1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если «Р« — исходное значение функции Р«(2) в точке р, то после обхода по / получим значение и«, + йрь «р» Л«агя /««(2). /1~ Имеем «Р«=2н+ф„«Р«=Ьтагй(2+ 0« — /). Если Р достаточно велико, то «р«=0, так что г",(з) — неоднозначная функция. /1 /11 Аналогично, «Р« — 2л+ «Ре «Р« = Лт ага Р + 0( — )), так что «Р, О, если р достаточно велико. 188 Гл. гч.
многознячныв АБАлитические Функции функции ~(г) в граничную точку ~ области П не зависит от вы- бора кривой (, лежащей в боласти Р. Докажем, что если выполнено условие Иш ~ (г) = оо (1) я хат при некотором к>0, то точна ~ ж Г является особой для функ- ции 1(г) (при Й= О полагаем 1'"(г)= ~(г)), Действительно, если функцию 1(г) можно аналитически продолжить в гранич- ную точку ь области П по кривой (, то в силу определения ана литического продолжения (з 20) существует функция 1~(г), ре.
гулярная в некотором круге К: Ь вЂ” ~! < р и такая, что 1~(г) Дг), если гжК 0 Т. Отсюда следует, что при любом й ~ 0 1пп1оо(г) =-1Р(~) ~ оо, что противоречит условию (1). Рассмотрим вопрос о граничных особых точках в случае, ког. да Р есть круг. Имеет место следующая Т е о р е м а. На границе круга сходимости степенного ряда 1(г) = ~ с (г — а)" (2) к=а лежит хотя бы одна особая точка его суммы. Доказательство. Пусть К: Ь вЂ” а! <Н вЂ” круг сходи- мости ряда (2), 0<В<, и на окружности тз: Ь вЂ” а! ° Н нет особых точек функции 1(г).
Тогда эту функцию монгно аналитически продолжить в каждую точку, лежащую на у,. Результат аналитического продолжения обозначим г" (г), так что р(г) 1(г), если г ж К. По определению аналитического продолжения для каждой точки ьж "(а существует круг К~ с центром в точке ~, в котором функция Р(г) регулярна. Таким образом, окружность Т, покрыта бесконечным числом кругов, центры которых лежат на у . В силу леммы Гейне — Бореля [9) иэ этого бесконечного покрытия мон1но выделить конечное покрытие, т. е. существует система кругов Кг,.(1 = 1, 2, ..., и), ~~ж Т„такая, что каждая точка ь ш у„принадлежит хотя бы одному иэ этих кругов.
Пусть г; — точка пересечения двух соседних кругов Хг и К~,.+,(1= = 1, 2, ..., и; К~ ~,— = Кс,), лежащая вне круга Х и пусть Не = ш1п ~г~ — а~. Тогда функция г"(г), совпадающая с ~(г) в гкгкк круге К, регулярна в большем круге К,: !г — а! -Н,, Н,)Н. Отсюда вытекает (3 12, следствие 3), что функция Р(г) представляется в круге Кс сходящимся рядом (2), т. е. радиус сходимости ряда (2) больше В, что противоречит условию. 5 25.
ГРАничные ОсОБые точки 189 Пример 1. Радиус сходимости ряда ~ ( — 1)" гги равен 1. -о На границе круга сходимостн этого ряда лежат две особые точки его суммы 1/(1+ г'), а именно, точки ( и — й () Следствие. Радиус сходимости ряда (2) равен расстоянию от точки а до ближайшей особой точки функции /(2). Это утверждение позволяет во многих случаях эффективно находить радиус сходимости степепнбго ряда без использования формулы Коши — Адамара ($ 11). Пример 2.
Радиус сходимости ряда и (г+ 2) (и — 8) равен 2, так как ближайшей к точке г О особой точкой его суммы является точка — 2. () Пример 3. Радиус сходимости ряда мпи ~ай п (йг = — =,~ с„г сог л равен я/2, так как Ьлижаишвми для точки г О особыми точками функции гй г являются полюсы г, = я/2 и г, = — и/2. Д 3 а и е ч а н и е 1.
Функция действительного переменного а' бесконечно дифференцируема на всей осн, и ряд Ю е =лт и) — о (3) сходится для всех х. Функция 1/(1+х') также является бесконечно дифференцируемой на всей оси, однако радиус сходимости ряда — ( — 1)" х'" (4) ~+* и-О равен 1. Причина этого явления становится понятной лишь с выходом в комплексную плоскость, Действительно, функция е* является целой и радиус сходимости ряда (3) В = и . Функция 1/(1+ г*) имеет две особые точки г, =(, г,= — (, и поэтому радиус сходимости ряда (4) равен 1. Замечание 2. Сходимость степеннбго ряда (2)' в точках границы круга сходимости не связана с регулярностью суммы ряда в этих точках (см.
