и содержит внутри себя отрезок 1 — 2, 1), то Ьдагя)(з) оро+ф„ о+4 в — 1 ~рв =Браги —, оэ = Ьрагл —. о — 3' в+ 2' Очевидно, что ор, = О, так как з + 4 Ф О, г — 3 Ф 0 внутри кривой 7.
Далее, оро = О, что доказывается так >ке, как и в примере 12, и потовву Л, агавах) = О. Из этого соотношения, точно так же, как и в примере 12, вытекает, что функция Р(з) распадается на регулярные ветви в области Р,. В частности, это утверждение верно и для кольца Р;. — (~ з + — ~ ~ —. 2 [ 2~ 2' 3. Пусть Р, — плоскость с разрезами [ — 4, — 21, [1, 31; в этой области функция Г(з) также распадается на регулярные ветви. Действительно, если 7 — простая замкнутан кривая, которая лежит в Р, то о+4 з — 1 брага,о(з) гврагй 2+ йр агах — 3 оРв+ о(о Если разрез [ — 4, — 2) лежит внутри 7, а разрез [1, 3) — вне (, то очевидно, что оро = О, а ор, 0 в силу примера 12. Аналогично рассматривается случай, когда разрез [1, 3) лежит внутри у.
В частности, функция Г(г) распадается на регулярные вет- 3 ! 1) 7 г. ви в круге [з+ — ~( — и в области [з+ — ~) —. ~) 2 ~ 2 2~ 2' Пример 25. Пусть Р— плоскость с разрезом 10, 1), уоо=Щà — оо, а*о во~о, * оо,ц. Функция 7'(з) регулярна в Р (пример 19). Вычислим 7( — 1), 7" ( — 1), 7'" ( — 1). Имеем 7(х) = у'4 (з), л(з) = з(1 — з)э.
Папомнивв что ~ (ю") ~~ ((3') 3 22), гДе значениЯ и в обеих частях равенства одинаковы. Следовательно, 1, ( ) 1 з' (.) 1(.) 4 Х (в) 1 Х" (в) 1 (о) 3 (3' (о))з 1 (а) 4 З (х) 18 Хо (о) Пусть кривая 7 соединяет точку л ов(0, 1), лежащую на верхнем берегу разреза, и точку — 1. Тогда 1в, агя д(г) = Ь„агй х+ ЗЬр агя(1 — з) = я.
$2$. ГРАничные ОсОБые точки «87 Следовательно, /( — 1) =е~~'«у я( — «1)~= е ~~у'8. я( — 1)= — 8, 81( — 1) 20, я" ( — 1) = — 36, так что / ( — 1)= — — /( — 1)= — — е 5 5 «зы 8 8м« / ( — 1)= — — /( — 1)= — — е . Ц з з 84. 8П« Далее, Пример 26. Покажем, что в области Р: 1 ~ !2~ ( нельзя выделить регулярную ветвь функции г (з)=1п(з+ «2 1) ° $25. Граничные особые точки Пусть функция /(2) регулярна в области Р, границей которой является простая кусочно гладкая кривая Г, и пусть ьы Г. Точка ь называется особой точкой функции /(з), если эту функцию нельзя аналитически продолжить по кривой (, которая лежит в области Р и имеет своим концом точку ф.
Из этого определения и свойств аналитического продолжения [$20) следует, что возможность аналитического продолжения Функция ««(з) «г' — 1 в области Р распадается на две регулярные ветви я,(з), 8«(з) (пример 9); пусть 8«(2)» О, й,(2)~0, для определенности. Таким образом, функция г"(2) распадается в области Р на две аналитические функции: г«(з)~ 1п /««(з), 1 — О, 1, Ь,(з) з + я,(з). Заметим, что я«(2) — л,(2). В силу примера 11 « 212 й,(з) =з — 2 + 0«««2-«.оо, 2« ~««~' так что при з -«ао Ь,(з)=х(2+0® й,(2)= « ~4+0® Пусть ( — окружность Ь( р» 1, ориентированная положи- тельно, с началом в точке з=р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