примеры 4 — 6). 190 гл. и'. МногознАчнык АНАлятичкскив Функции Пример 4. Ряд — = )'„аз расходится во всех точкахеди- 1 -е пичной окружности; для суммы этого ряда точка 1 — особая, а остальные — точки регулярности. („' «)««-«-««« Пример 5. Ряд ~(з) = сходится в точке 1, ««=« н его сумма регулярна в этой точке, так как ((г) — регулярная ветвь функции )п(1+ з). Д Пример 6. Ряд 1(з) = 7„„(„+ сходится во всех точках ч=« единичной окружности, включая точку 1, но зта точка является особой для 1(г). Действительно, )(г) — регулярная ветвь функ- 1 — з ции 1+ —, 1п(1 — г) = г' (г), а точка з = 1 является для г"(з)' особой (логарифмической точкой ветвления).
() Приведем пример функции, для которой каждая точка границы круга сходимости является особой. Пример 7. Рассмотрим ряд ~(г)= ~з Радиус сходимости этого ряда равен 1. Покажем сначала, что точка з = 1 является особой для )(г). Возьмем в качестве ( отрезок (О, 1). Если з «н "(, то хл = х' -«-1 при г = х - 1 — О (й О, «Э 1, 2, ...) и, следовательно, ~(х) = ~«х -~со при л- 1 — О. ть ь=« Таким образом, условие (1) выполнено и точка з 1 является особой точкой для ~(з). Далее, из равенства ~(з)=за+э«-«г ... +г' +~(г ) +(з ) + ...] получаем следующее функциональное соотношение для Яг): ~(а) =хе+ г4 ~- ... -)- г« -)- «(гт ), и = 1,2,...
(5) Так как точка г = 1 является особой для 1(г), то нз равенства (5) следует, что при любом натуральном и все точки, удовлетворяющие условию з =1, (6) также являются особыми для 1(з). Корни уравнения (6) обра. зуют всюду плотное множество точек на единичной окружности. г 25. гваничные ОсОБые тОчки 191 Отсюда следует, что все точки единичной окружности являются особыми для 7(г). Действительно, если бы некоторая точка Ь единичной окружности была не особой, то существовала бы содержащая эту точку дуга единичной окружности, состоящая из неособых точек, что не имеет места. Д Пример 8.
Пусть на границе круга сходимости степенного ряда 7(г) = ~ с„г" лежит лишь одна особая точка г„а именно о о полюс первого порядка. Найдем асиьштотпческую оценку коэффициентов с„. Из условий задачи следует, что 7'(г) = у (г) + —, А ~ О, (7) о где функция у(г) регулярна в круге Ь! .сЛ, Л)!г,1, и в силу сходвмости ряда у(г) ~о Ь„г (8) в точке г, имеем Ь„го -~ О, и -ь оо.
(9) Так как о=о оо (10) то из (7), (8) и (10) следует, что „4 л ( оо с — — + Ь„= — — ~1 — — Ь„го), о+2 о и+о~ Л оо *о откуда в силу (9) получаем следующую асимптотическую оценку: с„— +, и-э оо. я (11) оо Из формулы (11), в частности, находим Н вЂ” "= . () о-ке о+ 2 Приведем формулировку одного результата, который носит название Теорема Припгсхейма. Если радиус сходимости ряда О\ ~ло с„г" равен 1 и если Ве с„~ 0 для всех и, то точка 2= 1 о=о является особой для суммы этого ряда. $92 гл.
гч. многознлчныв лнллнтнчвскнн эгнкцнн 9 26. Особые точки аналитических функций. Понятие о римановой поверхности $. Ветви аналитических фующий. Особые точки. Аналитическая функция, по определению,— это мнолсество всех элементов, полученных нз некоторого элемента аналитическим продолжением. Это множество элементов связно в том смысле, что любые два элемента аналитической функции могут быть получены один из другого аналитическим продолжением вдоль некоторой кривой. Понятие особой точки аналитической функции моясно ввести следующим образом. В 9 25 было введено понятие граничной особой точки регулярной функции. Так как аналитическая функция составлена из элементов (регулярных функций), то назовем точку з, особой точкой аналитической функции, если она является граничной особой точкой некоторого элемента функции.
Это понятие является довольно сложным, и в столь общей форме фактически не будет использоваться в дальнейшем. Наиболее важным типом особой точки является изолированная особая точка аналитической функции. Предварительно введем понятие ветви аналитической уэункции. Пусть в точке з, задан элемент )(з). Если аналитически продолжить ~(з) по всем кривым (с начальной точкой з,), по которым такое продолнсение возможно, то полученное множество элементов образует аналитическую функцию Г(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
